基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法.pdf

摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇基基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法封全喜1,2摇 摇 金培源1摇 摇 岑健铭1摇 摇 艾摇 武1,2摇 摇 林摇 彬1,2摘摇 要摇 差分进化算法是一种基于群体内个体之间差异的全局随机搜索算法,其中变异算子是差分进化算法的重要组成部分,不同的变异算子适用于不同的种群分布情况.为了有效识别种群的进化状态,文中提出基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法,计算四个不同等级目标函数值和个体间距离的耦合协调度,评估种群在迭代过程中所处的进化状态.根据评估结果将种群状态分为搜索、平衡、收敛三种进化状态,并针对不同的进化状态构造相应的变异算子池.此外,通过自适应调节 Powell 方法,提升算法的收敛速度.最后,在 CEC2017 测试函数集上的数值实验验证文中算法的有效性.关键词摇 差分进化算法,耦合协调度,变异算子,进化状态,自适应 Powell 方法引用格式摇 封全喜,金培源,岑健铭,艾 武,林 彬.基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法.模式识别与人工智能,2023,36(8):733-748.DOI摇 10.16451/ki.issn1003鄄6059.202308006中图法分类号摇 TP 18Differential Evolution Algorithm Based onCoupling and Coordinating Population State AssessmentFENG Quanxi1,2,JIN Peiyuan1,CEN Jianmin1,AI Wu1,2,LIN Bin1,2ABSTRACT摇Differential evolution is a global stochastic search algorithm based on the differencesbetween individuals within a population.The mutation operator is an important component of thedifferential evolution algorithm,and different mutation operators are suitable for different populationdistributions.To effectively identify the evolutionary state of the population,a differential evolutionalgorithm based on coupling and coordinating population state assessment(CCPDE)is proposed.Theevolutionary state of the population in the iteration process is evaluated by calculating the couplingcoordination degree between four different levels of fitness values and individual distances.Thepopulation is classified based on the evaluation results into three evolutionary states:search,balance andconvergence,and corresponding mutation operator pools are constructed for different evolutionary states.In addition,the convergence speed of CCPDE is accelerated by adaptive adjustment of the Powellmethod.Numerical experiments on CEC2017 test functions show the effectiveness of CCPDE.Key Words摇 Differential Evolution Algorithm,Coupling Coordination Degree,Mutation Operator,Evo鄄lutionary State,Adaptive Powell忆s Method收稿日期:2023-03-27;录用日期:2023-08-30Manuscript received March 27,2023;accepted August 30,2023国家自然科学基金项目(No.62166015,62166013)资助Supported by National Natural Science Foundation of China(No.62166015,62166013)本文责任编委 付 俊Recommended by Associate Editor FU Jun1.