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同济六版高等数学课后答案全集
第一章
习题1-1
1. 设A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=[-10, 3), 写出AÈB, AÇB, A\B及A\(A\B)的表达式.
解 AÈB=(-¥, 3)È(5, +¥),
AÇB=[-10, -5),
A\B=(-¥, -10)È(5, +¥),
A\(A\B)=[-10, -5).
2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AÇB)C=AC ÈBC .
证明 因为
xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛ xÏA或xÏBÛ xÎAC或xÎBC Û xÎAC ÈBC,
所以 (AÇB)C=AC ÈBC .
3. 设映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 证明
(1)f(AÈB)=f(A)Èf(B);
(2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).
证明 因为
yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=y
Û(因为xÎA或xÎB) yÎf(A)或yÎf(B)
Û yÎf(A)Èf(B),
所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B).
(2)因为
yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因为xÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B),
所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).
4. 设映射f : X®Y, 若存在一个映射g: Y®X, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xÎX, 有IX x=x; 对于每一个yÎY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1.
证明 因为对于任意的yÎY, 有x=g(y)ÎX, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.
又因为对于任意的x1¹x2, 必有f(x1)¹f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)Þg[ f(x1)]=g[f(x2)] Þ x1=x2.
因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.
对于映射g: Y®X, 因为对每个yÎY, 有g(y)=xÎX, 且满足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.
5. 设映射f : X®Y, AÌX . 证明:
(1)f -1(f(A))ÉA;
(2)当f是单射时, 有f -1(f(A))=A
证明 (1)因为xÎA Þ f(x)=yÎf(A) Þ f -1(y)=xÎf -1(f(A)),
所以 f -1(f(A))ÉA.
(2)由(1)知f -1(f(A))ÉA.
另一方面, 对于任意的xÎf -1(f(A))Þ存在yÎf(A), 使f -1(y)=xÞf(x)=y . 因为yÎf(A)且f是单射, 所以xÎA. 这就证明了f -1(f(A))ÌA. 因此f -1(f(A))=A .
6. 求下列函数的自然定义域:
(1);
解 由3x+2³0得. 函数的定义域为.
(2);
解 由1-x2¹0得x¹±1. 函数的定义域为(-¥, -1)È(-1, 1)È(1, +¥).
(3);
解 由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=[-1, 0)È(0, 1].
(4);
解 由4-x2>0得 |x|<2. 函数的定义域为(-2, 2).
(5);
解 由x³0得函数的定义D=[0, +¥).
(6) y=tan(x+1);
解 由(k=0, ±1, ±2, × × ×)得函数的定义域为(k=0, ±1, ±2, × × ×).
(7) y=arcsin(x-3);
解 由|x-3|£1得函数的定义域D=[2, 4].
(8);
解 由3-x³0且x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, 3).
(9) y=ln(x+1);
解 由x+1>0得函数的定义域D=(-1, +¥).
(10).
解 由x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, +¥).
7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？
(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;
(2) f(x)=x, g(x)=;
(3),.
(4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x .
解 (1)不同. 因为定义域不同.
(2)不同. 因为对应法则不同, x<0时, g(x)=-x.
(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.
(4)不同. 因为定义域不同.
8. 设, 求, , , j(-2), 并作出函数y=j(x)的图形.
解 , , , .
9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1), (-¥, 1);
(2)y=x+ln x, (0, +¥).
证明 (1)对于任意的x1, x2Î(-¥, 1), 有1-x1>0, 1-x2>0. 因为当x1-x2.
因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以
f(-x2)f(x1),
这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.
11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果fx)和g(x)都是偶函数, 则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.
如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),
所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.
(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则
F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.
如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则
F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.
如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则
F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),
所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.
12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？
(1)y=x2(1-x2);
(2)y=3x2-x3;
(3);
(4)y=x(x-1)(x+1);
(5)y=sin x-cos x+1;
(6).
解 (1)因为f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数.
(2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.
(3)因为, 所以f(x)是偶函数.
(4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数.
(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.
(6)因为, 所以f(x)是偶函数.
13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:
(1)y=cos(x-2);
解 是周期函数, 周期为l=2p.
