高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编.doc

高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设f(x,y)=x2+y2,j(x,y)=x2-y2,求:f[j(x,y),y2]. 答案：f(j(x,y),y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4

二、求下列函数的定义域：
x2(1-y)221、f(x,y)= {(x,y)|y+x¹1}; 221-x-y
y2、z=arcsin {(x,y)|y£x,x¹0}; x
三、求下列极限：
x2siny 1lim （0） 2(x,y)®(0,0)2x+y
2、y(1+)3x (e6) (x,y)®(¥,2)xlim
x2y四、证明极限 lim不存在. 2(x,y)®(0,0)4x+y
证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y=x趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在 21, 2
1ì,(x,y)¹(0,0)ïxysin22五、证明函数f(x,y)=í 在整个xoy面上连续。 x+yï0,(x,y)=(0,0)î
证明：当(x,y)¹(0,0)时，f(x,y)为初等函数，连续。当(x,y)=(0,0)时，
1xysi=0=f(0,0)，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 (x,ylim)®(0,0)22x+y
在整个xoy面上连续。
六、设z=x+y2+f(x+y)且当y=0时z=x2，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=x2-x，z=x2+2y2+2xy-y
§ 2 偏导数
y¶z¶z=xy+z 1、设z=xy+xex ,验证 x+y¶x¶y
¶zy¶z¶z¶z=y+ex-ex,=x+ex，\x+y=xy+xy+xex=xy+z 证明：¶xx¶y¶x¶yyyyy

ìz=x2+y2
1pï2、求空间曲线G:í在点（,,1）处切线与y轴正向夹角() 1y=224ïî2
x23、设f(x,y)=xy+(y-1)arcsin, 求fx(x,1) ( 1) y
4、设u=x, 求
zzy¶u¶u¶u ， ， ¶y¶x¶zzz¶uz¶u1y¶uzy-1=-2xylnx =xlnx =x 解： ，¶y¶zy¶xyy
¶2u¶2u¶2u2++= 5、设u=x+y+z，证明 : ¶x2¶y2¶z2u
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 222
1ì22xsin,x+y¹0ï22f(x,y)=í x+y
22ï0,x+y¹0î
10-0 limf(x,y)=0=f(0,0) 连续； fx(0,0)=lim fy(0,0)=limsi2 不存在，=0 x®0y®0x®0y-0xy®0
7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 limx®0f(a+x,b)-f(a-x,b) x
（2fx(a,b)） § 3 全微分
1、单选题
（1）二元函数f(xy)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________

(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
yyy11）z=ex dz=ex(-2dx+dy) xx
22 2）z=sin(xy) 解：dz=cos(xy)(y2dx+2xydy)
yz-11y 3）u=x 解：du=xdx+xzlnxdy-2xzlnxdz zzzyzyyy

3、设z=ycos(x-2y)， 求dz(0,)4p
解：dz=-ysin(x-2y)dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y))dy \dz|(0,p
4)=p
4dx-p
2dy
4、设f(x,y,z)=
z1(-2dx-4dy+5dz) 求： df(1,2,1)2225x+y
1ì22(x+y)sinï5、讨论函数f(x,y)=íx2+y2
ï0,î,(x,y)¹(0,0)(x,y)=(0,0)在（0，0）点处

的连续性 、偏导数、 可微性 1(x2+y2)sin=0=f(0,0) 所以f(x,y)在（0，0）点处连续。 解：(x,ylim)®(0,0)22x+y

fx(0,0)=f(Dx,0)-f(0,0)f(0,Dy)-f(0,0)=0,fy(0,0)=lim=0 (x,y)®(0,0)(x,y)®(0,0)DxDy
f(Dx,Dy)-0®0，所以可微。 22(Dx)+(Dy)lim
§4 多元复合函数的求导法则
dzvt1、 设z=u,u=sint,v=e，求 dt
dzet-1tet×e+lnsint×(sint)×et 解：=cost.sint)dt
¶z¶z2x-3y,，求, 2、 设z=(x+y)¶x¶y
¶z2x-3y-1=(2x-3y)x(+y)-3x(+y2x-)3ylnx+( y), ¶y
¶z¶zyn+2y=nz 3、 设z=xf(2)，f 可微，证明x¶x¶yx
¶2z¶2z¶2z224、 设z=f(x-y,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求，， 22¶x¶y¶y¶x
¶z解：=2xf1¢+2yf2¢ , ¶x
2¶z¶z=2x(f11¢¢(-2y)+f12¢¢2x)+2f2¢+2y(f21¢¢(-2y)+f22¢¢2x) =-2yf1¢+2xf2¢ , ¶x¶y¶y