桂林理工大学 理学院摇 桂林 5410042.桂林理工大学 广西高校应用统计重点实验室摇 桂林5410041.College of Science,Guilin University of Technology,Guilin5410042.Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of AppliedStatistics,Guilin University of Technology,Guilin 541004第 36 卷摇 第 8 期模式识别与人工智能Vol.36摇 No.82023 年 8 月Pattern Recognition and Artificial IntelligenceAug.摇2023摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇Citation摇 FENG Q X,JIN P Y,CEN J M,AI W,LIN B.Differential Evolution Algorithm Based onCoupling and Coordinating Population State Assessment.Pattern Recognition and Artificial In鄄telligence,2023,36(8):733-748.摇 摇差分进化(Differential Evolution,DE)是 Storn等1提出的一种简单且功能强大的进化算法.算法基于种群内个体之间的差异性进行迭代,具有较强的全局搜索能力,现已成功应用于许多工程领域,包括:无人机路径规划2、斜拉桥索力优化3、系统功率分配4、飞行控制率评估5、激光熔覆工艺参数优化6等.差分进化算法主要由变异、交叉、选择三个算子构成.变异算子是差分进化算法的重要组成部分,不同的变异算子迭代效果不同.因此,在算法迭代过程中,需要选择合适的变异算子.针对此问题,学者们提出多种不同的变异算子及其选择策略.常见的变异算子选择策略都是基于概率模型提出的.Qin等7提出 SaDE(Self鄄Adaptive DE),根据各变异算子的前期迭代效果计算后验概率,并依据概率值选择合适的变异算子.Liu 等8提出 HHDE(Historicaland Heuristic DE),基于个体历史成功经验和其当前状态信息动态选择变异算子和控制参数.Pan 等9提出 SspDE(DE Algorithm with Self鄄Adaptive TrialVector Generation Strategy and Control Parameters),设计变异算子列表,存放上一代变异成功的变异算子,并据此计算选择概率.此外,还有学者提出基于多策略共存的变异算子选 择 策 略.Wang 等10提 出 CoDE(CompositeDE),算法中每个个体采用多个不同类型的变异算子,产生多个候选个体,并选择适应度值高的个体进入下一代.Wang 等11在 CoDE 的基础上,提出C2oDE(Constrained CoDE),采用三种不同变异算子,其中两个算子侧重收敛性能,一个算子侧重搜索性能.此外将可行性准则和 着 约束方法进行搭配,进而选择合适的个体进入下一代.数值实验表明该算法是一种有效的算法.还有学者通过种群划分方式,分别为不同类型的种群分配不同的变异算子.Wu等12提出 MPEDE(Multi鄄population Based EnsembleDE),将种群分为三个规模相同的指标种群和一个奖励子种群,并为每个指标种群分配不同的变异算子.每隔一定代数后,根据三个变异算子的迭代效率,将性能最优的变异算子分配给奖励子种群.近年来,也有学者基于种群的分布信息选择变异算子.Liu 等13提出 TSDE(DE with a Two鄄StageOptimization Mechanism),利用迭代过程中前期注重全局搜索和后期注重局部收敛的特点,将迭代过程均衡划分为两个阶段,分别设计变异算子池.Zhou等14提出 DEMS(DE with Multi鄄stage Strategies),利用种群中个体间的平均距离将迭代过程划分成搜索、平衡和收敛三个阶段,不同阶段分别使用不同类型的变异算子.Zhan 等15提出 APSO(AdaptiveParticle Swarm Optimization),计算种群中所有个体之间的欧氏距离,评估种群的分布情况,并针对不同的分布情况采用不同的变异算子.Yu 等16提出ADE(Adaptive DE),利用种群中最优个体与其它个体之间的欧氏距离评估种群的分布情况.