(2)y=cos 4x;
解 是周期函数, 周期为.
(3)y=1+sin px;
解 是周期函数, 周期为l=2.
(4)y=xcos x;
解 不是周期函数.
(5)y=sin2x.
解 是周期函数, 周期为l=p.
14. 求下列函数的反函数:
(1)Error! No bookmark name given.Error! No bookmark name given.;
解 由得x=y3-1, 所以的反函数为y=x3-1.
(2)Error! No bookmark name given.;
解 由得, 所以的反函数为.
(3)(ad-bc¹0);
解 由得, 所以的反函数为.
(4) y=2sin3x;
解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函数为.
(5) y=1+ln(x+2);
解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2, 所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex-1-2.
(6).
解 由得, 所以的反函数为.
15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.
证明 先证必要性. 设函数f(x)在X上有界, 则存在正数M, 使|f(x)|£M, 即-M£f(x)£M. 这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M.
再证充分性. 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1£f(x)£ K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 则 -M£ K1£f(x)£ K2£M ,
即 |f(x)|£M.
这就证明了f(x)在X上有界.
16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:
(1) y=u2, u=sin x, , ;
解 y=sin2x, ,.
(2) y=sin u, u=2x, ,;
解 y=sin2x, ,.
(3), u=1+x2, x1=1, x2= 2;
解 , , .
(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1;
解 , , .
(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1.
解 y=e2x, y1=e2×1=e2, y2=e2×(-1)=e-2.
17. 设f(x)的定义域D=[0, 1], 求下列各函数的定义域:
(1) f(x2);
解 由0£x2£1得|x|£1, 所以函数f(x2)的定义域为[-1, 1].
(2) f(sinx);
解 由0£sin x£1得2np£x£(2n+1)p (n=0, ±1, ±2× × ×), 所以函数f(sin x)的定义域为
[2np, (2n+1)p] (n=0, ±1, ±2× × ×) .
(3) f(x+a)(a>0);
解 由0£x+a£1得-a£x£1-a, 所以函数f(x+a)的定义域为[-a, 1-a].
(4) f(x+a)+f(x-a)(a>0).
解 由0£x+a£1且0£x-a£1得: 当时, a£x£1-a; 当时, 无解. 因此当时函数的定义域为[a, 1-a], 当时函数无意义.
18. 设, g(x)=ex Error! No bookmark name given., 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出这两个函数的图形.
解 , 即.
, 即.
19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40°(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域.
图1-37
解 , 又从得, 所以
.
自变量h的取值范围应由不等式组
h>0,
确定, 定义域为.
20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.
(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;
(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？
解 (1)当0£x£100时, p=90.
令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此当x³1600时, p=75.
当1000.01´10002=21000(元).
习题1-2
1. 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限:
(1);
解 当n®¥时, ®0, .
(2);
解 当n®¥时, ®0, .
(3);
解 当n®¥时, ®2, .
(4);
解 当n®¥时, ®0, .
(5) xn=n(-1)n.
解 当n®¥时, xn=n(-1)n没有极限.
2. 设数列{xn}的一般项. 问=? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N.
解 .
. "e >0, 要使|x n-0|N, 有|xn-0|0, $, 当n>N时, 有, 所以.
(2);
分析 要使, 只须, 即.
证明 因为"e>0, $, 当n>N时, 有, 所以.
(3);
分析 要使, 只须.
证明 因为"e>0 $, 当"n>N时, 有, 所以.
(4).
分析 要使|0.99 × × × 9-1|, 只须0, $, 当"n>N时, 有|0.99 × × × 9-1|0, $NÎN, 当n>N时, 有, 从而
||un|-|a||£|un-a|}有界, 又, 证明: .
证明 因为数列{xn}有界, 所以存在M, 使"nÎZ, 有|xn|£M.
又, 所以"e>0, $NÎN, 当n>N时, 有. 从而当n>N时, 有
,
所以.
6. 对于数列{xn}, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥),
证明: xn®a(n®¥).
证明 因为x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 所以"e>0,
$K1, 当2k-1>2K1-1时, 有| x2k-1-a|2K2时, 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|0, $, 当0<|x-3|10|=5|x-2|,
所以要使|(5x+2)-12|0, $, 当0<|x-2|0, $, 当0<|x-(-2)|0, $, 当时, 有
,
所以.