=2f1¢-4xyf11¢¢+4(x-y)f12¢¢+4xyf22¢¢
2
2
2¶z¶2z22¢¢¢¢¢¢¢ ,=-2f1¢+4y2f11¢¢-8xyf12¢¢+4x2f22¢¢ =2f+4xf+8xyf+4yf111122222
¶y¶x
¶2zyx
5、 设z=f(xy,)+g()，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求
¶x¶yxy
¶zy1解：=f1¢y-2f2¢+g¢ ，
¶xxy¶2z11y11x
=f1¢+y(f11¢¢x+f12¢¢)-2f2¢-2(f12¢¢x+f22¢¢)-2g¢-3g¢¢
¶x¶yxxxxyy
du
6、 设u=F(x,y,z)，z=f(x,y)，y=j(x)，求
dx
du¢
=F1¢+F2¢j¢(x)+F3¢(fx+fy¢j¢(x))。 解：dx
ìu=x-2y¶2z¶2z¶2z¶2z
-2=0 化为 =0， 7、设z=z(u,v)，且变换í 可把方程62+
v=x+ay¶x¶y¶u¶v¶y¶xî
其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值 (a=3)
¶2z¶2z¶2z¶2u¶z¶z¶z¶z¶z¶z
=2++2 证明：=-2+a =+
2¶u¶v¶y¶u¶v¶x¶u¶v¶x¶u¶v
2
¶2z¶2z¶2z¶2z¶2u2¶u=42-4a+a =-22+(a-2)+a2
2¶u¶v¶x¶y¶u¶v¶y¶u¶v2¶u¶v2
¶2z2¶u+(6+a-a)2=0 a=3 得：(10+5a)
¶u¶v¶v
¶2z¶2z
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,f1/(1,1)=a,f2/(1,1)=b 又，j(x)=f{x,f[x,f(x,x)]} 求 j(1).和j/(1) (1) ,
(a+ab+ab2+b3)
§ 5 隐函数的求导公式
dy
1、 设ylny=x+y，求
dx
dy1=解：令F(x,y)=ylny-x-y，Fx=-1,Fy=lny,\ dxlny
z222
2、 设z=z(x,y)由方程x+y+z=yf()确定，其中f可微，证明
y
¶z¶z
(x2-y2-z2)+2xy=2xz
¶x¶y
¶2zxy+z
3、 设z=z(x,y)由方程=e所确定，其中f可微，求
¶x¶yz

¶2zz¶zz¶zz =-=,=-, 3¶x¶y¶xx(1+z)¶y1+zx(1+z)
ìx2+y2+z2=1dyxdzdydz4、 设í，求， ( ，=-=0) 22dxydxdxdxîz=x+y
¶z¶z5、 设z=z(x,y)由方程F(xy,y+z,xz)=0所确定，F可微，求, ¶x¶y
FyFxF1¢y+zF3¢¶zF1¢x+F2¢¶z解：令F(x,y,z)=F(xy,y+z,xz) ，则 =-=-,=-=-¶xFz¶yF¢¢¢¢F2+xF3F2+xF3z
6、设z=f(x,y)由方程z+x+y-ez+x+y=0所确定，求dz (dz=-dx-dy)
7、设z=z(x,y)由方程 3xy+xcos(yz)-z3=y所确定，求¶z¶z, , ¶y¶x
()¶z3xy.yln3+cosyz¶zx.3xyln3-xzsin(yz)-1== , ¶x¶y3z2+xysinyz()3z2+xysin(yz)

§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线x=2cost,y=2sint,z=3t 在对应于t=p
4处的切线及法平面方程

解：切线方程为==z-3p 3
法平面方程-2(x-2)+2(y-2)+3(z-3p)=0 4
ìx2+y2+z2=502、 求曲线í 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 222îz=x+y
x-3y-4z-5 解：切线方程为 ，法平面方程：4x-3y=0 ==4-30
2223、 求曲面2x+3y+z=9在（1，-1，2）处的切平面及法线方程
解：切平面方程为2(x-1)-3(y+1)+2(z-2)=0
x-1y+1z-2 及法线方程 ==2-32
4、 设f(u,v)可微，证明由方程f(ax-bz,ay-bz)=0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明：令F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-bz)，则
Fx=f1a,Fy=f2a,Fz=-bf1-bf2,\=(f1a,f2a,-bf1-bf2)
\×(b,b,a)=0 ，所以在（x0,y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。
5、 证明曲面x
和为a 2¢¢¢¢¢¢¢¢23+y23+z23上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方=a(a>0）23