考虑到计算所有个体之间欧氏距离的计算复杂度较高,Zhan等17提出 ADDE(Adaptive Distributed DE),利用种群中最优个体和中间个体评估种群的分布情况.Li等18提出 DEET,计算所有个体距离与目标函数值的相关性,评估种群进化状态.上述种群状态评估算法取得良好的效果,表明根据种群个体的分布信息和目标函数值评估种群状态,再选择合适变异算子,有助于提升差分进化算法的性能.然而,部分种群状态评估算法只是单纯使用最优个体或中位数个体以评估种群状态,导致种群状态评估不准确.还有部分种群状态评估算法即使利用种群分布信息和目标函数值,也仅仅以最优个体作为参照评估种群状态,容易导致评估结果不稳定.还有部分种群状态评估算法利用种群中所有个体,导致算法的计算复杂度较高.为了有效评估种群状态,本文提出基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法(DE AlgorithmBased on Coupling and Coordination Population StateEvaluation,CCPDE),计算四个不同等级目标函数值和个体间距离的耦合协调度,评估种群在迭代过程中所处的进化状态.根据评估结果将种群状态分为搜索、平衡、收敛三种进化状态,并针对不同的进化状态构造相应的变异算子池.此外,通过自适应Powell 方法19,提升算法的收敛速度.最后,在CEC2017 测试函数集上的数值实验验证本文算法的有效性.1摇差分进化算法差分进化算法是一种新兴的进化计算技术,最437模式识别与人工智能(PR&AI)摇 摇 摇第 36 卷初用于解决切比雪夫多项式问题,后来逐渐发展成为解决复杂优化问题的有效技术.差分进化算法是一种基于群体智能的全局随机搜索算法,具有控制参数较少、容易实现、优化效果稳健等优点.在算法迭代过程中,差分进化算法特有的记忆能力有助于算法动态跟踪当前搜索情况,调整搜索策略.与其它进化算法类似,差分进化算法的迭代过程中不需要借助问题的特征信息,适应于求解各种类型的复杂优化问题.算法主要通过种群内个体间的差异产生下一代种群.相比其它进化算法,差分进化算法基于种群的全局搜索策略、差分变异操作和“一对一冶的竞争选择策略.算法主要由变异、交叉和选择这三个基本操作组成.变异算子是差分进化算法的重要组成部分,根据向量之间的差异提升种群的多样性.不同的变异算子具有不同的性能.下面列出 7 种常见的变异算子.1)DE/rand/1:vgi=xgr1+F(xgr2-xgr3).2)DE/best/1:vgi=xgbest+F(xgr1-xgr2).3)DE/best/2:vgi=xgbest+F(xgr2-xgr3)+F(xgr4-xgr5).4)DE/current鄄to鄄rand/1:vgi=xgi+F(xgr1-xgi)+F(xgr2-xgr3).5)DE/current鄄to鄄best/1:vgi=xgi+F(xgbest-xgi)+F(xgr1-xgr2).6)DE/current鄄to鄄pbest/120:vgi=xgi+F(xgpbest-xgi)+F(xgr1-xgr2).7)DE/current鄄to鄄ci_mbest/121:vgi=xgi+F(xgci_mbesti-xgi)+F(xgr1-xgr2),xgci_mbesti=移mk=1wkxgk,wk=m-k+11+2+m,k=1,2,m.其中:vgi表示第g代的第i个变异向量;F沂0,1 表示缩放因子;r1、r2、r3、r4、r5表示在1,2,NP 中随机选择且互不相等的整数,NP表示种群规模;xgbest表示最优个体;xgpbest表示从 NP 伊 p 个较优个体中随机选择的个体,p 为0,1 区间内均匀分布随机数;xgci_mbesti表示种群中目标函数值排名前 m 个个体的线性组合向量,m表示从1,i 区间内随机选择的一个整数;wk表示组合向量的权重.交叉算子按一定概率将变异个体 vgi与父代个体 xgi进行重组,生成实验向量:ugi=(ugi,1,ugi,2,ugi,D),ugi,j=vgi,j,randj(0,1)f(xgi)其中,xg+1i表示第 g+1 代的第 i 个个体,f()表示个体的目标函数值.2摇基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法差分进化算法是一种群体智能进化算法,其“贪婪冶 的选择算子有助于算法在迭代过程中不断进行优胜劣汰.在迭代过程中,差分进化算法通常利用某些个体或某些群体,如最优个体、最优子种群等信息引导种群朝着更好的方向进化.然而,这些进化方式由于种群状态的不同而呈现多样化.根据解的近似最优性原理可知,优良解之间具有相似结构22.此原理广泛应用于提升进化算法的性能,特别是具有较大山谷结构的优化问题.连续优化问题的搜索空间可以大致分为三类:单峰函数、有大山谷结构的多模态函数和无大山谷结构的多模态函数18.这 3 种不同类型函数的极值点分布如图 1所示.由图 1 可知,第一个函数只有一个驻点,即单峰函数的极值点.