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平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结
一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：

平行四边形
矩形
菱形
正方形
图形

一般
性质
1．边：
且 ；
2．角： ；
；
3．对角线
；
1．边：
且 ；
2．角： ；
；
3．对角线
；
1．边：
且 ；
2．角： ；
；
3．对角线
；
1．边：
且 ；
2．角： ；
；
3．对角线
；
面积

二. 判断（识别）方法小结：
(1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面）
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（）
②对角线相等的平行四边形是矩形； （）
③有三个角是直角的四边形是矩形； （）
④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（）
(3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面）
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （）
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （）
③四边都相等的四边形是菱形； （）
④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（）
(4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形菱形
①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（）
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （）
③有一组邻边相等的矩形是正方形； （）
④对角线互相垂直的矩形是正方形； （）
⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （）
⑥对角线相等的菱形是正方形； （）
⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （）
小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为 (1) ①，其他方法类似）

三、其他性质：
1、平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的
（1）与面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积___________；两条对角线分得的四部分面积________。
推广：若一条直线过平行四边形（系列图形）对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形（系列图形）的面积。
（2）与对称性有关的：平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）都是____________________图形；但只有：矩形、菱形、正方形为_________________图形；平行四边形______________图形。
即：矩形、菱形、正方形既是_________________图形，又是____________图形；平行四边形只是______________图形。
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。
正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。
2、矩形具有平行四边形的一切性质
菱形具有平行四边形的一切性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
3、拓展知识：
（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
推广（灵活应用
（结合：三角形的中位线；三角形中位线定理；三角形相似）
以右图△为例，在 为中点 为中点
中知道任意两个必能够推得另外两个。
（3）菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

四、梯形：
1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。
3、直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形
4、等腰梯形的性质：
对称性：等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线是对称轴，
角等腰梯形同一底边上的两个角相等；同腰上的两个角互补。
对角线：等腰梯形的两条对角线相等。
边：两腰相等；上下底不等。
5、等腰梯形的判定定理
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
6、等腰梯形的判定方法：
先判定它是梯形，再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。

7、梯形常见的辅助线（解决梯形问题常用的方法：）
解梯形问题常用的辅助线：如图

1.延长两腰交于一点
　　作用：使梯形问题转化为三角形问题。
　　若是等腰梯形则得到等腰三角形。　　
2.平移一腰
　　作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

3.作高　　　　
　　作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线
作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，
BE等于上、下底的和　
　　（2）S梯形ABCD=S△DBE
5. 等积变形：当有一腰中点时，连结一个顶点与
一腰中点并延长交一个底的延长线。  
作用：可得△ADE≌△FCE，
所以使S梯形ABCD=S△ABF。　　
.基础达标训练：
1填空：
（1）两条对角线___________________________的四边形是平行四边形；
（2）两条对角线___________________________的四边形是矩形；
（3）两条对角线___________________________的四边形是菱形；
（4）两条对角线___________________________的四边形是正方形；
（5）两条对角线___________________________的平行四边形是矩形；
（6）两条对角线___________________________的平行四边形是菱形；
（7）两条对角线___________________________的平行四边形是正方形；
（8）两条对角线___________________________的矩形是正方形；
（9）两条对角线__________的菱形是正方形。
2已知：如图，在ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
(1) 求证：△ADE≌△CBF；
(2) 若四边形 BEDF是菱形，猜测：四边形AGBD是
什么特殊四边形？并证明你的结论．

四边形练习
1．中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，
则的周长为 ．
2．如图，在中，∠C=60º,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．
（1）则∠EDF= ；
（2）若AE=4，CF=7，则周长= ;
面积= 。

3．(1)在平行四边形ABCD中，若∠C=∠B+∠D，则∠A= .
(2)已知在,∠A比∠B小20º，则∠C的度数是 ．
(3)在中，周长为100cm，AB-BC=20cm，则AB= ,
BC= .
（4）在中，周长为30cm，且AB：BC=3：2，则AB= cm.
C

B
  E
A
F
D
（5）如图，若□ABCD与□EBCF关于BC所在直线对称，
∠ABE＝90°，则∠F ＝ °．

4．下列命题中错误的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．等腰梯形的两条对角线相等 D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
5.在下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形　 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6.下列错误的是( )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等的矩形是正方形
7下列命题中，真命题是（　　）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为 ．
9.如图，梯形纸片ABCD， ∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=___________.

第9题图 第10题图
10.如图，折叠矩形的一边CD，使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cm， BC=8cm，则EC的长为________.
11、如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）

12、如图，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE=OF.

13、如图，等腰△ABC中，AB=AC, D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系？试说明你的结论成立的理由。（不用全等，你可以做出来吗？试试看）

14、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）

15、四边形ABCD是等腰梯形，其中AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8，求梯形ABCD面积.（关键是会画出正确的图形）

16、以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF，
（1）试探索BE和CF的关系？并说明理由.
（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.

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