第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学.doc

0809 B
一、填空题（每小题3分，共18分）
1、曲线在面上的投影曲线为 ．
消去z，再与z=0联立.
5、曲线绕轴旋转得到曲面方程为 .
绕轴，母线中的变量z不变，x换成
.
二、选择题（每小题3分，共15分）
2、在曲线所有切线中，与平面平行的切线（ ）
（A）只有一条； （B） 只有两条； （C）至少有3条； （D） 不存在
切线的方向向量与平面的法向量垂直， ，，
A
五、解答题（每小题分10，共20分）
2、求直线 与平面的夹角．
解：设夹角为直线的方向向量，平面的法向量
=

0910B

一、填空题（每小题2分，共10分）
1、过点且与平面 垂直的直线方程为 ．
与平面垂直的直线和该平面的法向量平行，

二、选择题（每小题2分，共10分）
2、曲线 在面上的投影曲线的方程是 （ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
在面上的投影曲线，消去曲线中的变量z，然后联立z=0.
B
4、设 为两个向量，则正确的是 （ ）
（A） ^Û´=0； （B） ¤¤Û·=0；
（C） ½·½表示以，为邻边的平行四边形的面积；
（D） ¤¤Û´=．
利用数量积和向量积的性质:，¤¤，
½× ½表示以，为邻边的平行四边形的面积
D
四、计算题（每小题10分，共40分）
3、设已知两点和．计算向量的模、方向余弦及与其平行的单位向量．
（1），向量的模为：，
向量的方向余弦为：，，.
与向量同向的单位向量：，
与向量反向的单位向量：.
从而其平行的单位向量．

五、解答题（每小题分12，共24分）
1、试求曲线绕轴旋转所得曲面与平面所围成的立体的体积．

解：曲线绕轴旋转所得旋转抛物面，与z=1所围成的立体
在xoy面上的投影为
极坐标表示

2、已知平面上两定点及椭圆柱面上一点，记的面积为．
(1)、计算；(2)、试确定点坐标使最大．
解：
，

（2）设拉格朗日函数

令，
解方程组, 得唯一驻点，且面积最大值一定存在，所以当点C坐标为面积最大

1011B

一、填空题（每小题3分，共15分）
(2) 旋转抛物面在点处的法线方程是 .
解，设，曲面在点处的法向量

过已知点的法线方程为：
(3) 方程所表示的曲面方程名称是
双叶双曲面
(5) 求过点,,且和平面垂直的平面方程为 .
，
所求平面的法向量
所求平面方程为: 或

1112B

一、填空题（每小题2分，共10分）
5. 若，为同向的单位向量，则它们的数量积 ___________.
答案：1
二、选择题（每小题2分，共10分）
1. 设平面方程为，且，则平面 ( )
(A)平行于轴 (B) 平行于轴 (C) 经过轴 (D) 经过轴
答案：A
4. 两平面，的位置关系是 （ ）
(A) 平行但不重合 (B) 重合 (C) 相交但不垂直 (D) 垂直
因为,所以两平面不垂直，
两平面的法向量对应的坐标不成比例，所以所以两平面不平行
答案：C
四、解答题（每小题11分，共33分）
1. 求过点（-3，2，5）且与平面和的交线平行的直线方程.
解：所求直线与已知的两个平面的法向量都垂直，所以所求直线的一个方向向量
所求直线方程为
解法2：两方程联立，求出交线方程。
由 x-4z=3 得 (x-3)/4=z ，代入（2）得 (y-5)/3=z ，
因此交线方程为 (x-3)/4=(y-5)/3=z ，方向向量（4，3，1），
所以所求直线方程为 (x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/1 .
解法3 在交线上取两点。
如取 z=0 ，x=3 ，y=5 得 A（3，5，0），再取 z=1 ，x=7 ，y=8 得 B（7，8，1），
因此交线的方向向量为 AB=（4，3，1），
所求直线方程为 (x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/1 。

3. 求曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成立体的体积.
解：曲线绕轴旋转所得旋转抛物面，与z=1所围成的立体
在xoy面上的投影为
极坐标表示

1213B

一、填空题（每小题2分，共10分）
(1) 过点且与平面平行的平面方程 .
或
四、应用题（每小题10分共20分）
(1) 求旋转抛物面上垂直于直线的切平面方程.
解：已知直线的方向向量
设抛物面上在点处的法向量与已知直线的方向向量平行，于是得
所求得切平面方程为或

0809代数几何B

一、填空题（每小题4分，共32分）

2、经过O z轴和点（1,1,1）的平面方程的为 .

