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_概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布(A) (B) (C) (D) 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布(A) (B) (C) (D) 3. 设连续型随机变量X的密度函数则下列等式成立的是（ ）(A) (B) (C) (D) 4. 若与分别为连续型随机变量的密度函数与分布函数，则等式（ ）成立(A) (B) (C) (D) 5. 设和分别是随机变量的分布密度函数和分布函数，则对任意，有（ ）(A) (B) (C) (D) 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）7. 设，则（ ）(A) 0.1 (B) 0.4(C) 0.3 (D) 0.28. 设，是的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）(A) (B) (C) (D) 9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（）（A） (B) (C) (D) 10. 若随机变量，则（ ）(A) (B) (C) (D) 11. 随机变量X服从二项分布，则有（ ）(A) n (B) p(C) 1- p (D) 12. 如果随机变量，则分别为（ ）(A) (B) (C) (D) 13. 设，则分别是（）(A) (B) (C) (D) 14. 设，且，则（ ）(A) 30 (B) 20(C) 15 (D) 1015. 设，则随机变量（ ）.(A) (B) (C) (D) 16. 对于随机事件，下列运算公式（）成立(A) (B) (C) (D) 17. 下列事件运算关系正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) 18. 设A，B为两个任意事件，那么与事件相等的事件是（）(A) (B) (C) (D) 19. 设为随机事件，与不同时发生用事件的运算表示为（ ）(A) (B) (C) (D) 20. 若随机事件,满足，则结论（ ）成立(A) 与是对立事件 (B) 与相互独立(C) 与互不相容 (D) 与互不相容21. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则表示（ ）的事件(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中(C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件的概率为，则与一定（ ）(A) 相互对立 (B) 相互独立(C) 互不相容 (D) 相容23. 设A，B为两个任意事件，则P(A+B) =（ ）(A) P(A) + P(B) (B) P(A) + P(B) - P(A)P(B)(C) P(A) + P(B) - P(AB) (D) P(AB) P(A) + P(B) 24. 对任意两个任意事件，等式（ ）成立(A) (B) (C) (D) 25. 设A，B是两个任意事件，则下列等式中（ ）是不正确的(A) ，其中A，B相互独立(B) ，其中(C) ，其中A，B互不相容(D) ，其中26. 若事件与互斥，则下列等式中正确的是（）(A) (B) (C) (D) 27. 设，为两个任意事件，则下列等式成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 28. 设为随机事件，下列等式成立的是（ ）(A) (B) (C) (D) 29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（ ）.(A) 0.56 (B) 0.50(C) 0.75 (D) 0.9430. 若满足（ ），则与是对立事件(A) (B) (C) (D) 31. 若与相互独立，则等式（ ）成立(A) (B) (C) (D) 32. 设是正态总体（已知）的一个样本，按给定的显著性水平检验：（已知）；：时，判断是否接受与（ ）有关.(A) 样本值，显著水平 (B) 样本值，样本容量(C) 样本容量，显著水平 (D) 样本值，样本容量，显著水平33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）(A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小34. 从正态总体中随机抽取容量为n的样本，检验假设：若用t检验法，选用统计量t，则在显著性水平下的拒绝域为（ ）(A) (B) (C) (D) 35. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（ ）(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值(C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差36. 对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（ ）(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值(C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差37. 设是正态总体的一个样本，是已知参数，是未知参数，记，函数表示标准正态分布的分布函数，则的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.(A) （0.975，+0.975） (B) （1.96，+1.96）(C) （1.28，+1.28） (D) （0.90，+0.90）38. 设是来自正态总体的样本，则的无偏估计是（ ）(A) (B) (C) (D) 39. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计(A) (B) (C) (D) 40. 设是取自正态总体的容量为2的样本，其中为未知参数，以下关于的估计中，只有（ ）才是的无偏估计.(A) (B) (C) (D) 41. 设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而是该总体的一个样本，记，则总体方差的矩估计为（ ）. (A) (B) (C) (D) 42. 设是来自正态总体均未知）的样本，则（ ）是统计量(A) (B) (C) (D) 43. 对来自正态总体（未知）的一个样本，则下列各式中（ ）不是统计量（A） (B) (C) (D) 44. 设X是连续型随机变量，其密度函数为则常数b =（ ）.(A) e (B) e + 1(C) e 1 (D) e 245. 随机变量，则（ ）(A) 0 (B) (C) (D) 46. 