1、第七章第七章矩阵特征值计算矩阵特征值计算内容内容7.1 引言引言7.2 幂法及反幂法幂法及反幂法1设 k/m=1，求固有频率的特征方程7.1 引言 物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。345677.2 幂法及反幂法幂法及反幂法一、幂法一、幂法幂法是一种求实矩阵幂法是一种求实矩阵A A的按模最大的特征值的按模最大的特征值1 1及其对应的特征及其对应的特征向量向量x x1 1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。8
2、91011121314于是主特征值为：2.5365323；对应特征向量为：(0.7482 0.6497 1)T kUk(规范化向量规范化向量)Max(vk)0 1 51020(1 1 1)T(0.9091 0.8182 1)T(0.7651 0.6674 1)T(0.7494 0.6508 1)T(0.7482 0.6497 1)T2.75000002.55879182.53800292.536532315二、二、加速方法加速方法161718 kUk(规范化向量规范化向量)Max(vk)0 5 6 7 8 910(1 1 1)(0.7516 0.6522 1)(0.7491 0.6511 1)
3、0.7488 0.6501 1)(0.7484 0.6499 1)(0.7483 0.6497 1)(0.7482 0.6497 1)1.79140111.78884431.78733001.78691521.78665871.7865914三、反幂三、反幂法法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。19202122232425 kUkT(规范化向量规范化向量)p+1/Max(vk)0 1 2 3 4 5(1 1 1)(1 -0.271604938 -0.197530864)(1 -0.23453776 -0.171305338)(1
4、 -0.235114344 -0.171625203)(1 -0.23510535 -0.171621118)(1 -0.235105489 -0.171621172)-13.40740741-13.21752930-13.22021864-13.22017941-13.2201799826%求对称正定矩阵的特征值问题%A=3-2 0;-2 5-3;0-3 7;%对称正定矩阵Epsilon=0.0001;%迭代控制误差%求最大特征值及对应的特征向量v=1;1;1;%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v);%最大特征值的估计值while 1 v=A*v;Lambda_1=max(ab
5、s(v);v=v/Lambda_1;if abs(Lambda_1-Lambda_0)=Epsilon display(最大特征值)display(Lambda_1);display(最大特征值对应的特征向量)display(v);break end Lambda_0=Lambda_1;end27%求最小特征值及对应的特征向量A=inv(A);%求矩阵A的逆好的做法是利用平方根法求逆v=1;1;1;%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v);%最大特征值的估计值while 1 v=A*v;Lambda_1=max(abs(v);v=v/Lambda_1;if abs(Lambda_1
6、Lambda_0)=Epsilon display(最小特征值)Lambda_1=1/Lambda_1;%注意倒数 display(Lambda_1);display(最小特征值对应的特征向量)display(v);break end Lambda_0=Lambda_1;end28矩阵特征值与特征向量的计算重要概念（特征值，特征向量，正交相似变换，反射变换，平面旋转变换，QR分解）迭代法幂法（原理、计算公式、加速技巧）反幂法（原理、计算方法、加速技巧）雅可比方法（原理、方法、收敛性）变换法QR方法基本QR方法原点平移QR方法双步原点平移QR方法此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
