平面解析几何单元测试卷.doc

《平面解析几何初步》单元测试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1.（原创）已知点，，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
1. 【答案】D，【解析】因为直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为，选D.
2.（原创）若直线经过圆C：的圆心，则实数的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．-1
2.【答案】C，【解析】因为圆C：的圆心为（1，-1），所以直线过点（1，-1），所以，选C.
2．（原创）圆的圆心到直线的距离为（　　）
A． B．1 C． D．
2.【答案】A,【解析】直线的直角方程为，所以圆心到直线的距离为，选A.
3.（原创）若关于x、y的方程组无实数解，则实数的值为（ 　）
A． B．1 C． - D．-1
3.【答案】A，【解析】由已知得直线与直线平行，所以，解得，选A.
4.（原创）当a为任意实数时，直线恒过定点M，则以M为圆心，半径为1的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.【答案】D，【解析】直线的方程可变形为，令，解得，即定点M（1，-2），所以圆的方程为，即，选D.
5.（原创）已知直线与直线垂直，且与圆C：相切，则直线的方程是( )
A. B.或
C. D.或
5.【答案】B，【解析】由于直线与直线垂直，于是可设直线的方程为，由圆C：的圆心坐标为（-1,0），半径为1，所以，解得或，选B.
6.（原创）与圆：和圆：都相切的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C3条 D.4条
6.【答案】C，【解析】圆的方程化为标准式为，所以两圆心间的距离为，且，所以两圆相交，故与两圆都相切的直线共有3条，选C.
7.(原创)若两平行直线和圆都没有公共点，则称这两条平行线和圆“相离”.已知直线，和圆相离，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7.【答案】A，【解析】因为两条平行直线和圆相离时，有，解得或，选A.
7.(原创)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”． 已知直线，和圆相切，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7.【解析】因为当两平行直线和圆相交时，有，解得；当两条平行直线和圆相离时，有，解得或，故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求，所求的的最后范围是或.故选B.
8.（原创）已知动点在直线上，则的最小值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
8.【答案】B，【解析】因为，其中表示直线上的动点到定点B（-10）的距离，其最小值为点B（-1,0）到直线可以看成是原点到直线的距离，即=，所以的最小值为3，故选B.
9.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
9.【答案】A，【解析】根据题意，过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，设直线PA：y-2=k(x-4),利用圆心到直线的距离为半径2，可知圆心与点P的中点为圆心（2,1），半径为OP距离的一半，即为，故选A.
9.已知直线:,若以点为圆心的圆与直线相切于点,且在轴上,则该圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
9.【答案】A，【解析】 由题意又直线与圆相切于点,,且直线的倾斜角为,所以点的坐标为,，于是所求圆的方程为，故选A.
9.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A.[，] B.[，3]
C.[-1，] D.[，3];
9.【答案】D，【解析】由曲线可知其图像不以（2，3）为圆心，半径为2的半圆，故直线与之有公共点介于图中两直线之间，求得直线与半圆相切时，直线过点（0，3）时有一个交点.故选D.
9.（原创）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．一定相离 B．一定相切 C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心
9.【答案】C，【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为.直线恒过定点，圆心到定点的距离，所以定点在圆内，所以直线和圆相交.定点和圆心都在直线上，且直线的斜率存在，所以直线一定不过圆心，选C.
10.设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.【答案】C，【解析】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.
10.（原创）在平面直角坐标系中，若直线xyc0与圆交于A，B两点，且，则实数c的值为（ ）
A． B． C． D．
10.【答案】D，【解析】由可知：，所以，因此圆心O到直线xyc0的距离为，即，解得，选B.
11.(原创)已知分别为平面内的两条相交直线，交点为A，动点P、Q分别在上运动，且|PQ|=，则过A、P、Q三点的动圆形成的面积为( )
A. B． C． D．
11.【答案】D，【解析】以A为原点，、分别为x轴和y轴建立直角坐标系，过A、P、Q三点的动圆即为以PQ为直径的圆，设圆心（即PQ中点）的坐标为，则P、Q的坐标分别为和，由|PQ|=可得：，因此过A、P、Q三点的动圆的圆心的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆，且动圆的半径为1，因此动圆形成的区域为半径为2、圆心为原点的圆及其内部（圆域），其面积为，选D.
12.(原创)已知直线与圆相交于A，B两点，点在直线上，且PA=PB，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