2-32-32-3
证明：令F(x,y,z)=x+y+z-a，则Fx=x,Fy=y,Fz=z,
333
在任一点(x0,y0,z0)处的切平面方程为x0 在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z
1
3
23
13
23232323
111
-
13
(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0
13
23
-
13
-
13
a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2
23
y

=xf()上任意一点M(x0,y0,z0),(x0¹0)处的切平面都通过原点
x
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z) k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z) 两边对t 求导，并令t=1 xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z)
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0 此平面过原点（0，0，0）
§ 7 方向导数与梯度

1、 设函数
f(x,y)=x2-xy+y2， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
(1f,3)=-+5j 解：梯度为 grad
到
最小值的方向为-=(1,-5)。 2、 求函数u
¶f
¶l
(1,3)
=-cosq+5sinq , 方向导数达到最大值的方向为=(-1,5)，方向导数达
=xy2+yz2+zx2在（1，2，-1）处沿方向角为a=600b=900g=1500的方
¶u¶l
=1+
向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
3，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 (1,2,-1)
2
¶u
gradu(1,2,-1)=2+5j-3，此时最大值为 38 (1,2,-1)=
¶l
解：：方向导数 为3、 求函数u
=xy2z3在（1，1，-1）处沿曲线x=t,y=t2,z=t3在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t增大的方向）的方向导数。
¶u¶u¶u=y2z3,=2xyz3,=3xy2z2，=(1,2,3)，\该函数在点（1，1，-1）处的方 ¶x¶y¶z
¶u4
向导数为， (1,1,-1)=
¶l222
4、求函数u=ln(y+z+x)在（1，1，-1）处的梯度。
¶u2x¶u2y¶u2z=2,=,=解：：， 22222222¶xx+y+z¶yx+y+z¶zx+y+z
解：：

gradu(1,1,-1)=222+j- 333

§ 8 多元函数的极值及求法
1、求函数f(x,y)=3x2+3y2-2x-2y+2的极值。
11 答案：（，）极小值点 33
2．求函数f(x,y)=x2+y2-2lnx-18lny的极值
答案：极小值f(1,3)=10-18ln3
3. 函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5)
4、求函数z=x2+y2+1在条件x+y-3=0下的条件极值
解：F(x,y,l)=x2+y2+1+l(x+y-3)
ìFx=02211 ，极小值为 Þ(,)íF=0332îy
5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/
平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
（长和宽2米，高3米）
6、 在球面x2+y2+z2=5r2（x>0,y>0,z>0）上求一点，使函数
f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证
a+b+c5明"a,b,c 有abc3£27() 5
2222证明：令L=lnx+lny+3lnz+l(x+y+z-5r) ¶L¶L¶L=0,=0,=0，x2+y2+z2=5r2解得驻点x=y=r,z=r。所以函数令¶x¶y¶z
f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz在x=y=r,z=3r处达到极大值。极大值为ln(3r5)。x2+y2+z2
5即xyz£3rÞxy(z)£27(r)=27()，令5
a+b+c5x2=a,y2=b,z2=c,得abc3£27()。 535222325
x2y2
++z2=1被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的 7、求椭球面32
长度
x2y2解： F=x+y+z+l1(++z2-1)+l2(x+y+z) 32222

2l1xìF=2x++l2=0ïx3ïF=2y+ly+l=0y12ï-3l2-l2-l2ï íFy=2z+2l1z+l2=0 x=，y=，z= 2(3+l)2+l2(1+l)111ï22ïx
ïï3+y+z2=1
îx+y2+z=0
l1=-(x2+y2+z2)=-d2 l-11±6 长半轴 11+6， 短半轴 -1=6
第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
ìxy2
1、设有二元函数f(x,y)=ïíx2+y4,(x,y)¹(0,0), 则 [ ]
ïî0,(x,y)=(0,0),
A、(x,ylim)®(0,0)f(x,y)存在；
(x,ylim)®(0,0)f(x,y)不存在；
C、(x,ylim)®(0,0)f(x,y)存在， 且f(x,y)在(0,0)处不连续；
D、(x,ylim)®(0,0)f(x,y)存在， 且f(x,y)在(0,0)处连续。

