广西科技大学时间序列分析计算题复习考试题.doc

广西科技大学2013—2014学年第 2学期
时间序列分析计算题复习题

1. 设时间序列来自过程，满足
,
其中是白噪声序列，并且，
（1） 判断模型的平稳性。（5分）
（2） 利用递推法计算其一般线性过程表达式的前三个系数：，， 。（5分）
解答：（1）其 特征方程为，特征根为，在单位圆外，故平稳！
也可用平稳域法见（P52公式（4.3.11））。
（2)由P57公式（4.4.7)知道
。

2. 某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N＝500），经过计算样本其样本自相关系数及样本偏相关系数的前10个数值如下表
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

-0.47
0.06
-0.07
0.04
0.00
0.04
-0.04
0.06
-0.05
0.01

-0.47
-0.21
-0.18
-0.10
-0.05
0.02
-0.01
-0.06
0.01
0.00
（1） 利用所学知识，对所属的模型进行初步的模型识别。（5分）
（2） 对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计。（5分）
解答：（1） 样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，
2） 由于模型有，
。

3. 设是二阶滑动平均模型,即满足，其中是白噪声序列，并且，
（1） 求的自协方差函数和自相关函数。
（2） 当时，计算样本均值的方差。
解答：（1）

（2）

4. 设是正态白噪声序列，并且，时间序列来自，问模型是否平稳？为什么？
解答： 该模型是平稳的，因为其AR特征方程的根为1.25，大于1。

5.假定Acme公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型： 其中。
（a） 如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元，1100万美元和1000万美元，预测2008年和2009年的销售额。
（b） 证明模型里的。
（c） 计算问题（a)中2008年预测的95%预测极限。
（d） 如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。
解答: (a)应用P142公式(9.3.28)得
5 + 1.1(10) – 0.5(11) = 10.5（百万美元）
5 + 1.1(10.5) – 0.5(10) = 11.55（百万美元）
(b）由课本54页公式(4.3.21) , ，。
（c)由课本第140页公式（9.3.15）知道：，2008年预测的95%预测极限为，这里
，故，代入后简单计算得2008年预测的95%预测极限为（7.67,13.33）。
（d)由148页更新方程（9.6.1）知 ，所以
（百万美元）

6.设的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84，试求
（1） 样本均值；
（2） 样本的自协方差函数和自相关函数；
（3) 对模型参数给出其矩估计，并写出模型的表达式。

（1） 样本均值。 0.758
（2） 样本的自协方差函数值和自相关函数值。
注意，而(这里，具体计算略过）
（3） 对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。
由Yule-Walker方程

，

7.设服从模型：，其中。
（1） 给出未来3期的预测值；
（2） 给出未来3期的预测值的的预测区间（）？。
解答：（1）

（2）应用延迟算子B表达式，我们有。

由（P143公式（9.3.38））知道，。因为故有
，，。所以未来期的预测值的的预测区间为: 。故未来3期的预测值的的预测区间为：
101
101 （0.136，0.332）
102 （0.087，0.287）
103 （-0.049，0.251）。

8.设平稳时间序列服从模型：，其中是白噪声序列，并且，证明：。
证明： 由题意 ，两边求方差得

（因为与相互独立）
（因为平稳）
整理即得 。

9.设平稳时间序列服从模型：，其中是白噪声序列，并且，证明其偏自相关系数满足：。
证明：因为模型偏自相关系数2阶截尾，即当时，。（其一般证明见课本P80页）这里仅证明。
事实上，满足如下Yule-Walker方程：（见课本P81公式（6.2.8）），其中分别为该模型前2阶自相关系数。由课本P52页的公式（4.3.14）和P53页的公式（4.3.15）知：。
于是，解Yule-Walker方程得。

10.设时间序列服从模型：，其中是白噪声序列，并且，证明其自相关系数满足：。
解：方程两边乘以再取数学期望得，整理得 (1)
方程两边求方差得

整理得 （2）
将（2）代入到（1）可得： ，所以 。
注意到 ，而当时，方程两边乘以再取数学期望可得

整理得 （3）
在（3）式两边同除，即得 ， 。证毕！

11.设时间序列服从AR(1)模型：
，其中是白噪声序列，
为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数的极大似然估计。
解：依题意，故无条件平方和函数为
易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为

所以对数似然方程组为，即。解之得。

12.对下列每个ARIMA模型，求和。
（a)
（b)
解：（a) 原模型可变形为 , 注意到为零均值方差为的白噪声序列。所以有

（b)原模型可变形为 , 因此为一个平稳可逆的模型。同时注意到为零均值方差为的白噪声序列，所以我们有
（平稳性）

另一方面，

所以有 。

13. 若一时间序列长度为35，现对该时间序列拟合模型得其残差的前6个样本自相关系数如下：
计算统计量并由此对残差的自相关性进行检验（显著性水平）。

解：易见，（见课本P132）故检验统计量等于

此时服从一个自由度为的卡方分布，因为，所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。

14. 若一时间序列长度为100，现对该时间序列拟合模型得其残差的前8个样本自相关系数如下：
计算统计量并由此对残差的自相关性进行检验（显著性水平）。

解：易见，（见课本P132）故检验统计量等于

3.6512

此时服从一个自由度为的卡方分布，因为 所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。

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