1、 常微分方程 绵阳师范学院（I）齐次方程次方程 1.3齐次方程次方程(可化可化为变量分离方程量分离方程类型型)注注:满足满足的函数称为的函数称为k k次齐次函数次齐次函数.1 常微分方程 绵阳师范学院(I)形如形如方程称为方程称为齐次方程齐次方程,求解方法求解方法:1.3.1齐次方程的解法齐次方程的解法2 常微分方程 绵阳师范学院求解方程求解方程解解:方程变形为方程变形为这是齐次方程这是齐次方程,即即将变量分离后得将变量分离后得例例13 常微分方程 绵阳师范学院两边积分得两边积分得:即即代入原来变量代入原来变量,得原方程的通解为得原方程的通解为4 常微分方程 绵阳师范学院求下面初值问题的解求下
2、面初值问题的解解解:方程变形为方程变形为这是齐次方程这是齐次方程,将变量分离后得将变量分离后得例例25 常微分方程 绵阳师范学院两边积分得两边积分得:整理后得整理后得变量还原得变量还原得故初值问题的解为故初值问题的解为6 常微分方程 绵阳师范学院(II)形如形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论分三种情况讨论为齐次方程为齐次方程,由由(I)可化为变量分离方程可化为变量分离方程.1.3.2第二类可化为变量分离的方程第二类可化为变量分离的方程7 常微分方程 绵阳师范学院这就是变量分离方程这就是变量分离方程8 常微分方程 绵阳师范学院作变量代换作
3、变量代换(坐标变换坐标变换)则方程化为则方程化为为为(1)的情形的情形,可化为变量分离方程求解可化为变量分离方程求解.9 常微分方程 绵阳师范学院解题步骤解题步骤:10 常微分方程 绵阳师范学院求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:解方程组解方程组例例311 常微分方程 绵阳师范学院将变量分离后得将变量分离后得两边积分得两边积分得:变量还原并整理后得原方程的通解为变量还原并整理后得原方程的通解为12 常微分方程 绵阳师范学院注注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外此外,诸如诸如13 常微分方程 绵阳师范学院以及以及求微分方程求微分方程的通解
4、的通解.例例414 常微分方程 绵阳师范学院解解:代入方程并整理得代入方程并整理得即即分离变量后得分离变量后得两边积分得两边积分得变量还原得通解为变量还原得通解为15 常微分方程 绵阳师范学院应用用举例例例例8、雪球的融化雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为半径为6cm，经过经过2小时后，其半径缩小为小时后，其半径缩小为3cm，求求雪球的体积随时间变化的关系。雪球的体积随时间变化的关系。解解:根据球体的体积和表面积的关系得根据球体的体积和表面积的关系得16 常微分方程 绵阳师范学院分离变量并积分得方程的通解为分离变量并积分得方程的通解为由初始条件得由初始条件得代入得雪球的体积随时间的变化关系为代入得雪球的体积随时间的变化关系为17 常微分方程 绵阳师范学院作业作业P22 1(1)、(3)、(5)，2，3，418
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