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第三节　基本不等式
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[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；
(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]
3．(2016·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A．7　　　　 B．8
C．9 D．10
C　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号，故选C.]
4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
【导学号：31222209】
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]
5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

利用基本不等式求最值
　(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A.　　　 B．2
C．2 D．4
(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．
(1)C　(2)3　[(1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]
[规律方法]　1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．
2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．
[变式训练1]　(1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．
(1)B　(2)－4　[(1)∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.
(2)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴＋＝－(m＋n)
＝－≤－2－2＝－4，
当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]

利用基本不等式证明不等式

　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
[证明]　(1)＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，3分
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).5分
(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，10分
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).12分
法二：＝1＋＋＋，
由(1)知，＋＋≥8，10分
故＝1＋＋＋≥9.12分
[规律方法]　1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．
2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[变式训练2]　设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
【导学号：31222210】
[证明]　由于a，b均为正实数，
所以＋≥2＝，3分
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
又因为＋ab≥2＝2，
当且仅当＝ab时等号成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，8分
当且仅当即a＝b＝时取等号.12分

基本不等式的实际应用
　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗
油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
[解]　(1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100].2分
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈.
(或y＝＋x，x∈).5分
(2)y＝＋x≥26 ，
当且仅当＝x，
即x＝18，等号成立.8分
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.12分
[规律方法]　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[变式训练3]　某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
[解]　(1)由题意得，
y＝，
即y＝x＋＋1.5(x∈N*).5分
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，8分
当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分

[思想与方法]
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
2．基本不等式的两个变形：
(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
[易错与防范]
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
课时分层训练(三十四)　基本不等式
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　)
【导学号：31222211】
A．－1　　　　 B．0
C．1 D．2
C　[由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]
2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)
【导学号：31222212】
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．]
3．(2016·吉林东北师大附中等校联考)函数f(x)＝ax－1－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(　　) 【导学号：31222213】
A．4 B．5
C．6 D．3＋2
D　[由题意知A(1，－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝3＋＋，
因为m>0，n>0，
所以＋＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2.
当且仅当＝时，取等号，故选D.]
4．(2016·安徽安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．2
C．8 D．16
B　[由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，
得ab＝1，
则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.]
5．(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)
A．Rb>1，∴lg a>lg b>0，
(lg a＋lg b)>，
即Q>P.∵>，∴lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P·湖北华师一附中3月联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是__________．
2　[因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，
所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，
当且仅当2x＝22y＝2，
即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]
7．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为__________．
　[由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，所以2＋1＝4，
解得p＝.]
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
20　[每次都购买x吨，则需要购买次．
∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．
∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号，
∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]
三、解答题
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
∴＋≥2＝4，4分
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.6分
(2)∵00，
∴y＝＝·≤·＝，8分
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.12分
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，2分
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.5分
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.8分
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．要制作一个容积为4 m3 ，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
【导学号：31222214】
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
C　[由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，
所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m．又设总造价是y元，则
y＝20×4＋10×≥80＋20＝160.
当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．]
2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
　[因为xy＝，所以(2y)x＝.又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．]
3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
[解]　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)
＝5分
(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值).7分
当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，10分
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.12分