设，已知，则（ ）.(A) 0.4 (B) 0.3(C) 0.2 (D) 0.147. 已知，若，那么（ ）(A) (B) (C) (D) 48. 设随机变量的密度函数为，则（ ）(A) (B) (C) (D) 49. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（ ）成立(A) (B) (C) (D) 50. 设随机变量服从二项分布B(n, p)，已知E(X )=2.4, D(X )=1.44，则（ ）(A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6(C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证：已知事件,的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.6，P() = 0.1，则P(AB) = 02. 试证：已知事件,相互独立，则3. 已知事件,相互独立，试证与相互独立. 4. 设事件，的概率分别为，试证：与是相容的.5. 设随机事件,相互独立，试证：也相互独立6. 设,为随机事件，试证：7. 设随机事件,满足，试证：8. 设,为随机事件，试证：9. 设是随机事件，试证：10. 已知随机事件,满足，试证：三、计算题1. 设是两个随机事件，已知， ，求.2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A表示一产品经检查被定为正品，B表示一产品确为正品，求P(A).3. 某单位同时装有两种报警系统与，每种系统独立使用时，其有效概率，在有效的条件下有效的概率为，求.4. 设A, B是两个独立的随机事件，已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.7，求A与B只有一个发生的概率.5. 设事件，相互独立，已知，求与只有一个发生的概率.6. 假设为两事件，已知，求7. 设随机变量，求概率(已知，) 8. 设A, B是两个随机事件，已知P(A) = 0.6，P(B) = 0.8，P()=0.2，求.9. 从大批发芽率为的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少？（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少？10. 已知，求11. 已知，求.12. 已知，求13. 已知P(B) = 0.6，=0.2，求14. 设随机变量X N（3，4）求 P（1 X 7）(，)15. 设，求.已知，. 16. 设是两个随机事件，已知，求17. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.18. 已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求恰有2个白球的概率；有白球的概率.19. 268-16. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮3次，求投中篮框不少于2次的概率；求至少投中篮框1次的概率20. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9，该运动员投篮3次，求投中篮框不少于2次的概率；求至少投中篮框1次的概率21. 某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求恰有3次准确的概率；至少1次准确的概率.22. 已知某批产品的次品率为0.1，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求有次品的概率；恰有两件次品的概率.23. 某射手射击一次命中靶心的概率是，该射手连续射击5次，求：命中靶心的概率； 至少4次命中靶心的概率24. 设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.25. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次求恰有2次取到黑球的概率；至少有1次取到白球的概率.26. 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.27. 机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.28. 一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1，第二台废品率是2，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率30. 两台机器加工同样的零件，第一台的次品率是2，第二台的次品率是1，加工出来的零件放在一起。已知第一台机器加工零件的数量是第二台机器加工零件的数量的3倍,求任意取出的零件是次品的概率31. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.32. 一个人的血型为型的概率分别是，现在任意挑选7个人，求以下事件的概率：（1）没有人是型的概率；（2）恰有一人为型的概率33. 袋中有10个球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一个，共取4次求：取到白球不少于3次的概率；没有全部取到白球的概率34. 设，求.已知，.35. 设随机变量X N（8，4）求 () 36. 279-17. 设，试求；（已知 ）37. 设，试求；（已知）38. 设，试求；（已知）39. 设随机变量，求概率 (，)40. 设，试求；（已知）41. 设，求和.（其中,）42. 设随机变量X N（3，4）求使P（X a）=0.9成立的常数a (已知)43. 设，试求；（已知）44. 设随机变量，求概率 (已知，)45. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kgcm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）46. 设，求； 47. 设随机变量，求概率 (，) 48. 设，试求；（已知 ）49. 设随机变量，若，求k的值（已知）50. 设随机变量X N（3，4）求使P（X a）=0.9成立的常数a (已知)51. 设随机变量，若，求k的值（已知）52. 设随机变量的密度函数为试求：53. 设，求；54. 55. 设随机变量，求56. 57. 58. 59. 设，试求60. 61. 设随机变量的概率密度函数为求（1）；（2）.62. 设连续型随机变量的密度函数为 试求；63. 盒中装有分别标数字的球，从中任取2个，用表示所取2球中最大的数字. 求的概率分布.64. 在一次数学考试中，其分数服从均值为65，标准为10的正态分布，求分数在6075的概率. (，) 65. 