南京理工大学10份高等数学I试题.doc

南京理工大学2002级高等数学I试题（A卷）
一．填空题（每小题2分，共26分）
1．设，则= 。
2. 已知, 则= 。
3. 设 在[1, 3]上具有连续导数，则________。
5. 当时，已知和是等价无穷小，则=_____，
6、 (1 , 3 )为曲线的拐点，则=____，b=______。
7. 是函数的_________间断点。
8. 已知, 则=___________.
9. 设是由方程所确定的隐函数，则=_________.
12. 曲线上曲率最大的点为__________________。
13. 极限的结果为_________。.
二、计算题(每小题4分，共24分)
1. 2 3. 4 5. 6.
三、(6分)求在上的最大与最小值，并证明：。
五、(6分)已知曲线的参数方程，求。
六、(6分)求由曲线所围图形的面积。
七、(6分)设，证明：，其中满足不等式
南京理工大学2002级高等数学I期末试题（B卷）
一． 填空题（每小题3分，共30分）
1． 极限=
2． 设=___________________________.
3． 的n阶麦克劳林展开式为(带皮亚诺型余项)____________________.
4. =______________
7. =__________(p>0)。
8、当为___________________时, 广义积分收敛。
9. 极限的结果是_________。
10. 是函数的_________间断点(请填:跳跃、可去、无穷、振荡之一)。
二、计算题: (每小题5分，共30分)
1. 2. 3. 4.
5. 6. 已知，求
三、(6分)求由曲线所围图形的面积。
四、(6分)求函数的极值，并说明是极大值，还是极小值。
五、(7分)设，求。
六、(7分)求证不等式
八、(7分)设在区间[0, 1]上可导，且满足关系式,证明在内存在一点使得。
南京理工大学2003级高等数学(I)试题（A卷）

2πa
ρ=aθ

图1 图2 图3

一．单项选择题（每小题2分，共12分）
1．当时，是_______.
（A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。
2．在上是的原函数，则下列式子正确的是_______.
（A） ； （B） ；
（C）； （D）。
3．已知，则下列说法正确的是_______.

（A） ； （B）；
（C）； （D）。
4．已知函数在的图形(如图1），则下列说法正确的是_______.
（A） ，； （B），
（C），； （D），。
5．曲线与x轴、、所围成的三部分为A、B、C（如图2），它们的面积分别为2、12、4，设=M，=N，则下列说法正确的是_______.
（A） 函数f(x)未知，M，N不可求； （B）M=18，N=6；
（C）M=12，N=18； （D）M=6，N=18。
6. 是函数的 。
（A）. 连续点；（B）. 可去间断点；（C)..跳跃间断点；（D）. 第二类间断点
二．填空题（每小题2分，共12分）
1．设，则= ______ 。
2. 的n阶麦克劳林展开式为_______。
3. ________________。4. ___________。
5. 曲线y=sinx在点（，1）处的曲率=__________。
6.函数在上的最大值为__________。
三、求极限(每小题4分，共8分) 1. 2.
四、求导数(每小题4分，共8分) 1．； 2. .
五、求积分(每小题4分，共8分） 1． ；2..
六、(8分)求函数的极值。
七、(8分)设，计算积分
八、(10分)阿基米德（Archimedes,公元前287-212)很早就发现了螺线（后人称之为阿基米德螺线）的一周与极轴所围成的图形面积S1和圆的面积S2（半径为）之间的关系（如图3），请你计算S1的大小以及图中螺线一周的弧长，并指出S1是S2的几分之几。
九、(6分)设函数在上具有连续导函数，且，
证明：，其中。