12.【答案】A，【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为（-1,0），半径为3，由直线与圆相交可得，，解得或.由点P在上可得：-①；又由PA=PB可知，点P落在与直线垂直且过圆心的直线上，所以-②.结合①，②可知，，当或时，可得，故选A.
二、填空题（本大题共4各小题，每小题5分，共20分
13.（原创）若直线l的倾斜角为135°，在x轴上的截距为，则直线l的一般式方程为 .
13.【答案】，【解析】直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即.
14.（原创）直线与直线关于点对称，则_______.
14.【答案】0，【解析】由于两直线关于点对称，两直线平行，故，解得；由直线上的点A（-1,0）关于点的对称点（5,2）在直线上，所以，解得.故0.
15.（原创）已知，⊙O：，由直线上一点向⊙O引切线PQ，切点为Q，若，则点坐标是 ．
15.【答案】，【解析】设，则由可得：即，将点的坐标代入可解得，故点点坐标为.
15.过直线上一点作圆的切线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为 .
15.【答案】，【解析】数形结合可知，当关于直线对称时，点和圆心的连线垂直于直线，所以点到圆心的距离为即为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式算得结果为.
15.已知直线平分圆的面积，且直线与圆相切，则 .
15.【答案】，【解析】根据题意，由于直线平分圆的面积，即可知圆心（7，-5）在直线上，即m=.同时利用直线与圆相切，可得圆心（1，2）到直线的距离等于圆的半径，即d=，，所以3.
15.（原创）直线过点且倾斜角为，直线过点且与直线垂直，则直线与直线的交点坐标为 ．
15.【答案】，【解析】直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以.所以直线的方程为，直线的方程为，两式联立解得，即直线与直线的交点坐标为.
16.（原创）数学家欧拉在1765年发现如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知三角形ABC的顶点A（-2，0），B（0，4），且三角形ABC的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为 .
16.【答案】(4,0)，【解析】设点C的坐标为，则三角形ABC的重心为，由欧拉线过重心得: 即①.又边AB的垂直平分线方程为，即，联立解得三角形的外心坐标为，所以，即②.联立①②，解得（舍去）或.故点C的坐标为（4,0）.
16.（原创）设圆的切线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，当取最小值时，切线在轴上的截距为 .
16.，解析：设直线与坐标轴的交点分别为，，显然，．则直线：，依题意：，即，所以，所以，设，则
.设，则，，，又，故当时，单调递减；当时，单调递增；所以当，时，有最小值．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题10分）（原创）已知圆C过两点M(2，0)和N（0，4），且圆心在直线上.
⑴求圆C的方程；
⑵已知过点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程.
17.解析】⑴由题可知，圆心C落在线段MN的垂直平分线上，且直线MN垂直平分线方程为，于是解方程组，可得圆心C的坐标为（1,2），且圆的半径为MC=，所以圆C的方程为.
⑵因为圆心C的坐标为（1,2），半径为，所以圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，由，解得，此时方程为，即.综上可得，直线的方程为或.
18.已知圆M:与轴相切。
⑴求的值；
⑵求圆M在轴上截得的弦长；
⑶若点是直线上的动点，过点作直线与圆M相切，为切点，求四边形面积的最小值.
18.【解析】⑴令，有，由题意知，
即的值为4.
⑵设与轴交于，令有（），则是（）式的两个根，则，所以在轴上截得的弦长为.
⑶由数形结合知：,PM的最小值等于点M到直线的距离,即,即四边形PAMB的面积的最小值为.
18. （本小题12分）（原创）在平面直角坐标系中，已知圆:，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，线段的中点为.
⑴求的取值范围；
⑵若，求的值.
18.解：⑴方法1：圆的方程可化为，直线可设为，即，圆心到直线的距离为，依题意，即，
解之得：.
方法2：由可得：，依题意，解之得：．
⑵方法1：因为，且斜率为，故直线：，由可得，又是中点，所以，即，解之得：．
方法2：设，，则，由可得：，所以，又，且斜率为，所以，即，也就是，所以，解之得：．
方法3：点的坐标同时满足，解此方程组，消去可得．
19.（本小题12分）（原创）设为坐标原点，已知直线，，是直线上的点，过点作的垂线与以为直径的圆交于两点.
⑴若，求圆的方程；
⑵若是直线上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程。
19.【解析】⑴设，则圆的方程：，直线的方程：， ，， ，.圆的方程：或.
⑵解法1：设，由①知：，即：，消去得：=2，点在定圆=2上.
解法2：设，则直线FP的斜率为，∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为，∴直线OM的方程为：，点M的坐标为， ∵MP⊥OP，∴，∴ ，∴=2,点在定圆=2上．
20.（本小题12分）（原创）某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在△ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所．现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米．设DC=米，试问取何值时，运动场所面积最大？
20.【解析】以C为坐标原点，CB所在直线为轴，CA所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，，．DE直线方程：-①，AB所在直线方程为-②，解①、②组成的方程组得，，∵直线经过点B时，∴，
=，