因此,采用最优个体作为基向量,有助于提高最优解的精度和算法的收敛速度.第二个函数为有大山谷结构的多模态函数,解空间包含多个结构明显的局部极值点,但总体上看呈现大山谷结构.在这种情况下,虽然最优个体仍然能较好地指导种群进化,但为了避免种群陷入局部最优解,应选择特定的最优群体作为基向量较为合适.第三个函数为无大山谷结构的多模态函数,解空间具有多个局部极值点且分布结构不明显,这种情况使用全局搜索性能更强的变异算子搜索更有希望的区域,避免算法陷入局部最优解.537第 8 期摇 摇 摇 摇 封全喜等:基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-6 -4 -20 24 60.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-6 -4 -20 24 6-6 -4 -20 24 61.00.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0(a)单峰函数(b)有大山谷结构的多模态函数(c)无大山谷结构的多模态函数(a)Unimodal function(b)Multimodal function with large(c)Multimodal function withoutvalley structurelarge valley structure图 1摇三种不同类型函数的极值点示意图Fig.1摇 Schematic diagrams of extreme points for 3 different types of functions摇 摇基于上述分析可知,差分进化算法的进化过程中种群状态会动态变化.本文将上述三种情况分别记为收敛状态、平衡状态和搜索状态.根据“没有免费午餐冶 定理23,每个变异算子都有自己特定的适用范围.因此,如何针对不同种群状态选择合适的变异算子是一个极具挑战的任务.因此,本文首先利用耦合协调度模型度量种群的分布情况,将种群进化状态分为搜索、平衡、收敛三种情况,再根据不同的进化状态,分别设计不同的变异算子池.2.1摇基于耦合协调度模型的种群进化状态识别耦合协调度模型常用于分析事物的协调发展水平,由耦合度和协调度两部分构成.耦合度的概念源于物理学领域24,一般用于刻画多个指标之间相互影响的程度,已广泛应用于社会科学领域25-26.协调度指耦合相互作用关系中良性耦合程度的大小,可体现协调状况的好坏.本文使用耦合协调度模型评估目标函数值与个体距离两个指标之间的关系,从而多角度度量当前种群进化状态,减少种群进化状态的误判.根据统计学中四分位数概念,本文以上四分位数、中位数、下四分位数3个分割点,将排序后种群分为4个等级的子种群,再通过耦合协调度模型计算种群的进化状态.具体步骤如下.1)将种群中所有个体按目标函数值的优劣排序,并根据排序结果将种群均分成 4 个不同等级的子种群,分别记为 POP1、POP2、POP3、POP4.2)从4 个子种群POP1、POP2、POP3、POP4中分别随机抽取4个个体X1,i1、X2,i2、X3,i3、X4,i4,它们的目标函数值分别记为 f1,i1、f2,i2、f3,i3、f4,i4,计算个体两两之间目标函数值的差:驻fk,j=fk,ik-fj,ij,k=1,2,3,4,j=1,2,3,4.(1)驻fk,j标准化后得U1k,j=1-驻fk,jmaxk,j(驻fk,j),k=1,2,3,4,j=1,2,3,4,(2)其中,maxk,j(驻fk,j)表示个体间目标函数值差值 驻fk,j的最大值.3)计算4 个个体 X1,i1、X2,i2、X3,i3、X4,i4两两之间的欧氏距离:dk,j=Xk,ik-Xj,ij2,k=1,2,3,4,j=1,2,3,4.(3)同样,dk,j标准化后得U2k,j=1-dk,jmaxk,j(dk,j),k=1,2,3,4,j=1,2,3,4,(4)其中maxk,j(dk,j)表示个体间欧氏距离 dk,j的最大值.4)计算4 个个体 X1,i1、X2,i2、X3,i3、X4,i4两两之间的耦合协调度:摇 摇 摇 摇 摇 CCDk,j=摇Ck,jTk,j,(5)摇 摇 摇 摇 摇 Ck,j=2U1k,jU2k,j(U1k,j+U2k,j)212,摇 摇 摇 Tk,j=茁1U1k,j+茁2U2k,j,637模式识别与人工智能(PR&AI)摇 摇 摇第 36 卷摇 摇 摇 k=1,2,3,4,j=1,2,3,4.其中:Ck,j表示第 k 个个体与第 j 个个体的耦合度;Tk,j表示第 k 个个体与第 j 个个体的协调度;本文令茁1=茁2=12.5)计算每个个体之间的耦合协调度平均值,即种群状态评估值:兹=116移4k=1移4j=1CCDk,j.(6)并依据 兹 将进化种群划分成如下 3 种状态.(1)当兹 臆1-滋 时,说明4个不同等级个体之间的总体耦合协调度值较低,即 4 个个体分布较分散,此时种群处于搜索状态.(2)当1-滋 兹 滋 时,说明4个不同等级个体之间分布有聚合有分散,此时种群处于平衡状态.