某类钢丝的抗拉强度服从均值为100 (kg/cm2)，标准差为5 (kg/cm2)的正态分布，求抗拉强度在90110之间的概率(1) = 0.841 3, (2) = 0.977 2 )66. 测量某物体的长度，其长度X (单位：cm)服从正态分布N (20, 100 )，求测量误差不超过10cm的概率(1) = 0.841 3) （中等）（熟练掌握）67. 某厂生产的螺栓长度（cm）服从正态分布，规定长度在内为一等品，求生产的螺栓是一等品的概率. 已知.68. 设，求（1）；（2）.（其中，）69. 70. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？71. 某厂生产一批的钢筋，其长度，今从这批钢筋中随机地抽取了16根，测得长度（单位：m）的平均值为4.9，求钢筋长度的置信度为0.95的置信区间72. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：kg）为14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否认为这批零件的平均重量为15kg(已知)？73. 对某一距离进行4次独立测量，得到的数据为（单位：m）： 15.51, 15.47, 15.50, 15.52由此计算出，已知测量无系统误差，求该距离的置信度为0.95的置信区间（测量值服从正态分布）74. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间75. 76. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差S = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）77. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）78. 从正态总体N（，9）中抽取容量为100的样本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间(已知 )79. 某厂生产一种型号的滚珠，其直径，今从这批滚珠中随机地抽取了16个，测得直径（单位：mm）的样本平均值为4.35，求滚珠直径的置信度为0.95的置信区间80. 已知总体的概率密度函数是设是取自总体的样本，求的最大似然估计经济数学基础 1111 A卷答案一、单选题1.B2.C3.A4.C5.B6.A7.B8.C9.D10.D11.C12.A13.A14.C15.B16.D17.A18.A19.A20.C21.B22.D23.C24.D25.C26.D27.C28.D29.A30.B31.D32.D33.B34.C35.B36.A37.B38.B39.D40.D41.C42.A43.C44.A45.D46.D47.C48.B49.D50.C二、证明题1. 证： 因为P(A) + P(B) = 0.3 + 0.6 = 0.9， P(A + B) = 1 - P() = 1 - 0.1= 0.9， 由加法公式得 P(AB) = P(A) + P(B) - P(A + B) = 0 4分2. 证：因为事件,相互独立，故,也相互独立 . 2分 所以 = = 4分3. 证：因为事件,相互独立, 即,且 = = =，所以与相互独立. 4分4. 证：由概率性质和加法公式知，即， 所以，由互不相容定义知，事件与是相容的. 4分5. 证： ，所以也相互独立 4分6. 证：由事件的关系可知，而，故由概率的性质可知，即 4分7. 证： 由可知，因此得，故，又因为，故有 4分8. 证：由事件的关系可知，而，故由概率的性质可知 4分9. 证：由事件的运算得 ，且与互斥，由加法公式得 ，又有且与互斥，由加法公式得 ，综合而得 4分10. 证：已知，由事件的关系可知，而，故由概率的性质可知，即 4分三、计算题1. 解： 因为 ， 2分 所以= 4分 8分计算的最后结果数字： 0.22. 解： 因为P(B) = 0.8，P() = 0.2，P(AB) = 0.97，P(A) = 0.02，所以 2分 P(A) = P(AB) + P(A) 4分 = P(B)P(AB) + P()P(A) 6分 = 0.80.97+0.20.02 = 0.78 8分计算的最后结果数字： 0.783. 解： 因为 ， 4分 所以 8分计算的最后结果数字： 0.9774. 解： 因为A与B只有一个发生的事件为，所以 2分 = 4分 = 6分 = 0.4(1-0.7)+(1-0.4)0.7 = 0.54 8分计算的最后结果数字： 0.545. 解：因为与只有一个发生的事件为，所以 2分 = 4分= 6分 =0.6(1-0.8)+ (1-0.6)0.8 = 0.44 8分计算的最后结果数字： 0.446. 解： ， 3分 ， 5分 8分计算的最后结果数字： 0.77. 解： ， ， 3分 = = =- 6分 =-1+ = 0.841 3-1+0.998 7 = 0.84 8. 解： = 0.4， 2分 = =0.4 0.2 = 0.08， 4分 =1- = 1 - =1-= 0.9 8分计算的最后结果数字： 0.99. 解： （1） C 3分（2） =0.998 4 8分计算的最后结果数字： 0.025 6， 0.998 410. 解： ， 3分， 5分于是 8分计算的最后结果数字： 11. 解： 因为， 2分，即 4分 所以， 8分计算的最后结果数字： 12. 解：因为 ， 2分， 3分所以， 8分计算的最后结果数字： 13. 解：（1）因为， 2分 , 3分所以 8分计算的最后结果数字： 0.4 14. 解：（1）P（1 X 7）= 4分 = 6分 = 0.977 2 + 0.841 3 1 = 0.818 5 15. 解： 令，则，故 3分= = 6分= 0.862 1 16. 解： 2分 4分 6分 8分计算的最后结果数字： 0.2817. 解： 设如下事件：“第一道工序加工的零件是次品”：“第二道工序加工的零件是次品”：“零件是合格品” 3分由事件的关系 . 4分已知相互独立，由加法公式得 , 6分由对立事件的关系可知 8分计算的最后结果数字： 0.960 318. 解： 3次抽取中所含白球个数，设：“恰有2个白球”，则有 4分设：“有白球”，则有 8分计算的最后结果数字： 0.189， 0.65719. 解： 该篮球运动员投中篮框的次数，设：“投中篮框不少于2次”，则有 4分设：“至少投中篮框1次”，则有 8分计算的最后结果数字： 0. 896， 0.99220. 解： 该篮球运动员投中篮框的次数，设：“投中篮框不少于2次”，则有 4分设：“至少投中篮框1次”，则有 8分计算的最后结果数字： 0.972， 0.99921. 解：气象站天气预报的准确次数，设：“恰有3次准确”，则有 . 4分设：“至少1次准确”，则有 8分计算的最后结果数字： 0.411 6， 0.991 922. 解：抽取次品的件数，设：“有次品”，则有 , 4分设：“恰有两件次品”，则有 8分计算的最后结果数字： 0.343 9， 0.048 623. 解：射手连续射击5次，命中靶心的次数设：“命中靶心”，则