实变函数习题.doc

第一章习题
2、(ii)
证明：对于

22、具体构造与之间的一个完全的一一映射.
解：记中的有理数点集为；中的无理数点集为
；,作映射

所以
29、求证：中任一集合的导集是闭集.
证明：若,则为闭集,否则
要证明为闭集
为的聚点

中含有的无穷多个点
也中含有的无穷多个点

从而为闭集
30、(i)设是任意的两个集合,若,则.
证明：为的聚点

为的聚点

(ii)若,求证：是闭集.
根据(i)式可知,则是闭集
32、中任一集合的孤立点是至多可数的
证明：先来证明中的孤立点是至多可数的
记为中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,
则为可数集.
设为中的孤立点全体,则对于任意的,则存在的一个以有理数为端点的邻域
,使得
`
对于每一个,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个中的点,故对于中不同的两个点对应的邻域，也不同.
令
则与等价,而,则是至多可数集,从而是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集.
33、若不可数,则也不可数.
证明：假设是至多可数集,则设为的孤立点全体,则为至多可数集
因为,,则为至多可数集
则为至多可数集与已知矛盾.
第二章习题
2、求证
证明：因为,所以
又因为,而,其中为两两不交的开区间

因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以

因此
3、设是两个不相交的开集,,
求证：
证明：,
所以

6、设求证：
证明：要想证明,只需要证明

下面来证明,即证明：
而
同理可证明：
10、设是可测集列,(i)求证：.
证明：,左右取测度

(ii)若有,使得,求证：
证明：,左右取测度

11、设可测并且,则.
证明：可测
由可测可知可测
而,所以可测
从而可测;可测,而,所以可测.
13、设都可测,求证：.
证明：已知可测,则取集合,有

再取,有
结合上边两式便知
20、设是中测度皆为一的可测集列,求证.
证明

22、设是中的可测集,满足,求证：.
证明：,
要证明,只需证明
而

第三章习题
4、若对于任何,在可测,求证:在上可测.
证明：，

因此在上可测
6、求证：为使在上可测,充要条件是对于任意的有理数.
证明：必要性
因为在上可测,则对于,
因此,对于任意的有理数
充分性
对于，存在单调递增的有理数列,且
则
因此在上可测
8、设是可测集合上的可测函数，则对于任何开集和闭集,和是可测集合.
证明：，，
所以
由并集定义可知,
而

10、设是可测集合上的可测函数列,求证：中使得收敛的点的全体是可测集.
证明：设中使得收敛的点的全体为集合,
而
11、设在上可微,求证：可测.
证明：因为在上可微所以在上连续,,
因此在上为可测函数.
所以 可测
14、设是一列两两不相交的可测集,,求证为使在上可测的充要条件是对于每一个在上可测.
必要性:

由题设知为可测集,而在上可测,
所以与均为可测集,故为可测集,所以在上可测
充分性：

已知对于任意的为可测集,由可测集满足可数并的性质在集合上测
23、设在可测集上,,求证：
(i).
证明：已知可知对于
，

(ii)
证明：因为
所以
因此
(iv)当时,
证明：对于的任意子列,因为
所以,
因此存在子列使得
又因为，所以
因此存在子列，使得
,,所以
27、设是上的一列实值可测函数,若,求证：
证明：因为,,则

反之不成立.
定理3.2.2、设,为可测集合上的可测函数,是实数,当几乎处处有定义的时候,有都是可测集合上的可测函数.
证明：对于
；
；

因为可测,则可测,因此可测.

因此也可测.
第四章习题
1、设非负且，求证在上几乎处处为零.
证明：

所以在上几乎处处为零
2、设,求证：.
证明：

因为,则由积分的绝对连续性可知,对于对于
当,有
因为,则由极限定义可知对于上述的,存在正整数
当时,有
因此对于存在正整数当时,有
3、设是可测集合上的几乎处处有限的可测函数列,求证：为了使得充要条件是.
证明：必要性
因为,所以
又因为,所以
根据控制收敛定理可知：
充分性：因为,所以
如果,则对于任意的,
有
而与矛盾
因此,

7、设存在且有限,求证:.
证明：设,即
,
由局部有界定理知,存在当时,
,
令,则常数函数
从而
在上,
， ,从而
因此 .