(3)当 兹 逸 滋 时,说明四个不同等级的个体处于聚合情况,即目标函数值和距离均较接近,此时种群处于收敛状态.滋 为给定的阈值,范围在0.5,1)内.2.2摇变异算子池在完成种群状态的评估之后,需要根据不同进化状态设计合适的变异算子池,具体设计方式如下.1)搜索状态变异算子池DE/rand/1,DE/best/2,DE/current鄄to鄄rand/1.在搜索状态下,需要增强算法的全局搜索能力,故应选择搜索性能较优的变异算子.在所有的变异算子中,DE/rand/1 为较常用的一种.相比 DE/rand/1,DE/best/2 包含2 个不同的差分向量,具有更好的全局探索能力.DE/current鄄to鄄rand/1 在解决旋转问题时具有较好表现.因此本文选择 DE/rand/1、DE/best/2、DE/current鄄to鄄rand/1 这 3 个变异算子组成搜索状态的变异算子池.2)平衡状态变异算子池DE/current鄄to鄄pbest/1,DE/current鄄to鄄ci_mbest/1.在平衡状态下,种群个体聚集和分散情况不明显,此时应 同 时 关 注 算 法 的 搜 索 性 能 和 收 敛 性 能.DE/current鄄to鄄pbest/1 利用表现较优的个体作为目标向量,引导种群向优秀个体进化,能有效平衡算法搜索和收敛性能.DE/current鄄to鄄ci_mbest/1 集成多个优秀个体的信息,以此作为目标向量,引导种群向有前途的方向进化,是近年来表现较优的一种变异算子.因此,本文选择 DE/current鄄to鄄pbest/1 和DE/current鄄to鄄ci_mbest/1 两个算子组成平衡状态的变异算子池.3)收敛状态变异算子池DE/best/1,DE/current鄄to鄄best/1.在收敛状态下,种群已聚集在某一局部区域,此时应该提升算法的收敛速度和解的精度.故本文选择DE/best/1 和 DE/current鄄to鄄best/1 两个算子组成收敛状态的变异算子池.2.3摇自适应 Powell 方法Powell 共轭梯度下降法27是一种直接优化方法.从一个初始点出发,轮流对每个方向进行双向搜索,直到满足最优性条件.考虑到差分进化算法的局部搜索能力较弱,本文引入自适应 Powell 方法19,每隔固定代数 G 执行一次此方法,进行局部搜索,提升 CCPDE 搜索效率.自适应Powell方法自适应调节Powell方法的容忍度着 和步长 啄.第 j 维的步长为:啄j=0.001移mi=1(xi,j-xbest,j)NP10%,(7)其中,NP10%表示计算步长解的数目,xi表示第 i个个体,xbest表示种群的最优解.自适应 Powell 方法基于迭代次数自适应调整Powell 方法的搜索过程,并通过混合外推技术结合逆黄金分割法与抛物线插值方法,从而优化种群中个体.自适应 Powell 方法伪代码如算法 1 所示.算法 1摇自适应 Powell 方法19给定初始点 x0,D 维的单位矩阵 E,容忍度 着,搜索步长 啄=(啄1,啄2,啄D)WHILEf(x0)-f(xD+1)着 未满足摇 啄=2啄3,x0=xD+1摇 FOR k=1 颐 D摇 摇令 g(姿)=f(xk-1+姿Ek)摇 摇结合逆黄金分割法和逆抛物线插值法,构造混合外推法摇 摇以 啄k为初始步长,寻找包含 姿2的区间姿1,姿3,使得 g(姿2)g(姿1),g(姿2)g(姿3)摇 摇用 Brent忆s 搜索方法寻找函数 g(姿)在区间姿1,姿3 上的最优值 姿摇 摇令 xk=xk-1+姿Ek摇 摇FOR j=1 to D-1摇 摇 摇Ej=Ej+1摇 摇END FOR摇 摇ED=xD-x0,g(姿)=f(xD+姿ED)摇 摇同样构造 姿 的区间姿1,姿3,用 Brent忆s 搜索方法寻找函数 g(姿)最优值 姿737第 8 期摇 摇 摇 摇 封全喜等:基于耦合协调种群状态评估的差分进化算法摇 摇xD+1=xD+姿DED摇 END FOREND WHILE2.4摇本文算法步骤为了充分利用种群的个体间距离和目标函数值,有效评估种群进化状态并选择合适的变异算子,本文提出基于耦合协调度种群状态评估的差分进化算法(CCPDE),伪代码如算法 2 所示.算法 2摇 CCPDE输入 摇最大评价次数 MaxFES,种群大小 NP,状态阈值 滋,缩放因子 F,交叉概率 CR,固定代数 G,容忍度 着输出 摇种群中最优解初始化种群 POP,Gen=0,FES=NPWHILE FES MaxFES摇Gen=Gen+1摇按目标函数值将种群分为 4 个子种群.