2020-2021学年高中数学-模块素养评价新人教A版选修1-2.doc

2020-2021学年高中数学 模块素养评价新人教A版选修1-2

2020-2021学年高中数学 模块素养评价新人教A版选修1-2

年级：
姓名：

模块素养评价
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为 (　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选D.复数a-=a-=(a-3)-i为纯虚数,所以a-3=0,所以a=3.
2.下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是 (　　)
A.1个　 B.2个 　 C.3个　 D.4个
【解析】选C.对于①,在回归分析模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,正确,因为相关指数R2越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好,①正确.
对于②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;正确;
对于③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;正确;
对于④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.错误,因为在对分类变量X与Y进行独立性检验时,随机变量K2的观测值k越大,则“X与Y相关”可信程度越大,故④错误.
3.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一位是对的,则获奖的同学是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选D.假设获奖的同学是甲,则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对,因此甲不是获奖的同学;假设获奖的同学是乙,则甲、乙、丁的话都对,因此乙也不是获奖的同学;假设获奖的同学是丙,则甲和丙的话都对,因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学,此时只有乙的话是对的.
4.《九章算术》中的玉石问题:“今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(即176两),问玉、石重各几何?”其意思为:“宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两,现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,质量是11斤(即176两),问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的x,y分别为 (　　)

A.90,86 B.94,82
C.98,78 D.102,74
【解析】选C.执行程序:x=86,y=90,s≠27;x=90,y=86,s≠27;x=94,y=82,s≠27;x=98,y=78,s=27,故输出的x,y分别为98,78.
5.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…,A14,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图那么程序框图输出的结果是(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选D.由程序框图可知输出结果是考试成绩大于90的次数,由茎叶图可知大于90的次数有10次.
6.有下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;
②用相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好;
③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.
④在研究气温和热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化.
其中正确命题的个数是 (　　)
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
【解析】选C.对于①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,正确.
对于②用相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好,正确.
对于③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好,正确.
对于④在研究气温和热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化,错误,应该是气温解释了85%的热茶销售杯数变化.
7.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图:

根据图中的信息,下列结论中不正确的是 (　　)
A.样本中的男生数量多于女生数量
B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付
D.样本中多数女生喜欢现金支付
【解析】选D.由题干中右边条形图知,男生女生喜欢手机支付的比例都高于现金支付的比例,所以男生女生都喜欢手机支付,故C对,D错,结合两个条形图可知,男生女生手机支付都比现金支付多,B对,样本中的男生数量多于女生数量,A对.
8.设x(1+i)=1+yi,其中x,y为实数,则|x+yi|= (　　)
A.1 B. C. D.2
【解析】选B.因为x(1+i)=1+yi,所以x+xi=1+yi,x=1,y=x=1,|x+yi|=|1+i|=.
9.在复平面内,复数对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【解析】选D.因为复数==+i,对应的点位于第一象限,所以解得m>1.
10.下列说法中正确的是 (　　)
A.先把高三年级的2 000名学生编号:1到2 000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为m,然后抽取编号为m+50,m+100,m+150…的学生,这样的抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线=x+一定过样本中心点(,)
C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1
D.在回归直线=0.2x+12中,当变量x增加一个单位时,平均增加1个单位
【解析】选B.A中抽样方法为系统抽样,故A错误;
B中线性回归方程=x+必过样本中心点(,),故B正确;
C:若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故C错误.
D中在回归直线=0.2x+12中,当x增加一个单位时,平均增加0.2个单位,故D错误.
11.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如表数据.由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x+,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为 (　　)
x
4
6
8
10
12
y
1
2
3
5
6
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选A.因为=8,=3.4所以3.4=0.65×8+所以=-1.8所以=0.65x-1.8故5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3),共2个,故所求概率是为.
12.根据给出的数塔猜测123 456×9+7= (　　)
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
…
A.1 111 110　 B1 111 111
C.1 111 112　 D.11 11 113
【解析】选B.由1×9+2=11;
12×9+3=111;
123×9+4=1 111;
1234×9+5=11 111;
…
归纳可得:等式右边各数位上的数字均为1,位数跟等式左边的第二个加数相同,
所以123 456×9+7=1 111 111.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则ab=________. 
【解析】因为(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,
所以所以ab=2
答案:2
14.将正整数对作如下分组,第1组为{(1,2),(2,1)},第2组为{(1,3),(3,1)},第3组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4组为{(1,5),(2,4)(4,2)(5,1)}……则第30组第16个数对为________. 
【解析】根据归纳推理可知,每个数对中两个数字不相等,且第一组每一个数对和为3,第二组每一个数对和为4,第三组每个数对和为5,……,第30组每一个数对和为32,所以第30组第一个数对为(1,31),第二个数对为(2,30),……,第15个数对为(15,17),第16个数对为(17,15),故答案为(17,15).
答案:(17,15)
15.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距离为________. 
【解析】类比可知:
点(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距离为d==.
答案:
16.观察下列等式:
+=×1×2;
+++=×2×3;
+++…+=×3×4;
+++…+=×4×5;
……
照此规律,
+++…+=________. 
【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和.
答案:n
【补偿训练】
已知=2·,=3·,=4·,….
若=8·a,t均为正实数),类比以上等式,可推测a,t的值,则a+t=__________. 
【解析】因为=2·,
=3·,=4·,
由类比推理得:=5·,
=6·,=7·,
=8·,
所以a=8,t=63,
所以a+t=71.
答案:71
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)据有关人士预测,我国的消费正由生存型消费转向质量型消费,城镇居民的消费热点是商品住房、车、电子信息产品、新型食品、服务消费和文化消费;农村居民的消费热点是住房、家电.试设计表示消费情况的结构图.
【解析】消费情况的结构图如图所示:

