安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题-理.doc

安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 理

安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 理

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- 19 -

安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 理
一．选择题（每题5分，共12小题）
1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]
2．f（x）＝在（　　）
A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函数
B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是减函数
C．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是增函数
D．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是减函数
3．能反映一组数据的离散程度的是（ ）.
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（ ）．

A． B．0 C． D．
6．若变量x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最小值是（　　）
A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣5
7．若，为互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（　　）

A．84，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86
9．从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为（ ）
A． B． C. D．
10．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（　　）
A． B．1﹣ C． D．

11．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
12．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每题5分，共20分）
13．一组样本数据x，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y2＝　128　．
14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5），y关于x的线性回归方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝　　
15．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的序号为　③④　．
①至少有1个白球；都是白球．
②至少有1个白球；至少有1个红球．
③恰有1个白球；恰有2个白球．
④至少有1个白球；都是红球．
16．三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为 ．
三．解答题（共6小题，计70分）
17．（10分）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
18．（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：
年收入（万元）
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y（万元）
1.0
1.5
1.6
2.0
1.8
1.9
1.8
2.0
2.1
2.3
（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；
（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．（参考数据：．）

19．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列前n项和为Tn，求证：．
20．（12分疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：
（1）求a的值；
（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（3）求中位数的估计值．

21．(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
22．（12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若=19,求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

高二第一期开学考数学试卷
一．选择题（每题5分，共12小题）
1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]
【解答】解：A＝{y|y＞0}，B＝{x|x≤1}；
∴A∩B＝（0，1]．
故选：D．
2．f（x）＝在（　　）
A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函数
B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是减函数
C．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是增函数
D．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是减函数
【解答】解：f（x）＝＝﹣
＝﹣1﹣，
由函数y＝在x＞0，x＜0均为增函数，
则将y＝的图象向右平移1个单位，可得y＝﹣的图象，
再向下平移1个单位，即可得到f（x）的图象，
则有f（x）在x＞1，x＜1上均为增函数，
则有函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），（1，+∞）．无减区间．
故选：C．
3．能反映一组数据的离散程度的是（ ）.
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【答案】D
4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
（A） （B） （C （D）
【答案】A
【解析】甲不输的事件，包括两人下成和棋或甲获胜，且两个事件互斥，所以甲不输概率为选A.
5．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（ ）．

A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出的值.
【详解】
，所以.
故选：A
6．若变量x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最小值是（　　）
A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣5
【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得C0，﹣1）．
由解得A（﹣2，1），
由，解得B（1，1）
∴z＝3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1＝﹣7．
故选：A．

7．15．若，为互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以
8．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（　　）

A．84，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86
【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；
众数为：84；
故选：A．
9．从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】成等差的基本事件有，故选B
10．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（　　）
A． B．1﹣ C． D．
【解答】解：满足条件的正方形ABCD如下图所示：
其中正方形的面积S正方形＝4×4＝16；
满足到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于2的平面区域如图中阴影部分所示
则S阴影＝16﹣4π，
故该正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于1的概率是P＝＝＝1；
故选：B．

11．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】
直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。
【详解】
解：因为直线与圆有两个公共点，
所以有，
即，
因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，
所以点在圆外，故选B。
12．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

，为三角形内角，则
，，当且仅当时取等号

二．填空题（每题5分，共20分）
13．一组样本数据x，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y2＝　128　．
【解答】解：平均数为×（x+4+5+6+y）＝5，即x+y＝10，
方差为×[（x﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（y﹣5）2]＝16，所以（x﹣5）2+（y﹣5）2＝78，即x2+y2﹣10（x+y）＝28，
所以x2+y2＝28+10（x+y）＝28+10×10＝128．
故答案为：128．
14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5），y关于x的线性回归方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝　5.25　．
【解答】解：由题意中心点为（4.5，3.5），代入回归方程为：＝x+0.35，可得3.5＝4.5+0.35，解得＝0.7，
所以：＝0.7x+0.35，x＝7时，＝0.7×7+0.35＝5.25，
故答案为：5.25．
15．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的序号为　③④　．
①至少有1个白球；都是白球．
②至少有1个白球；至少有1个红球．
③恰有1个白球；恰有2个白球．
④至少有1个白球；都是红球．
【解答】解：从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，
在①中，至少有1个白球和都是白球能同时发生，不是互斥事件，故①错误；
在②中，至少有1个白球与至少有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故②错误．
在③中，恰有1个白球与恰有2个白球不能同时发生，是互斥事件，故③正确；
在④中，至少有1个白球与都是红球不能同时发生，是互斥事件，故④正确．
故选：③④．
16．三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：在中，，，则根据余弦定理求出
，设与的外接圆的圆心分别为，半径分别为，则，连接，线段的中点O为球心，，连接，；
三．解答题（共6小题，计70分）
17．（10分）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由正弦定理得：
即：

（2）为边的中点
，又
，即
当且仅当时取等号
（当且仅当时取等号）
面积的最大值为
18．（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：
年收入（万元）
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y（万元）
1.0
1.5
1.6
2.0
1.8
1.9
1.8
2.0
2.1
2.3
（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；
（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．（参考数据：．）
【解答】解：（1）（2+4+4+6+6+6+7+7+8+10）＝6，
（1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3）＝1.8．
＝＝．
．
∴y关于x的线性回归方程为；
（2）在为中，取x＝9，得
≈2.26．
∴若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出为2.26万元．
19．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列前n项和为Tn，求证：．
【答案】（1）（2）见解析

20．（12分）疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：
（1）求a的值；
（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（3）求中位数的估计值．

【解答】解：（1）由题意，得（0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003）×10＝1．
解得a＝0.03．
（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值为：
＝5×0.005×10+15×0.012×10+25×0.03×10+35×0.035×10+45×0.015×10+55×0.003×10＝30.2（分钟）．
（3）设中位数的估计值为x+30．
由（0.005+0.012+0.03）×10+0.035x＝0.035（10﹣x）+（0.015+0.003）×10，
得，所以中位数的估计值为．

21．(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接交于，则为的中点，利用中位线的性质可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；
（2）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得出平面，由此可计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，并设点到平面的距离为，由可计算出点到平面的距离的值.
【详解】
（1）如图，连接交于，连接，则为的中点.

又为上的中点，所以.
又平面，平面，所以平面；
（2）如图，取的中点，连接，
因为，，所以，，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面
同理可得平面，、平面，，.
又因为，，所以平面，
平面，则，所以，
所以，又，
设点到平面的距离为，
由，得，
所以，即点到平面的距离为.

【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算，同时也可以作出垂线，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

22．（12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若=19,求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【答案】（I）（II）19（III）19