2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(6).doc

陈自山整理
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(6)
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望 。
2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为 。
3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 。
4．已知实数，，满足，则的最小值为 。
5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和 。

6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径 。
7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是 。
8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为 。
9．已知，若，则的取值范围为 。
10．若，则正整数的最小值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．求函数的最小值。
12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。
（1）求的取值范围；
（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。
13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。
（1）求证：；
（2）若为中点，求证：。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。
15．若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟6参考答案
1．【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。易得，的概率分布列为

0
1
4
9
16

∴ 。
2．【解答】依题意，有。∵ 在区间上的最大值为1，∴ 在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。
3．【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。
∴ ，。，，。
4．【解答】由柯西不等式，知。∴ ，当且仅当时等号成立。∴ 的最小值为。
5． 【解答】依题意，有
。∴ 。
6． 【解答】如图，作于连结，并延长交于点，连结。则是与平面所成的角，。∵ ，，，∴ ，为的外心，且。∴ ，为中点，结合知，，。∴ ，。∴ 、、两两互相垂直，四面体外接球半径。
7．【解答】设，（为虚数单位），
∵ ，，∴ ，，
。
设复数对应的点为。由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。
又，因此，，即的取值范围是。
8．【解答】。
依题意，有两个不同的实根。
设，则，有两个不同的实根。
若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。
若，则当时，；时，。
∴ 在区间上为增函数，上为减函数。
∴ 的最大值为。
又时，；时，。
∴ 当且仅当，即时，恰有2个不同的实根。
设的两根为，（）。则时，，；时，，；时，，。
∴ 为的极小值点，为的极大值点。符合要求。∴ 的取值范围为。
9．【解答】设，则。∴ 。
∴ ，。
由知，方程的解集是方程的解集的子集。若，则，。若，设，则，得。
又时，，所以，。的取值范围是。
10．【解答】由，，知 。
∴ ，，……………
上述各式左右两边分别相加，得
。
∴ ，。
∴ ，（），（）。
∴ 正整数的最小值为4。
11． 【解答】由，得或。
∴ 函数的定义域为。 ……………………… 5分
记，则
当时，易知。在上为增函数。
∴ 时，的最小值为。 ………………………… 10分
当时，。
∴ 在上为减函数，时，的最小值为。 ……… 15分
综合得，函数的最小值为1。 ……………… 20分
12． 【解答】（1）设方程为。由，得……… ①。
∵ 直线与双曲线有两个不同的交点，∴ ，解得，且。∴ 的取值范围为。 …………… 5分
（2）设，。则，。又，
∴ ，。
∵ ，
∴ 时，，

。
由，得，解得或（舍去）。∴ ，。 时，，
。
由，得，解得或或，均不符合，舍去。此时，满足条件的不存在综上可得，的值为1或…………………………… 20分
13． 【解答】（1）设圆、圆的半径分别为、，则。 …………………… 5分
（作于，于，则。）
由条件知，、、三点共线，，。
∴ ，。∴ 。 ………………… 10分
（2）由，得，即。
∴ 。 ………… 15分
∵ 为中点，，∴ ，即。
结合，可得。因此，。∴ 。… 20分
另解：设的中点为，则由，为中点知，，且。由，可得，，即。……… 15分又。∴ ，。∴ 。……… 20分
14． 【答案】不妨设点在第一象限。
设，则，直线的斜率。∴ 。
由、为整点，设，，其中，为正整数。
∴ ，。
∵ 内切圆的半径。
又，，
。
∴ 。。 ………………… 10分
∴ 。
设，，则。
∴ ，。… 15分
由，知，，为正整数，又的正因数有个。∴ 符合条件的有54组。∴ 符合条件的三角形有54个。…… 20分
15． 【答案】考察集合（时）的67元子集：
（偶数与被3整除的奇数）。
显然中不存在3个两两互素的元素。∴ 不符合要求。…………… 5分
引理：对任意的正整数，集合的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。
引理的证明：设集合是集合的一个5元子集。
∵ ，，，，，这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。
∴ 若中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。
若中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。结论成立。∴ 引理成立。 …………………… 10分
对任意的正整数，将集合划分成如下17个集合：
，
，
……………
，
。 ……………………… 15分
显然上述17个集合的两两交集为空集，并集为集合。
设集合是集合的68元子集。
若集合有4个元素来自集合。由于为奇数时，、、两两互素；为偶数时，、、两两互素。因此，中至少有3个元素两两互素。
若集合至多3个元素来自集合。则至少有65个元素来自集合、、…、。根据抽屉原理，至少有5个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合。由前面的引理可知，它们中存在3个两两互素的元素。
∴ 集合中总有3个两两互素的元素。
∴ 符合要求，即对任意的正整数，集合的任意68元子集中，总有3个元素两两互素。∴ 的最小值为68。