18.12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程=x+,其中=-20,=-;
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
【解析】(1)==8.5,
==80.
所以=-=80+20×8.5=250,
所以回归直线方程为=-20x+250.
(2)设工厂获得的利润为L元,则L=x-4=-20x2+330x-1 000=-20+361.25,
当且仅当x=8.25时,L取得最大值.
故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.
【补偿训练】
　　　某工厂前10个月份的产量与生产费用如表:
产量
x/千件
40
42
48
55
65
80
88
100
120
140
生产费用
y/千元
150
140
160
170
150
162
185
165
190
185
(1)求线性回归方程;
(2)估计当生产200千件时的生产费用;
(3)计算x与y的相关系数.
【解析】(1)由表格数据得=77.8,=165.7,
=71 062,=277 119,xiyi=133 100,所以=
=≈0.4,
=-≈165.7-0.4×77.8=134.58,
所以线性回归方程为=134.58+0.4x.
(2)当x=200时,=134.58+0.4×200=214.58(千元)所以当生产200千件时的生产费用为214.58千元.
(3)r=
=
≈0.81.
所以x与y的相关系数约为0.81.
19.(12分)已知复数z=(m∈R,i是虚数单位).
(1)若z是纯虚数,求m的值.
(2)设是z的共轭复数,复数+2z在复平面上对应的点在第一象限,求m的取值范围.
【解析】(1)z==
=1-2m+(2m+1)i.因为z是纯虚数,
所以1-2m=0且2m+1≠0,解得m=.
(2)因为是z的共轭复数,
所以=1-2m-(2m+1)i.
所以+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]
=3-6m+(2m+1)i.
因为复数+2z在复平面上对应的点在第一象限,
所以解得-
(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限,
则>0且>0,
解得0
年轻用户

非年轻用户

总计

(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.
P
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=.
【解析】(1)根据题意可得2×2列联表如表:

爱付费用户
不爱付费用户
总计
年轻用户
24
40
64
非年轻用户
6
30
36
总计
30
70
100
由表中数据可得K2的观测值k=≈4.76>3.841,
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.
(2)由分层抽样可知,抽取的5人中有4人为“年轻用户”,记为A1,A2,A3,A4,1人为“非年轻用户”,记为B.
则从这5人中随机抽取2人的基本事件有:,,, ,,,,,,,共10个基本事件.
其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有:,,, ,,,共6个.
所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P==.
21.(12分)设函数f(x)=x3+,x∈.
证明:(1)f(x)≥1-x+x2.(2)3=(1-x)+x2(1-x)
=(1-x)(1+x2)==,
又x∈,所以≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.
方法二(分析法):要证f(x)≥1-x+x2,x∈,即证x3+≥1-x+x2,只需证x3-x2+x-1+≥0,即证x2(x-1)+(x-1)+≥0即(x-1)(x2+1)+≥0,再证(x+1)(x-1)(x2+1)+1≥0,即证(x2-1)(x2+1)+1≥0,即x4≥0,由x∈知,x4≥0,综上,f(x)≥1-x+x2.
(2)方法一:由x∈得x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+-+=+≤,
所以f(x)≤,由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又f=>,
所以f>,综上,,所以f(x)>;②由x∈得x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=(x+1)+-1,
令t=x+1,g(t)=t+-1,t∈,则g'(t)=1-≥0,
t∈,所以g(t)在上是增函数,g(t)≤g(2)=,所以f(x)≤,综上==,
满足条件①;
又由于=≤,
故存在M≥满足条件②.
故数列为P数列.