从子种群中分别随机选择一个个体,通过式(1)式(6)计算耦合协调度,得到种群进化状态评估值 兹摇IF 兹 臆 1-滋摇 摇DE/rand/1,DE/current鄄to鄄rand/1,DE/best/2中随机选择一个变异算子,对当前种群POP执行变异操作摇ELSE IF 1-滋 兹 滋摇 摇DE/current鄄to鄄pbest/1,DE/current鄄to鄄ci_mbest/1中随机选择一个变异算子,对当前种群 POP 执行变异操作摇ELSE摇 摇DE/best/1,DE/current鄄to鄄best/1 中随机选择一个变异算子,对当前种群 POP 执行变异操作摇END IF摇交叉、选择、更新参数摇FES=FES+NP摇IF mod(Gen,G)=0摇 摇着=着FES摇 摇根据式(7)计算 啄摇 摇随机产生正整数 k 沂 1,2,NP摇 摇x0=xbest+rand(0,1)(xbest-xk)摇 摇以 x0为初始点,调用算法 1 中的 Powell 方法,产生新的解 y摇 摇利用 y 代替种群中的最差解摇END IFEND WHILE由算法 2 可知,CCPDE 的步骤具体如下:首先,初始化种群以及设置各参数.再利用耦合协调度评估种群的进化状态.然后,根据种群所处的进化状态选择相应的变异算子池.最后,每隔固定代数,利用Powell 方法更新种群,直到迭代终止,输出最优解.3摇实验及结果分析3.1摇测试函数与参数设置本文使用 CEC2017 测试集28验证算法性能.CEC2017 测试集包含30 个测试函数,F1 F3 为单峰函数,F4 F10 为多峰函数,F11 F20 为混合函数,F21 F30 为复合函数.本文选择目标函数值误差均值和标准差度量算法性能.每个测试函数独立运行 25 次,以 25 次目标函数值误差均值作为最终结果,目标函数值的最大计算次数MaxFES=10000D,其中 D 表示函数维数.通过 Wilcoxon 符号秩检验和 Friedman 检验对数值实验结果进行检验分析,显著性水平为 0.05.对比结果中优于、劣于、相似分别表示 CCPDE 的数值结果显著优于、劣于和相似于对比算法的数值结果.所有算法均在 Windows 11,Intel(R)Core(TM)i5鄄11300H3.10 GHz,16 GB of RAM 环境上进行数值实验,在 matlabR2020b 上编码实现.3.2摇与常见差分进化算法对比结果为了验证CCPDE的有效性,在CEC2017测试集上进行数值实验.选择如下对比算法:TSDE13,EPSDE(DE Algorithm with Ensemble of Parametersand Mutation and Crossover Strategies)29,FADE(Fitness鄄Based Adaptive DE)30,CJADE(Chaotic鄄Local鄄Search鄄Based JADE)31,IMODE(Improved Multi鄄operator DE)32.对比算法参数设置与原文献一致.CCPDE 的 F和CR参数值采用JADE19的自适应参数调整方案,状态参数阈值 滋 设置为 0.8.6 种算法在CEC2017 测试函数上的Wilcoxon符号秩检验的对比结果如表1 表3 所示,测试函数的维度分别为 10、30、50.由表1表3 中结果可知,CCPDE的整体性能均优于其它对比算法,特别是在维数为30和50的测试函数上,综合性能明显优于其它算法.837模式识别与人工智能(PR&AI)摇 摇 摇第 36 卷表 1摇各算法在 10 维测试函数下的误差均值对比Table 1摇 Comparison of mean error values of different algorithms with 10D test functions函数EPSDEFADECJADETSDEIMODECCPDEF15.68e-16(依2.84e-15)1.14e-15(依3.93e-15)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)F23.75e-08(依5.50e-08)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)3.41e-15(依9.43e-15)F30.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)F49.09e-15(依2.69e-14)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)9.83e-08(依3.05e-07)F53.92e+00(依1.01e+00)3.22e+00(依1.55e+00)3.06e+00(依6.80e-01)4.46e+00(依1.22e+00)4.09e+00(依1.16e+00)2.22e+00(依9.44e-01)F60.00e+00(依0.00e+00)1.55e-04(依5.69e-04)7.28e-14(依5.57e-14)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)F71.47e+01(依1.37e+00)1.26e+01(依3.25e+00)1.34e+01(依9.96e-01)1.42e+01(依2.31e+00)1.43e+01(依1.13e+00)1.23e+01(依7.21e-01)F84.58e+00(依1.47e+00)3.58e+00(依1.82e+00)3.41e+00(依8.25e-01)3.90e+00(依2.05e+00)4.34e+00(依1.31e+00)2.47e+00(依1.08e+00)F90.