2. 根据函数极限的定义证明:
(1);
分析 因为
,
所以要使, 只须, 即.
证明 因为"e >0, $, 当|x|>X时, 有
,
所以.
(2).
分析 因为
.
所以要使, 只须, 即.
证明 因为"e>0, $, 当x>X时, 有
,
所以.
3. 当x®2时, y=x2®4. 问d等于多少, 使当|x-2| |x-2|®0, 故可设|x-2|<1, 即1X时, |y-1|<0.01?
解 要使, 只要, 故.
5. 证明函数f(x)=|x|当x®0时极限为零.
证明 因为
|f(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,
所以要使|f(x)-0| 只须|x|0, $d=e, 使当0<|x-0| , 所以"e>0,
$X1>0, 使当x<-X1时, 有|f(x)-A|0, 使当x>X2时, 有|f(x)-A|X时, 有|f(x)-A|0, $d>0, 使当0<|x-x0|d 时都有
|f(x)-A|0,
$d1>0, 使当x0-d10, 使当x0的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x®¥时函数极限的局部有界性的定理: 如果f(x)当x®¥时的极限存在, 则存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|0, 当|x|>X时, 有|f(x)-A|0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|一定.
例如, 当x®0时, a(x)=2x, b(x)=3x都是无穷小, 但, 不是无穷小.
2. 根据定义证明:
(1)当x®3时为无穷小;
(2)当x®0时为无穷小.
证明 (1)当x¹3时. 因为"e>0, $d=e , 当0<|x-3|0, $d=e , 当0<|x-0|104？
证明 分析, 要使|y|>M, 只须, 即.
证明 因为"M>0, $, 使当0<|x-0|104.
4. 求下列极限并说明理由:
(1);
(2).
解 (1)因为, 而当x®¥ 时是无穷小, 所以.
(2)因为(x¹1), 而当x®0时x为无穷小, 所以.
5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:

f(x)®A
f(x)®¥
f(x)®+¥
f(x)®-¥
x®x0
"e>0, $d>0, 使
当0<|x-x0|0, $X>0, 使当|x|>X时,
有恒|f(x)|>M.

x®+¥

x®-¥

解

f(x)®A
f(x)®¥
f(x)®+¥
f(x)®-¥
x®x0
"e>0, $d>0, 使当0<|x-x0|0, $d>0, 使当0<|x-x0|M.
"M>0, $d>0, 使当0<|x-x0|M.
"M>0, $d>0, 使当0<|x-x0|0, $d>0, 使当00, $d>0, 使当0M.
"M>0, $d>0, 使当0M.
"M>0, $d>0, 使当00, $d>0, 使当00, $d>0, 使当0M.
"M>0, $d>0, 使当0M.
"M>0, $d>0, 使当00, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒|f(x)-A|0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒|f(x)|>M.
"e>0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒f(x)>M.
"e>0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒f(x)<-M.
x®+¥
"e>0, $X>0, 使当x>X时, 有恒|f(x)-A|0, $X>0, 使当x>X时, 有恒|f(x)|>M.
"e>0, $X>0, 使当x>X时, 有恒f(x)>M.
"e>0, $X>0, 使当x>X时, 有恒f(x)<-M.
x®-¥
"e>0, $X>0, 使当x<-X时, 有恒|f(x)-A|0, $X>0, 使当x<-X时, 有恒|f(x)|>M.
"e>0, $X>0, 使当x<-X时, 有恒f(x)>M.
"e>0, $X>0, 使当x<-X时, 有恒f(x)<-M.
6. 函数y=xcos x在(-¥, +¥)内是否有界？这个函数是否为当x®+¥ 时的无穷大？为什么？
解 函数y=xcos x在(-¥, +¥)内无界.
这是因为"M>0, 在(-¥, +¥)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|>M. 例如
y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, × × ×),
当k充分大时, 就有| y(2kp)|>M.
当x®+¥ 时, 函数y=xcos x不是无穷大.
