正余弦定理及解三角形有答案.docx

正余弦定理考点梳理：
1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 C B
2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a
如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
。（R为外接圆半径）
3. 正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1) sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

(2) ＝＝＝＝2R；

(3) a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

(4) sin A＝，sin B＝，sin C＝.

4. 三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或 .
6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

8. 解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，
如：
.
9. 解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。
（1）角与角关系：A+B+C = π；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边。
习题整理：
一． 直接应用，解三角形：
1. 在中，已知，解三角形。A=60/120°
2.在中，已知求的周长。a=2/4
3.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知B=2A,a=1,b=,则c=
4.在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________. 2
4.在△ABC中，若A＝60°,b=1,,则＝________. （）
5.(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝
6.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________.
7.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________.
8. （2012年高考（重庆文））设△的内角 的对边分别为,且,则____
9.在中,若,则的形状是 （　　）c
A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.
10.在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于 （　　）
A． B． C． D．
11.在中,若,,,则 （　　）
A． B． C． D．
12.在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=,c=2,则b=______
13.在中,已知,则_______.
14. 【2015高考广东，文5】设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

15. 【2015高考福建，文14】若中，，，，则_______．
【答案】
16. 【2015高考重庆，文13】设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.
【答案】4
17. （2016年全国I卷高考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
（A）（B）（C）2（D）3
【答案】D
18、（2016年全国II卷高考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.
【答案】
19. 在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为

【答案】B
20. 中，角所对的边分别为．若，则边（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
二． 变形应用：
1. 在中，，则角A等于
2.（教材）已知三角形的三边满足条件，求角A. 60

3.【2014年高考江西】在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4.在中，三内角，，的对边分别为，，且，，为的面积，则的最大值为（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
设外接圆的半径为，则，∴，
∴
，故的最大值为．故选C．
5.在中，角的对边分别为，且．若的面积为，则的最小值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】D

6.已知a,b,c是的边长，满足，求C的大小。120

三．边角互化问题：
1.在中，内角，，的对边分别为，，，且=．则
A． B． C． D．
【答案】C
2.已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=　　．
3.,试判断三角形的形状。等腰或直角。
4. 在中，
5. （2013,辽宁）在，内角所对的边长分别为 （ ）A
A． B． C． D．

6. （2011）（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcosA=则 （ ）D
(A) (B) (C) (D)

7．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.
(1)求角B的大小;60°
(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

8. 在中，,求cosA=

9.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求cosA;（）
(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c. (2,3)(3,2)

10. 的周长为，且
(1) 求边长a的值. 4
(2) 若,求COSA的值。 （）

11.（2016年天津高考）在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若，求sinC的值.
解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由得，所以，得；
（Ⅱ）解：由得，则，所以
12.（2016年四川高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。
（I）证明：sinAsinB=sinC；
（II）若，求tanB。
解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设
则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.
代入中，有
，可变形得
sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，
所以sin A sin B=sin C.

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
.
所以sin A=.
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，
所以sin B=cos B+sin B，故tan B==4.

四．综合应用：
1.【2015高考陕西，文17】的内角所对的边分别为，向量与平行.
(I)求；
(II)若求的面积.
(I)因为，所以
由正弦定理，得，
又，从而，
由于
所以
(II)解法一：由余弦定理，得
，而，，
得，即
因为，所以，
故面积为.
2.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,
（I）求a和sinC的值;
（II）求 的值.
试题解析:（I）△ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8.由 ,得.
（II）,
3.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积.
试题解析：（I）由题设及正弦定理可得.
又，可得,,
由余弦定理可得.
（II）由(1)知.
因为90°，由勾股定理得.
故，得.
所以ABC的面积为1.
4. (重庆卷) △ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,，且，
（1） 求角A， 150°
（2） 设S为的面积，求的最大值，并指出此时的角B的值。 3,15°。