§1--向量的内积、长度及正交性.ppt

1 向量的内向量的内积积、长长度及正交性度及正交性一、内一、内积积的定的定义义及性及性质质二、向量的二、向量的长长度及性度及性质质三、正交向量三、正交向量组组的概念及求法的概念及求法四、正交矩四、正交矩阵阵与正交与正交变换变换一、内一、内积积定定义义及性及性质质1.定定义义1 设设有有 n 维维向量向量令令 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn,称称 x,y 为为向量向量 x 与与 y 的的内内积积(Inner product).说说明明 1.n(n 4)维维向量的内向量的内积积是是3维维向量数量向量数量积积的推广的推广,但是没有但是没有3维维向量直向量直观观的几何意的几何意义义2.若向量若向量 x 与与 y 均均为为列向量列向量,内内积积可用矩可用矩阵记阵记法法表示表示为为:x,y=xT y.2.内内积积的运算性的运算性质质(其中其中 x,y,z 为为 n 维维向量向量,为实为实数数).(1)x,y=y,x;(2)x,y=x,y;(3)x+y,z=x,z+y,z;(4)当当 x=时时,x,x=0;当当 x 时时,x,x 0.施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式:x,y 2 x,x y,y.1.定定义义2 令令 二、向量的二、向量的长长度及性度及性质质称称|x|为为 n 维维向量向量 x 的的长长度度(或或范数范数).向量的向量的长长度具有下述性度具有下述性质质：(1)非非负负性性:当当 x=时时,|x|=0;当当 x 时时,|x|0.(2)齐齐次性次性:|x|=|x|;(3)三角不等式三角不等式:|x+y|x|+|y|;(4)|x,y|x|y|.当当|x|y|0时时,有有:2.当当|x|=1 时时,称称 x 为为单单位向量位向量.若若 ,则则 为为单单位向量位向量.若若 ,称称为为把把向量向量 单单位化位化.解解(3)当当|x|y|0时时,称称为为向量向量 x 与与 y 的的夹夹角角.1.当当 x,y=0 时时,称向量称向量 x 与与 y 的的正交正交.三、正交向量三、正交向量组组的概念及求法的概念及求法有有 x,y=0,故向量故向量 x 与与 y 正交正交.由定由定义义可知可知:若若 x=时时,则则 x与任何向量都正交与任何向量都正交.2.若一若一非零非零向量向量组组中的向量中的向量两两正交两两正交,则则称称该该向向量量组为组为正交向量正交向量组组定理定理 若若n维维向量向量 1,2,r 是是正交向量正交向量组组,则则 1,2,r 线线性无关性无关.证证明明定理定理 若若n维维向量向量 1,2,r 是是正交向量正交向量组组,则则 1,2,r 线线性无关性无关.3.正交正交单单位向量位向量组组每个向量都是每个向量都是单单位向量的正交向量位向量的正交向量组组.4.向量空向量空间间的正交基的正交基例例1 1 已知已知R3空空间间中两个向量中两个向量 正交正交,试试求求 3 使使 1,2,3 构成构成R3的一个正交基的一个正交基.解解题题分析分析:即求即求 3使使 1,2,3为为正交向量正交向量组组.解解设设 3=(x1,x2,x3)T ,且与且与 1,2正交正交,则则有有解得：解得：令令 x3=1,得得:3=(1,0,1)T,则则 1,2,3 构成构成R3的一个正交基的一个正交基.5.规规范范 正交基正交基例如例如定定义义(标标准准)同理可知：初始同理可知：初始单单位向量位向量组组6、求求规规范正交基的方法范正交基的方法下面介下面介绍绍施密特正交化施密特正交化方法（方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method）(1)正交化正交化 取取 b1=a1,(2)单单位化位化例例2 2 用施密特正交化方法将向量用施密特正交化方法将向量组组正交正交规规范化范化:解解 取取 b1=a1=(1,1,1,1)T,单单位化得如下位化得如下规规范正交向量范正交向量组组:例例2 2解解定定义义4 4四、正交矩四、正交矩阵阵与正交与正交变换变换定理定理 A 为为正交矩正交矩阵阵的充要条件是的充要条件是 A 的列向量都的列向量都是是单单位向量且两两正交位向量且两两正交例例5 5 判判别别下列矩下列矩阵阵是否是否为为正交正交阵阵正交矩正交矩阵阵的性的性质质：定定义义 若若P为为正交正交阵阵,称称线线性性变换变换 y=Px为为正交正交变换变换性性质质 正交正交变换变换保持向量的保持向量的长长度不度不变变证证明明1.施密特正交化方法将一施密特正交化方法将一组组基基规规范正交化的方法：范正交化的方法：五、小五、小结结2.A为为正交矩正交矩阵阵的充要条件是下列条件之一成立：的充要条件是下列条件之一成立：