2019年深圳市高三数学一模(文)试卷.doc

绝密★启用前 试卷类型：（A）

深圳市2019年高三年级第一次调研考试
数 学（文科） 2019．2
本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2．设，则
（A）
（B）
（C）
（D）
3． 在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．设，满足约束条件，则的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）
5．已知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式
的解集为
（A）
（B）
（C）
（D）
6． 如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的
几何体的三视图，则该几何体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）

7．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则该圆锥的外接球表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
第（8）题图
8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段，过点作的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接；（2）以为圆心，为半径画弧，交于点；（3）以为圆心，以为半径画弧，交于点．
点即为线段的黄金分割点．若在线段上
随机取一点，则使得的概率约为
（参考数据：）
（A） （B） （C） （D）
9．已知直线是函数图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象
（A）向左平行移动个单位长度
（B）向右平行移动个单位长度

（C）向左平行移动个单位长度
（D）向右平行移动个单位长度
10．在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
（A）
（B）
（C）
（D）
11．已知，是椭圆（）的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则与的面积之比为
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知函数 若且，则的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线在点处的切线的斜率为 ．
14．已知平面向量,满足，，，则与的夹角为 ．
15．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于四个点，若这四个点与，两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为 ．
16．在中，，是线段上的点，，若的面积为，当取到最大值时， ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
记为等差数列的前n项和． 已知，公差，是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和为．

18．（本小题满分12分）

工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．
质量指标Y

频数
8
24
16
一年内所需维护次数
2
0
1
（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；
（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在内的概率；
（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？

19．（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面为平行四边形，，．
（1）求证：；
（2）若平面平面，，，求点到平面的距离．

20．（本小题满分12分）
设抛物线：，直线与交于，两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）点为的中点，过点作直线与轴垂直，垂足为，求证：以为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．

21．（本小题满分12分）
已知函数 其中．
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若函数为上的单调函数，求实数的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两个不同的点．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若点为直线与轴的交点，求的取值范围．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围．

深圳市2019年高三年级第一次调研考试
文科数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一．选择题
（1） C （2） B （3） A （4） C （5） B （6） A
（7） C （8） A （9） C （10）B （11）D （12）C
12【解析】不妨设，由，要使最大，即转化为求，
问题可转化为（如图所示）到
距离的最大值问题． 此时需过的切线与平行．
当时，，
令，则，，
所以的最大值为2．

二．填空题：
13． 14． 15． 16．
16【解析】由题意可知 ，得．设，则，可得，当且仅当时取到最大值，所以，，由余弦定理可得．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
记为等差数列的前n项和．已知，公差，是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和为．
【解析】（1）∵，，成等比数列，
∴，
∴， ……………………………………2分
∴，
解得或，
∵，
∴． ………………………………………………………4分
∴数列的通项公式． …………………6分
（2）∵， …………………………………………8分
∴， ………………………………………10分
∴
． ……………12分
【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．

18．（本小题满分12分）
工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．
质量指标Y

频数
8
24
16
一年内所需维护次数
2
0
1
（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；
（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在内的概率；
（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？

【解析】（1） 指标Y的平均值．……………2分
（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在内的有3件，记为；指标Y在内的有2件，记为；指标Y在内的有1件，记为． …………………3分
从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：、
、、、
． …………………5分
其中，指标Y都在内的基本事件有3个：．
…………………6分
所以由古典概型可知，2件产品的指标Y都在内的概率为．
…………………7分
（3）不妨设每件产品的售价为元，
假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为元； …………………9分
假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出元，平均每件产品的消费费用元． …………………11分
所以该服务值得消费者购买． …………………12分

【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养．

19．（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面为平行四边形，，．
（1）求证：
（2）若平面平面，，，求点到平面的距离．

【解析】（1）证明：取中点，连接，，……1分
，且为中点，
， ………………………………2分
，， …………………3分
平面， ………………………………4分
平面，
， ……………………………………5分
为中点，
． ……………………………………6分
（2）过点作垂直延长线于点，连接， ……………………7分
平面平面，平面平面，
平面，，
平面，……………………………8分
平面，
， ………………………………9分
，，，
，

，
，，
，．…………………10分
设为点到平面的距离，
由于，可得，
，
， …………………………………………11分
所以．
即点到平面的距离为．…………………………………………12分
【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．

20．（本小题满分12分）
设抛物线：，直线与交于，两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）点为的中点，过点作直线与轴垂直，垂足为，求证：以为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．
【解析】（1）由消去并整理，得，……………1分
显然，设，，
由韦达定理可得，，，…………………………………3分
，
， ………………………………………4分
（舍去）或，
，
直线方程为或． ………………………………5分
（2）设的中点的坐标为，则，
又，
， ……………………………………………………6分
，由题意可得， …………………………………7分
设以为直径的圆经过点
则，，…………………8分
由题意可得，，
即， ………………………………9分
由题意可知 ……………………………………………10分
…………………………………………………11分
定点即为所求． ………………………………………………………12分
【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养．
21．（本小题满分12分）
已知函数 其中．
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若函数为上的单调函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，．………………1分
由解得，由解得．
故函数在区间上单减，在区间上单增． …………2分
∴ ． ……………………3分
∵，，
∴ ． ……………………………………4分
（2）法一： 令，则．
（i）当时，由（1）知，与题意不符； …………………5分
（ii）当时，由，．
∴ ，
∵ ，
∴ 此时函数存在异号零点，与题意不符． ……………………6分
（iii）当时，由，可得，
由可得．
∴在上单调递增，在上单调递减．
故． ……………………7分
由题意知，恒成立． ……………………8分
令，则上述不等式等价于，其中．……………9分
易证，当时，，
又由（1）的结论知，当时，成立． …………………11分
由，解得．
综上，当时，函数为R上的单调函数，且单调递减． …12分
（2）法二：因为，所以函数不可能在R上单调递增．…6分
所以，若函数为R上单调函数，则必是单调递减函数，即恒成立．
由可得，
故恒成立的必要条件为． ……………………………7分
令，则．
当时，由，可得，
由可得，
∴在上单调递增，在上单调递减．
故． ………………………………………9分
，下证：当时，．
即证．令，其中，则．
则原式等价于证明当时，． ……………………11分
由（1）的结论知，显然成立．
综上，当时，函数为R上的单调函数，且单调递减． ………12分
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两个不同的点．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若点为直线与轴的交点，求的取值范围．
【解析】（1）∵
∴ ， …………………………………1分
∵ ，， …………………………………3分
∴ 曲线的直角坐标方程为． …………………………………5分
（2）将代入曲线的直角坐标方程，可得
， …………………………………6分
由题意知，故，又，
， …………………………………7分
设这个方程的两个实数根分别为，，则
，， …………………………………8分
与同号，
由参数的几何意义可得：
，，

， ……………………………………9分
，
，
的取值范围为． ………………………………10分
【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【解析】（1），
……………………………………………………1分
当时，，
① 当时，原不等式等价于，解得，，
． ………………………………………………2分
② 当时，原不等式等价于，
解得，，
． ……………………………………………………3分
③ 当时，，而，
不等式解集为空集． ………………………………………………4分
综上所述，不等式的解集为． ……………………5分
（2）① 当时，恒成立等价于，又，
，故； …………………………………………………7分
② 当时，恒成立等价于恒成立，即，
只需即可，由此可得
， …………………………………………9分
综上所述，． ……………………………………………………10分
【命题意图】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

深圳市2019年高三年级第一次调研考试 数学（文科）试题 第 16 页 共 16页