这是因为"M>0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|>M. 例如
(k=0, 1, 2, × × ×),
对任何大的N, 当k充分大时, 总有, 但|y(x)|=0 函数在区间(0, 1]上无界. 这是因为
"M>0, 在(0, 1]中总可以找到点xk, 使y(xk)>M. 例如当
(k=0, 1, 2, × × ×)
时, 有
,
当k充分大时, y(xk)>M.
当x®0+ 时, 函数不是无穷大. 这是因为
"M>0, 对所有的d>0, 总可以找到这样的点xk, 使0
(2);
解 .
(3);
解 .
(4);
解 .
(5);
解 .
(6);
解 .
(7);
解 .
(8);
解 (分子次数低于分母次数, 极限为零).
或 .
(9);
解 .
(10);
解 .
(11);
解 .
(12);
解 .
(13);
解 (分子与分母的次数相同, 极限为
最高次项系数之比)
或 .
(14);
解
.
2. 计算下列极限:
(1);
解 因为, 所以.
(2);
解 (因为分子次数高于分母次数).
(3).
解 (因为分子次数高于分母次数).
3. 计算下列极限:
(1);
解 (当x®0时, x2是无穷小, 而是有界变量).
(2).
解 (当x®¥时, 是无穷小,
而arctan x是有界变量).
4. 证明本节定理3中的(2).
习题1-5
1. 计算下列极限:
(1);
解 .
(2);
解 .
(3);
解 .
(4);
解 .
(5);
解 .
(6);
解 .
(7);
解 .
(8);
解 (分子次数低于分母次数, 极限为零).
或 .
(9);
解 .
(10);
解 .
(11);
解 .
(12);
解 .
(13);
解 (分子与分母的次数相同, 极限为
最高次项系数之比).
或 .
(14);
解
.
2. 计算下列极限:
(1);
解 因为, 所以.
(2);
解 (因为分子次数高于分母次数).
(3).
解 (因为分子次数高于分母次数).
3. 计算下列极限:
(1);
解 (当x®0时, x2是无穷小, 而是有界变量).
(2).
解 (当x®¥时, 是无穷小,
而arctan x是有界变量).
4. 证明本节定理3中的(2).
习题 1-7
1. 当x®0时, 2x-x2 与x2-x3相比, 哪一个是高阶无穷小？
解 因为,
所以当x®0时, x2-x3是高阶无穷小, 即x2-x3=o(2x-x2).
2. 当x®1时, 无穷小1-x和(1)1-x3, (2)是否同阶？是否等价？
解 (1)因为,
所以当x®1时, 1-x和1-x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.
(2)因为,
所以当x®1时, 1-x和是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.
3. 证明: 当x®0时, 有:
(1) arctan x~x;
(2).
证明 (1)因为(提示: 令y=arctan x, 则当x®0时, y®0),
所以当x®0时, arctanx~x.
(2)因为,
所以当x®0时, .
4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:
(1);
(2)(n, m为正整数);
(3);
(4).
解 (1).
(2).
(3).
(4)因为
(x®0),
(x®0),
(x®0),
所以 .
5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1) a ~a (自反性);
(2) 若a ~b, 则b~a(对称性);
(3)若a ~b, b~g, 则a~g(传递性).
证明 (1), 所以a ~a ;
(2) 若a ~b, 则, 从而. 因此b~a ;
(3) 若a ~b, b~g, . 因此a~g.
习题1-8
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
(1);
解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.
在x=1处, 因为f(1)=1, 并且
, .
所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的.
综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数.
(2).
解 只需考察函数在x=-1和x=1处的连续性.
在x=-1处, 因为f(-1)=-1, 并且
,
,
所以函数在x=-1处间断, 但右连续.
在x=1处, 因为f(1)=1, 并且
=f(1), =f(1),
所以函数在x=1处连续.
综合上述讨论, 函数在(-¥, -1)和(-1, +¥)内连续, 在x=-1处间断, 但右连续.
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1), x=1, x=2;
解 . 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点.
因为, 所以x=2是函数的第二类间断点;
因为, 所以x=1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x=1处, 令y=-2, 则函数在x=1处成为连续的.
(2), x=k, (k=0, ±1, ±2, × × ×);
解 函数在点