2、函数f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x0,y0)连续的[
A、必要条件；
C、充要条件； D、既非必要也非充分条件

ìxy
3、函数f(x,y)=ïíx-y,x¹y, 在(0,0)点处 [ ]
ïî0,x=y
A、极限值为1； B、极限值为-1；
C、连续； 、无极限。
4、z=f(x,y)在P0(x0,y0)处fx(x,y)，fy(x,y)存在是函数在该点可微分的 [ ]
（A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。
5、点O(0,0)是函数z=xy2的 [ ]
（A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；
（C）极大值点； （D）最大值点。
6、曲面ez-z+xy=3在点P(2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A）2x+y-4=0； （B）2x+y-z=4；
（C）x+2y-4=0； （D）2x+y-5=0 ]

7、已知函数u=f(t,x,y),x=j(s,t),y=f(s,t)均有一阶连续偏导数，那么
(A)fxjt+fyft; (B) ft+fxjt+fyft;
(C) f×jt+f×ft; (D) ft+f×jt+f×ft
二、填空题：（每题３分，共18分） ¶u=[ ] ¶t
x2siny1、lim= （ 0 ） (x,y)®(0,0)x2+y2
¶3f=（ exyz２、设f(x,y,z)=e，则(1+3xyz+x2y2z2) ） ¶x¶y¶z
ìsin(xy),xy¹0,ï３、设f(x,y)=íy2则fx(0,1)=( 0 )
ïxy=0,î0,
x４、设z=(x+2y)，则在点(1,0)处的全微分.dz=(dx+2dy) xyz
2ìïy=x５、曲线í在点P0(1,1,1)处的切线方程为2ïîx=z
x-1y-1z-1( ) ==214
ìx2+y2+z2=3xx-1y-1z-1６、曲线í在点(1,1,1)处的切线方程为( ) ==2102x-4y+6z=4î
三、计算题（每题6分）
1、设f(x,y)=xln(x+y)，求f(x,y)的一阶偏导数 22
2x22xyfx(x,y)=ln(x+y)+2f(x,y)= ， 。 y222x+yx+y22
xö÷，求此函数在点P0(1,1)处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 ÷yøè
1¶f2(21)= P0到P方向的方向导数 ( ，) df=dx-dy1(1,1)¶l2¶2zæ2yö３、设z=fçxy,÷,f具有各二阶连续偏导数，求 ¶x¶yxøè2、设f(x,y)=lnççx+
2¶2z¢1f¢²²y²¶z3解： =2xf1-22+2xf11+yf12-3f22¶x¶y¶x¶yxx
1ì2222,x+y¹0ïx+ysin22４、设f(x,y)=í 求fx(x,y)和fy(x,y)。 x+yï0,x2+y2=0îæ
1xsi2f(x,0)-f(0,0)不存在，故f(0,0)不存在，同理，f(0,0)也不存在。 lim =limyxx®0x®0x0x
当(x,y)¹(0,0)时，有

fx(x,y)=
fy(x,y)=xx2+y2yx2+y212y1si-2co 23/2222222(x+y)x+yx+yx+y
z+x+ysi1-2x1co (x2+y2)3/2x2+y2５、设z=f(x,y)由方程z+x+y-e=0所确定，求dz ( dz=-dx-dy)
¶2z６、设z=f[j(x)-y,y(y)+x]，f具有连续的二阶偏导数，j,y可导，求 ¶x¶y
¶2z¶z¢¢+f12¢¢y¢(y)]+[-f21¢¢+f22¢¢y¢(y)] =j¢(x)[-f11=f1¢j¢(x)+f2¢ ¶x¶y¶x
¢¢+[j¢(x)y¢(y)-1]f12¢¢+y¢(y)f22¢¢ =-j¢(x)f11
22ì¶u¶uïx+y-uu=0,７、设í确定函数u=u(x,y),u=u(x,y)，求。 222ï¶x¶yîxy-u+u=0
¶u4xu+u2¶u4xu-uy2
=,=¶x2(u2+u2)¶x2(u2+u2) ¶u2yu+xyu¶u2yu-xyu=2,=22¶y¶yu+uu+u2
¶2u¶2u¶2u1222f(x+y+z)，式中f二阶可导，求2+2+2 ８、设u=222¶x¶y¶zx+y+z
解：记r=x2+y2+z2，则
f(r)u==f(r)×r-1 r
¶uf¢(r)r-f(r)¶uf¢(r)r-f(r)¶uf¢(r)r-f(r)，=x,=y=z 333¶xr¶yr¶zr
¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]2f¢(r)r-f(r)=×x+ 253¶xrr
类似地，有
¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]2f¢(r)r-f(r)=×y+ 253¶yrr
¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]2f¢(r)r-f(r)=×z+ 253¶zrr

