1、立体几何知识点整理
姓名：
一． 直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
符号表示：
2. 线面相交
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
二． 平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
若，则。
方法四：用向量方法：
若向量和向量共线且l、m不重合，则。
2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
方法二：用面面平行实现。
方法三：用平面法向量
2、实现。
若为平面的一个法向量，且,则。
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
方法二：用线面平行实现。
三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法：
若向量和向量的数量积为0，则。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：
(1) 范围：
(2)求法：
方法一
3、定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
(二) 线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。
(2)范围：
当时，或
当时，
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
方法二：向量法(为平面的一个法向量)。
(三) 二面角及其平面角
(1
4、)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
(2)范围：
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算
步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。
四． 距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
步骤1：过点P
5、作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
方法二：坐标法。
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，，则异面直线m和n之间的距离为：
五． 空间向量
(一)空间向量基本定理
若向量为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对，使得。
6、
(二) 三点共线，四点共面问题
1. A，B，C三点共线
，且
当时，A是线段BC的
A，B，C三点共线
2. A，B，C，D四点共面
，且
当时，A是△ABC的
A，B，C，D四点共面
(三)空间向量的坐标运算
1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：
， 则：
;
2. 若空间中的向量，
则
六． 常见几何体的特征及运算
(一) 长方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2.
7、 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为，则
3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。
(二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
(六) 体积：
(七) 球
1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 。
3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式： 体积公式：
5
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