上海市普陀区2021届高三数学下学期质量调研试题.doc

上海市普陀区2021届高三数学下学期质量调研试题

上海市普陀区2021届高三数学下学期质量调研试题

年级：
姓名：

10

上海市普陀区2021届高三数学下学期质量调研（二模）试题

考生注意:
1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上
作答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设全集，若集合，则 .
2. 若复数（表示虚数单位），则 .
3. 函数的零点为 .
4. 曲线的顶点到其准线的距离为 .
5. 若，则 .
6. 设棱长为的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .
7. 设，则 .
8. 设无穷等比数列的前项和为，若，且，则公比 .
9. 设、均为非负实数且满足，则的最小值为 .
10. 某学校从名男生、名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这名宣讲员中男、女生各人的概率为 （结果用最简分数表示）.
11. 设是直线上的动点，若，则的最大值为 .

（第12题）
12. 如图，在△中，，，. 若为△
内部的点且满足，则 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）

14. 设，则双曲线的焦点坐标是（ ）

15. 设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（ ）
，且， ，，且
，且 ，，且
16. 已知函数，设（）为实数，且.
给出下列结论：
① 若，则；
② 若，则.
其中正确的是（ ）
①与②均正确 ①正确，②不正确
①不正确，②正确 ①与②均不正确

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的
步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，设底面半径为的圆锥的顶点、底面中心依次为、，为其底面的直径. 点位于底面圆周上，且. 异面直线与所成角的大小为.

（第17题）
（1）求此圆锥的体积；
（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设函数（）的反函数为.
（1）解方程：；
（2）设是定义在上且以为周期的奇函数.当时，，试求的值.

19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为（），米，，为对角线和的交点.他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于.设.
（1）若两段圆弧组成“甬路”（宽度忽略不计），求的长（结果精确到米）；

（第19题）
（2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为.对于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知曲线:的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点.
（1）求△的周长；
（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；

（第20题）
（3）设的一个方向向量，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
记实数、中的较大者为，例如，.对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由.
①， ②；
（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.

2020学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1． 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
题号
13
14
15
16
答案
D
B
C
A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解: （1）设圆锥的高为.以为坐标原点，以、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得、、、.，……3分
由异面直线与所成角的大小为，
得，
解得.……5分
圆锥的体积.…………6分
（2）取的中点, 连接、.
由，得；再由，得.
所以即为二面角的平面角.……10分
圆锥的底面，所以，故为直角三角形.
在△中，，，故……13分
即，故二面角的大小为…………14分
（坐标法比照给分）
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）（*）……2分
将（*）变形，得，……3分
即，解得或.……5分
经检验为增根.所以原方程的解集为.……6分
（2）（），所以当时，……9分，
由于是定义在上且以为周期的奇函数，
所以对于任意实数，均有，.……11分
故……12分

又因为，所以，故
即……14分
19. （本题满分14分，第（1）问7分，第（2）问7分）
解：（1）根据题设条件，可得在△中，.……1分
由正弦定理，得，即.……3分
故……4分，所以……5分
当时，米.答：甬路的长约为米.……7分
（2）由（1）得 ，在△中，由余弦定理，得，
故，所以……10分（按思维框架给分）
，，故……13分（按思维框架给分）
当时，.
所以此人的设计是“用心”的.……14分
20. （本题满分16分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问6分）
（1）根据题设条件，可得，故，根据椭圆定义，可知，……1分
，…2分 由，得△的周长为.…………4分
（2）设圆的方程为（） 令，得，故，得.……6分
由与圆相切，得到直线：的距离.解得，…8分
故直线的方程为.……10分
（3）假设在轴上存在一点，设直线的方程为（），
将直线的方程和椭圆的方程联立，得，
消去并整理，得，必有
令，，则……12分
……13分
故线段的中点的坐标为，
则线段中垂线的方程为 ……14分
令，得，点到直线的距离 ……15分
又因为，所以，即
化简得，解得，故.……16分
21. （本题满分18分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问8分）
解：（1）①中，得（为正整数）且，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递减数列”.
②，，（为正整数），其中，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4分
（2）由数列为“趋势递减数列”，得.……5分
①若，则,即，也即，故.
此时，所以
故（），满足条件.……7分
②若，则，得；，，
即，解得，所以.同理可以验证满足条件……9分
由①②可得，.………………10分
（3）先证明必要性：用反证法.
假设存在正整数,使得，则令
则数列从项开始以后的各项为，故，与是“趋势递减数列”矛盾.……14分
再证明充分性：
由，得……15分
因为中的项没有，所以对于任意正整数，.于是（为正整数）
所以……16分
① 当时，……17分
② 当时，
所以均有
故为“趋势递减数列”的充要条件是数列的项中没有.……18分