¶2u¶2u¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]23[f¢(r)r-f(r)]+2+2=×r+ 253¶x¶y¶zrr
f¢¢(r) =r
四、（１０分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
111设三个正数为x,y,z，则x+y+z=a，记F=++，令 xyz

j=
则由 111+++l(x+y+z-a) xyz
1ìj=-+l=02ïxxïïj=-1+l=0aïy2y 解出。 x=y=z=í3ï1ïjz=-2+l=0zïïîx+y+z=a
五、证明题：（１０分）
试证：曲面z=x+f(y-z)上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中f连续可导。
证明：曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面的法向量为
定直线L的方向向量若为s={1,1,1}则
n×s=0，即n^s n={-1,-f¢,1+f¢}
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
第九章 重积分
§ 1 二重积分的概念与性质
1、由二重积分的几何意义求二重积分的值 I=òòx2+y2dxdy 其中D为：x2+y2£4 D
( I=òòx2+y2dxdy=p.4.2-.p.4.2=
D1316p) 3
2、设D为圆域x2+y2£a2,a>0,若积分òòDp=a-x-ydxdy12，求a的值。 222
解： òòD3a-x-ydxdy=2.3p.a a=8 222141
3、设D由圆(x-2)2+(y-1)2=2围成,求òò3dxdy
D
解：由于D的面积为2p, 故òò3dxdy=6p
D
4、设D：{(x,y)|3£x£5,0£y£1}，
I1=òòln(x+y)dxdy,I2=òò[ln(x+y)]2dxdy，比较I1, 与I2的大小关系
DD
解：在D上，ln(x+y)£ [ln(x+y)]2,故I1£I2
5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x2+y2=1, 和曲面z=[f(xy)]2所围的

立体的体积，可用二重积分表示为V=
D:x+y£1
[f(xy)]òò22
2
dxdy
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值

òòsin2xsin2ydxdy D:0£x£p,0£y£p
D
(0£òòsin2xsin2ydxdy£p2)
D
7、设f(x,y)为有界闭区域D：x2+y2£a2上的连续函数，求 lim解：利用积分中值定理及连续性有lim
1a®0pa2
1a®0pa2
D8
òòf(x,y)dxdy
D
a®0
òòf(x,y)dxdy=limf(x,h)=
f(0,0)

§ 2 二重积分的计算法
x
dxdy，其中D是由抛物线y=x2+1与直线y=2x，x=0所围成的区y+1D
域，则I=（ ）
7191
A ： -ln3-ln2+ B ： ln3+ln2-
8282
9191
C ： ln3-ln2- D ： ln3-ln2-
8482
2、设D是由不等式x+y£1所确定的有界区域，则二重积分òò(x+y)dxdy为
1、设I=òò
D
（ ）
12
A ：0 B： C ： D： 1
33
3、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x2及y=2所围成的区域，则二重积分 òòyexydxdy为（ ）
D
1111
A：e4-e2-e B ：e4-e2+e-e2
2222
111
C ：e4+ee4-e2
222
1
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分òdxò
-1

1+x2
x+1
f(x,y)dy为（ ）

A ò0dyò-1f(x,y)dx+ò1dyò-1
C ò0dyò-1f(x,y)dx+ò1dyò-1
1
y-1
2
1y-12
y2-1
f(x,y)dx B òdyò

1y-1
-1
f(x,y)dx
-y2-1
f(x,y)dx D ò0dyò-1
2
-y2-1
f(x,y)dx
5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重 积分òòf(x2y)dxdy为（ ）
D
A 2òòf(x2,y)dxdy B 4òòf(x2,y)dxdy
D1
D2
C 4òòf(x2,y)dxdy D
D1
12
f(x,y)dxdy òò2D2
6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分òòf(x2y2)dxdy为（ ）
D
A2òòf(x,y)dxdy4òòf(x2,y2)dxdy
D1
D1
22
C 8òòf(x2,y2)dxdy D
D1
122
f(x,y)dxdy 2òòD1
y
7、.设f(x,y)为连续函数，则òdxòf(x,y)dy为( )