南京理工大学2003级高等数学(I)期末试题（B卷）
一．单项选择题（每小题2分，共10分）
1．当时，是_______.
（A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。
2．在上是的原函数，则下列式子正确的是_______.
（A） ； （B） ；
（C）； （D）。
3．已知, 且，则下列说法正确的是_______.
（A）；（B）；（C）;（D）很小
4．广义积分=（ ）
（A） ； （B）； （C）； （D）发散.
5. 是函数的 。
A . 连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 第二类间断点
二．填空题（每小题2分，共14分）
1．设，则在x=3处的微分________。
2._______。
3. 曲线y=cosx在点（，0）处的曲率=__________。
4. =_________。
5. 曲线的水平渐近线为_____________。
6.________________。
7．设，则__________.
三、求极限(每小题4分，共8分) 1. 2.
四、求导数(每小题4分，共8分) 1．； 2. .
五、求积分(每小题4分，共8分） 1． ；2..
六、(6分)已知，求。
七、(6分)求证不等式：。
八、（6分）求函数的极值。
九、(8分)求由曲线与所围图形的面积。
十、(6分)设函数在[0，1]上二阶可导，并且，，
证明：在[0，1] 上必有。

南京理工大学2004级高等数学I试题（A卷）
一．单项选择题（每小题2分，共10分）
1．在原点_______.
不连续；连续，但不可导；可导但导数不为零；导数为零。
2 在取得极小值，则_______.
以上都不正确。
3 是的_______.
连续点；可去间断点；跳跃间断点；第二类间断点。
4 设在区间上有定义，下列说法正确的是_______.
若在内连续，则在上可积；
若在上可积，则在上连续；
若在上恒大于零，则在上可积；
若在上可积，则在上有界。
5 对广义积分，下列说法正确的是_______.
当时，收敛； 当时，发散；
一定收敛； 当时，收敛
二填空题（每小题3分，共15分）
1 函数的微分是_______.
2 设的拐点_______.
3 当时，和是同阶无穷小，则
4 积分
5 设是在上的最大值，则极限
三 求极限（每小题5分，共10分）
1 已知证明存在，并且求此极限。
2
四 求导数（每小题5分，共10分）
1 已知求 2已知求
五 求积分（每小题5分，共10分）
1 2
六 （8分）设，把展开成带型余项的阶麦克劳林公式，并求
七 （8分）计算由曲线和轴所围平面区域的面积；并求此平面区域绕轴旋转而得立体体积。
八 （5分）设的导函数在上连续，证明：

九（4分）若用极限定义证明

南京理工大学2005级高等数学I试题（A卷）
一 填空题（每小题2分，共20分）
1 若 , 则____________。
2 的拐点为 ____________。
3 设 ，为可微函数，则 ____________。
4 已知 ，当时，比是________无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。
5 极限 ＝_____________。
6 设 ，则_________________。
7 心形线 弧长为 _______________（用积分表示出来即可）。
8 积分 ＝ __________________。
9 设 在处的阶Taylor公式是
，则 当 时 系数__________________。
10 已知 则极限 ＝______________。
二 计算（每小题6 分,共 12分）
1 已知 ，求极限 。
2 找出函数的间断点，并且指出间断点的类型。
三 计算（每小题6 分,共 12分）
1 若 ， 求 。
2 若圆 与均过（0，0）点，且在（0，0）点有相同的一阶和二阶导数，试确定此圆的方程。
四 计算（每小题6 分,共 12分）
1 求的单调区间和极值。
2 曲线与直线在处相切，其中，求使得，，所围区域的面积最小。
五 计算（每小题6 分,共 12分）
1 。
2 已知 ，试用A 表示定积分。
六 证明 （每小题6 分,共 12分）
1 若数列，证明 数列极限存在。
2 设函数在上连续，在内可导，且，试证明存在使得。
七 附加题（10分）本题目不记入总分，本题目分数仅供培优班选拔学生参考
下面证明中可直接用“若 存在，则一定存在”这一事实。设在点附近有定义，
1 若 存在，则 。
2 若 和都存在，则。
3 举例说明 当存在时，可以不存在。
4 举例说明当 存在时，可以不存在。

南京理工大学2005级高等数学I试题（B卷）
一 填空题（每小题3分，共30分）
1设 则 _____________
2设函数为可微函数，，则 ____________。
3 函数 的拐点为_____________
4 已知 ，当时 比是________无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。
5 已知，则 ＝_____________。
6 积分 = _________________
7 设 在处的阶Taylor公式是，则 __________________.
8 曲线 弧长为 ______________（用积分表示出来即可）。
9 广义积分＝__________________________。
10 已知 ，则极限 ＝______________。
二 计算 （每小题 7分，共 14 分）
1 求极限 。
2 找函数的间断点，并且指出间断点的类型。
三 计算 （每小题 7分，共 14 分）
1 求 曲线 在处的切线方程。
2 已知 确定隐函数，求 。
四 计算 （每小题 7分，共 14 分）
1 2
五计算（每小题 7分，共 14 分）
1 已知 函数 ，确定使得在区间上满足Lagrange中值定理的条件。
2 求的极值点和极值
六 计算或证明（每小题 7分，共 14 分）
1 求 曲线 所围平面区域的面积。
2 如果函数在内可导，且当时，（M是常数），证明

