2020上海高三数学松江一模.doc

上海市松江区2020届高三一模数学试卷
2019.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则
2. 若角的终边过点，则
3. 设，则
4. 的展开式中的系数为
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足
，则
6. 若关于、的二元一次方程组无解，则实数
7. 已知向量，，若向量∥，则实数
8. 已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，
则函数的图像必经过点
9. 在无穷等比数列中，若，
则的取值范围是
10. 函数的大致图像如图，若函数图像经过
和两点，且和是其两条渐近
线，则
11. 若实数，满足，，则实数的最小值为
12. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则
的概率为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知是平面的一条斜线，直线Ü ，则（ ）
A. 存在唯一的一条直线，使得 B. 存在无限多条直线，使得
C. 存在唯一的一条直线，使得∥ D. 存在无限多条直线，使得∥
14. 设，则“”是“、中至少有一个数大于1”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 已知，若对任意的恒成立，则（ ）
A. 的最小值为1 B. 的最小值为2
C. 的最小值为4 D. 的最小值为8
16. 已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（ ）
A. 45 B. 1012 C. 2036 D. 9217

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.
（1）求圆锥的侧面积和体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
（结果用反三角函数表示）

18. 已知函数.
（1）求的最大值；
（2）在△中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长.

19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成都等路面情况而变化，）.

阶段
0、准备
1、人的反应
2、系统反应
3、制动
时间

秒
秒

距离
米

米
（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，
若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？

20. 设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.
（1）若，求点的坐标；
（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；
（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

21. 已知数列满足：① （）；② 当（）时，；
③ 当时，，记数列的前项和为.
（1）求，，的值；
（2）若，求的最小值；
（3）求证：的充要条件是（）.

参考答案

一. 填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10.
11. 12.

二. 选择题
13. B 14. A 15. B 16. C

三. 解答题
17.（1）侧面积，体积；（2）或.
18.（1），最大值为1；（2），.
19.（1），秒；
（2），时，米/秒，合72千米/小时.
20.（1）；（2），证明略；（3）最小值2，.
21.（1），或1，或1；（2）115；（3）略.
20． 解：（1）由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，
设A（x1，y1），由|FA|=3及抛物线定义知，x1=2，代入得
所以A点的坐标或 ………………………4分
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB的方程是：x＝my+2，
联立，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得，………6分

故恒为钝角，
故原点总在以线段AB为直径的圆的内部． ………………………10分
（3）设A（x1，y1），则x1y1≠0，
因为|FA|＝|FM|，则|m﹣1|＝x1+1，由m＞0得m＝x1+2，故M（x1+2，0）．故直线AB的斜率KAB＝．
因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为，代入抛物线方程
得，由题意，得．……………12分
设E（xE，yE），则，
………………………14分
当且仅当，即时等号成立，
由 得，解得或（舍），………………15分
所以点的坐标为， ………………………16分
21． 解：（1）因，，且是自然数，； ………………2分
，，且都是自然数；或；………………3分
，，且，或．……4分
（2），当时，
，由于，
所以或， ………………………6分

， ………………………8分
又，

所以 ………………………10分
（3）必要性：若
则： ①
②
①②得：
③ ………………………11分
由于或或，且或
只有当同时成立时，等式③才成立
………………………13分
充分性：若，由于
所以，
即，，，…，，又
所以对任意的，都有…（I） ………………………14分
另一方面，由，
所以对任意的，都有…（II） ………………………15分

由于 证毕. ………18分