ax
A òdyòf(x,y)dx B òdyòf(x,y)dx

y
aaa
0a
C òdyòf(x,y)dx D òdyòf(x,y)dx

ayax

8、求 I=òò
D
3
x29
dxdy ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. () D:2
4y

lnx
9、设I=òdxò
1
I=òdxò
1
3

lnx
f(x,y)dy,交换积分次序后I为：
ln3
3

e

f(x,y)dy=òdyòyf(x,y)dx
2
x
4
4-x
20
10、改变二次积分的次序： ò0dxò0f(x,y)dy+ò2dxò0f(x,y)dy = òxdxò
1x
2
x
1y
2
dx
11、设 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} ,求òòex+ydxdy的值
D
解：òòex+ydxdy=òdxòex+ydy=(òexdx)(òeydy)=(e-1)2
D
1l111
0000
1
12设 I=òòR2-x2-y2dxdy,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I (pR3)
3D
13、计算二重积分òò|x2+y2-4|dxdy，其中D是圆域x2+y2£9
D

解：òò|x+y-4|dxdy=òdqò(4-r)rdr+òdqò(r2-4)rdr=
D
22
2p2
2
2p3
0002
41p
2
14、计算二重积分òòe
D
max{x2,y2}
dxdy，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1}
x
x2
1
y
y2

解： òòe
D
max{x2,y2}
dxdy=òdxòedy+òdyòedx=e-1

1
15、计算二重积分òò
D
x+y22
x+y£1,x+y³1. ，D：dxdy22
x+y
p
1r(cosq+sinq)4-px+y2dq= 解：òò2= dxdy12ò202rx+ycosq+sinqD

§ 3 三重积分
1、设W是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则òòòxdxdydz为
W
( )
A òdxòdyò

01
1
1-x-2y0
xdz B òdxò

1
1-y20
dzò
1-x-2y

xdy

C òdxò
01
1-x20
dyò
1-x-2y
2
2

xdz D òdxòdyòxdz

111
2、设W是由曲面x+y=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分òòòf(x,y,z)dxdydz表示为累次积分，I=（ ）
W
A òdqòdrò2f(rcosq,rsinq,z)dz B òdqòdrò2f(rcosq,rsinq,z)rdz

2p1
r2
2p2
r2
C òdqòdrrf(rcosq,rsinq,z)rdz D òdqòdròf(rcosq,rsinq,z)rdz
2
2p222p22
00
2
000
3、设W是由x2+y2+z2£1所确定的有界闭域，求三重积分òòòe|z|dv
W
解：òòòe|z|dv=òe|z|(
W
-1
1
x2+y2£1-z2
z2
dxdy)dz=2pe(1-z)dz=2p òòò

1
4、设W是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求òòòxy2z3dxdydz
W
(1/364)
zln(x2+y2+z2+1)
dxdydz (0) 5、设W是球域：x+y+z£1，求òòò222
x+y+z+1W
2
2
2
6、计算òòò(x2+y2)dxdydz 其中W为：平面z=2与曲面x2+y2=2z2所围成的
Q
区域 (
64
p) 5

7、计算òòòx2zdxdydz其中W是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x所围成的闭区域
2
Q
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求lim
1222
f(x+y+zdxdydz 解：lim4
òòòt®0pt
x2+y2+z2£t2
=lim

§4 重积分的应用
1、(1)、由面积x2+y2=2x, x2+y2=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）
113
A (p+2) B (p+2)(p+2) D p+2
424
(2) 、位于两圆r=2sinq与r=4sinq之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
5867
A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)
3333
(3)、由抛物面z2+y2=4x和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）
4557
A (,0,0) B (,0,0) C (,0,0) D (,0,0)
3443
(4)、 质量分布均匀(密度为m)的立方体所占有空间区
域:W={(x,y,z)|0£x£1,0£y£1,0£z£1},该立方体到oz轴的转动惯量IZ=( )
124
A mm C m D m
333
2、求均匀上半球体(半径为R)的质心
13R8
解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=òòòzdv= 故质心为(0,0,R)
VW834、 曲面z=13-x2-y2将球面x2+y2+z2=25分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3
55
dxdy=10p S3=òòdxdy=20p 解：S1=òò2222
25-x-y25-x-yx2+y£9x2+y£16
S2=70p 1
t®0pt4
1t®0pt4
x2+y+z£t
f(x2+y2+z2)dxdydz òòò222
ò
2p

dqòdjòf(r)r2sinjdr=li