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)F102.86e+02(依1.13e+02)1.06e+02(依1.11e+02)8.78e+01(依6.75e+01)1.72e+02(依9.35e+01)1.00e+02(依9.50e+01)4.95e+01(依6.13e+01)F112.26e+00(依1.16e+00)1.23e+00(依8.75e-01)2.12e+00(依6.72e-01)7.96e-02(依2.75e-01)1.99e-01(依4.06e-01)3.30e-01(依5.49e-01)F121.78e+02(依1.56e+02)7.33e+01(依5.88e+01)9.59e+01(依7.99e+01)1.62e+00(依3.68e+00)1.23e+02(依7.74e+01)9.11e+01(依8.83e+01)F135.40e+00(依1.42e+00)4.46e+00(依2.20e+00)4.17e+00(依2.39e+00)2.07e+00(依2.13e+00)3.85e+00(依2.21e+00)2.75e+00(依2.48e+00)F141.89e+01(依4.48e+00)6.29e+00(依7.63e+00)4.22e-01(依4.15e-01)1.59e-01(依4.70e-01)1.15e-06(依5.76e-06)1.24e-01(依3.29e-01)F156.48e-01(依7.00e-01)5.64e-01(依6.85e-01)4.23e-01(依1.60e-01)8.01e-02(依2.26e-01)1.56e-02(依1.50e-02)6.15e-02(依2.05e-01)F168.83e+00(依9.12e+00)2.65e+00(依4.61e+00)9.79e-01(依2.72e-01)2.01e-01(依1.46e-01)6.81e-01(依1.93e-01)1.62e-01(依2.14e-01)F171.43e+01(依6.89e+00)8.34e+00(依1.13e+01)3.83e-01(依2.19e-01)4.03e-01(依4.42e-01)1.37e-01(依2.78e-01)2.79e-01(依3.00e-01)F182.02e+01(依1.28e+00)8.07e+00(依9.92e+00)3.00e-01(依3.92e-01)1.16e-02(依2.73e-02)3.05e-01(依2.09e-01)1.28e-01(依1.85e-01)F193.20e-01(依7.91e-02)4.53e-01(依5.44e-01)3.58e-02(依1.57e-02)1.17e-02(依1.12e-02)2.31e-02(依1.16e-02)1.42e-02(依1.30e-02)F201.49e+01(依6.53e+00)6.85e+00(依8.32e+00)1.25e-02(依6.24e-02)1.25e-02(依6.24e-02)0.00e+00(依0.00e+00)0.00e+00(依0.00e+00)F211.79e+02(依4.54e+01)1.09e+02(依2.99e+01)1.44e+02(依5.06e+01)1.73e+02(依5.09e+01)9.61e+01(依2.00e+01)1.46e+02(依5.21e+01)F229.60e+01(依2.00e+01)9.33e+01(依2.49e+01)9.31e+01(依2.42e+01)9.24e+01(依2.78e+01)6.19e+01(依3.38e+01)1.00e+02(依1.67e-12)F233.12e+02(依2.25e+00)3.06e+02(依2.51e+00)3.05e+02(依1.63e+00)3.06e+02(依1.61e+00)2.46e+02(依1.26e+02)3.02e+02(依1.84e+00)F243.35e+02(依2.38e+00)2.31e+02(依1.19e+02)2.78e+02(依8.96e+01)2.41e+02(依1.17e+02)8.32e+01(依3.48e+01)2.92e+02(依8.58e+01)F254.28e+02(依2.27e+01)4.09e+02(依2.01e+01)4.17e+02(依2.33e+01)4.02e+02(依1.26e+01)3.98e+02(依5.01e-01)4.18e+02(依2.31e+01)F263.15e+02(依4.39e+01)3.06e+02(依1.56e+01)3.00e+02(依0.00e+00)3.00e+02(依0.00e+00)8.00e+00(依4.00e+01)3.00e+02(依0.00e+