3、曲线在xOy平面上的投影柱面的方程为 .

二、选择题（每小题4分，共20分）
4、下列方程中表示的曲面为圆锥面的是[ B ]

A为旋转抛物面，B为圆锥面，C抛物柱面 D旋转椭球面

1011代数几何B
二、选择题（每小题3分，共18分）
5. 二次方程所表示的曲面为[ C ]
(A) 椭球面； (B ) 二次锥面； (C ) 单叶双曲面； (D ) 双叶双曲面.
(需要用到线性代数中线性变换及二次型知识)

1112代数几何A
一、填空题（每小题 3 分，共18 分）
4.母线平行于轴且过曲线的柱面方程为_________.

6.过点且垂直于直线的平面方程为____________.
或
二、选择题（每小题 3 分，共18 分）
1.方程表示旋转曲面，则旋转轴为.
轴； 轴； 轴； 任一直线.
C
分析 曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程为．因为曲线上的点在旋转过程中有两个不变：一是横坐标不变；二是所求曲面上的点到轴的距离不变，所以只需将换成．一般地，求由某一坐标面上的曲线绕该坐标面上
的某一个坐标轴旋转而得旋转曲面方程的方法是：绕哪个坐标轴旋转，则原曲线方程中相应的那个变量不变,而将曲线方程中另一个变量改写成该变量与第三个变量平方和的正负平方根．

1213代数几何A
一、 选择题（每小题3 分，共18 分）

6.母线平行于轴且通过曲线的柱面方程是( ).

.
A
消去变量y

1011代数几何A

一、填空题（每小题3分，共21分）
3、过点且垂直于直线的平面方程为 .
或

7、曲线绕z轴旋转而成的曲面方程为 .

二、选择题（每小题3分，共21分）
4、曲面与所围成的封闭曲面在面上的投影区域为[ ]
(A) 圆； (B) 圆面；
(C) 椭圆； (D) 椭圆面．
B 消去z,交线在xoy面上的投影所围区域
四、综合题（每小题10分，共20分）
1、已知三平面交于一条直线l，求a的值,并求此直线l的方程.
注：需要用到线性代数中线性方程组解结构的理论
(1) 解：三平面交于一条直线此时即

所求直线方程为

0910代数几何A
一、填空题（每小题3分，共15分）
3、过点A和点B且平行于轴的平面方程为______.

七、（满分12分）
已知三个平面的方程分别为：,.
讨论a, b为何值时：
(1) 三平面交于一点；(2)三平面两两交于一条直线；(3)三平面交于一条直线,并写出此直线的标准方程.
注：需要用到线性代数中线性方程组解结构的理论
解：
(2) 方程组的系数行列式即方程组有唯一解，三平面交于一点.
(3) 三平面两两交于一条直线；。此时即
，.
(4) 三平面交于一条直线此时即

所以直线的标准方程
1314代数几何A

一、选择题（每小题3分，共15分）
1、曲线绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为[ ]
2、二次方程所表示的曲面为[ ]
(A) 单叶双曲面； (B) 双叶双曲面； (C) 双曲柱面； (D) 椭圆柱面.
1.（A） 2.（C）(需要用到线性代数中线性变换及二次型知识)
二、填空题（每小题3分，满分21分）
3、过点(1,-3,0)与平面2x+3y-z+7=0垂直的直线方程为 .
4、两曲面所围立体在xOy平面上的投影域为 .
3．； 4．