南京理工大学2006级高数1期末试卷A
一． 填空题 （每题3分，共30分）
1．的定义域为，则的定义域为（ ）。
2．当时与是等价无穷小量，则（ ）。
3．设，则（ ）。
4．（ ）。
5．函数单调增加区间是（ ）。
6．曲线的斜渐近线为（ ）。
7．是的一个原函数，。则（ ）。
8．设具有连续的二阶导数，，则（ ）。
9．（ ）。
10．（ ）。
二．计算题（每题6分，共36分）
1．求 2求
3．设可微，且，，试求。
4．设函数由下述参数方程确定，求。
5．求积分 6 求积分
三．解答题（10分）
试讨论方程的实根。
四．应用题（15分）
1．（8分）已知是周期为5的连续函数，它在的某邻域内满足关系式－，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。
2．（7分）设曲线与轴的交点为P，过P点作该曲线的切线，求切线与该曲线及轴围城的区域绕轴旋转一周所成的旋转体体积。
五．证明题（9分）
设在上不恒为零，且其导数连续，并且有，试证明存在，使。

南京理工大学2006级高等数学1试卷B
一． 填空题（每题3分，共30分）:
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）。
2．当时，把以下的无穷小：（1） （2）
（3） （4）按的低阶至高阶重新排列是（ ）（以编号表示）。
3．函数的间断点为（ ），它是（ ）间断点。
4．设可导，且满足条件，则曲线在处的切线斜率为（ ）。
5．设，则（ ）。
6．已知在内可导，且，又设，则（ ）。
7．曲线的斜渐近线为（ ）。
8．设有一个原函数，则（ ）。
9．（ ）。
10．（ ）。
二．计算题（每题6分，共36分）:
1．求极限 2．求极限
3．设，存在，，求。
4．设函数是由方程组确定的，求。
5．求积分
6．求积分
三．解答题（10分）:
讨论函数在内零点的个数。
四．应用题（15分）:
1．已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限。
2．设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线，切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
五．证明题（9分）:
证明: 。

南京理工大学2007级高等数学（I）试题（A）
一 填空 (每小题3分，共15分)
1． 当时， 关于是三阶无穷小 ，则 ____, ____。
2． 若曲线为，则曲线在相应的点的切线方程为__________。
3． 设 ，则 _______。 4 .积分_________。
5 .曲线 上相应于从到的一段弧长为___________。
二选择填空(每小题2分，共10分)
1 .函数的定义域是（ ）。
A、 ； B、； C、； D、。
2．方程在区间内（ ）。
A、无实根； B、有唯一实根； C、有两个实根； D、有三个实根。
3. 已知函数 ，下面说法正确的是（ ）。
A、 和都存在； B、 和都不存在；
C、不存在，但存在； D、 存在，但不存在。
4. 定积分作适当变换后应等于（ ）。
A、 ； B、 ； C、 ； D、
5. 若是上的可微函数，且 ，则
A、 2 ； B、； C、 1 ； D、 。
三 极限计算(每小题6分，共12分)
1 计算数列极限 。 2 计算 。
四 计算(每小题6分，共12分)
1 求由方程所确定的函数的二阶导数。
2 求在区间内间断点，并指出间断点的类型。
五 积分计算(每小题6分，共12分)
1 计算 。 2 用代换求积分 。
六 (6分) 求由和轴所围区域绕轴旋转一周的旋转体体积。
七 (6分) 相互垂直相交的两条河道宽分别为 米、米，问能在两条河道中顺利行驶的船只最长不得超过多少米？
八 (7分) 函数在上有二阶导数, 且， 曲线与在内有一个交点, 证明存在 使得。