设，=，（当且仅当，即时取等号），此时，∴当=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大．
20.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为。
⑴若，试求点的坐标；
⑵若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
⑶经过三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由.
20.解：⑴设，由题可知，所以，解之得：, 故所求点的坐标为或．
⑵设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得，或，故所求直线的方程为：或．
⑶设，的中点，因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：，化简得：，此式是关于的恒等式，故，解得或所以经过三点的圆必过异于点M的定点.
20.（本小题12分）（原创）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上、半径为的圆位于轴右侧，且与直线相切.
⑴求圆的方程；
⑵在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
20.【解析】⑴设圆心是，它到直线的距离是，解得或（舍去），所求圆的方程是.
（2）点在圆上，，且，
又原点到直线的距离，解得.而，∴ ，，∴当，即时取得最大值，此时点的坐标是与，面积的最大值是.
21.（原创）若圆经过坐标原点和点，且与直线相切, 从圆外一点向该圆引切线,为切点，
⑴求圆的方程；
⑵已知点，且， 试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出的方程；若不是，请说明理由；
⑶若⑵中直线与轴的交点为,点是直线上两动点，且以为直径的圆过点，圆是否过定点？证明你的结论.
21．【解析】⑴设圆心由题易得，半径，得， ，所以圆的方程为.
⑵由题可得，所以， ，所以，整理得，所以点总在直线上.
⑶，由题可设点，,则圆心，半径.从而圆的方程为，整理得，又点在圆上，故，得，所以.令得，所以或，所以圆过定点和.
22.（改编）在平面直角坐标系中，已知圆，圆．
D

P
F
C1
E
O
x
y
第22题图1
⑴若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
⑵如图1，若圆是以1为半径，圆心在圆：上移动的动圆，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点分别为，求的取值范围；
⑶若动圆同时平分圆的周长、圆的周长，如图2所示，则动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
22.【解析】⑴设直线的方程为，即．因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为．化简，得，解得或．所以直线的方程为或.

第22题图2

才

⑵动圆D是圆心在定圆上移动，半径为1的圆.设，则在中，，有，
则.由圆的几何性质得，，即，，则的最大值为，最小值为.故.
⑶设圆心，由题意，得，即.化简得，即动圆圆心C在定直线上运动.设，则动圆C的半径为．于是动圆C的方程为．整理，得．由得或所以定点的坐标为，．

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