福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题(48)(冲刺班).doc

福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（48）（冲刺班）

福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（48）（冲刺班）

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姓名：

11

福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（48）（冲刺班）
一、单选题
1．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，则线段的长为（ ）A． B． C． D．
2．已知为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，，弦中点的横坐标，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
6．已知点O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于___________.
7．已知直线经过抛物线的焦点.并交抛物线于两点.在抛物线的准线上的一点满足.则__________．
8．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，.
①抛物线焦点到准线的距离为； ②若，则； ③；
④过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点，则直线平行于抛物线的对称轴；
⑤绕点旋转且与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条.
以上结论中正确的序号为__________.
三、解答题
9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，当l⊥x轴时，｜AB｜＝4，
（1）求p的值；
（2）若|AF|＝2|BF|，求直线l的方程.

10．已知抛物线C经过点，且焦点在x轴上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于两点，求两点的距离．

参考答案
1．D
【分析】
写出直线的方程，设点、，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得.
【详解】
抛物线的焦点，直线的方程为，设点、
联立，可得，，所以，，
由抛物线的焦点弦长公式得.
故选：D.
2．C
【分析】
根据抛物线的定义知，得到，求得的值，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，点在抛物线上，设，
又由抛物线的准线方程为
根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
即，解得，
所以.
故选：C.
3．B
【分析】
由题意得，而，从而可求出的值
【详解】
设，，由抛物线定义知：，
又，即，故抛物线方程为．
故选：B
4．C
【分析】
根据抛物线的标准方程以及通径的性质直接求解.
【详解】
设抛物线方程为或，
依题意得，代入或得，
，．
抛物线方程为或，
故选：C.
5．A
【分析】
分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，再由抛物线的定义结合梯形的性质得出到抛物线的准线的距离.
【详解】
分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，，

则
故选：A
6．
【分析】
由题知抛物线的焦点，进而分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】
设，，
当直线斜率不存在时，，
所以.
当直线斜率存在时，设方程为，
与抛物线联立方程得：
所以，
∴.
故答案为：.
7．
【分析】
由，得是直线与准线的交点，过作准线的垂线，是垂足，准线与轴交点为，利用抛物线的定义可得，再利用直角三角形性质可得结论．
【详解】
∵，∴是直线与准线的交点，过作准线的垂线，是垂足，准线与轴交点为，如图，
∵，∴，∴．
抛物线方程为，则，所以，因此，
又，而，所以．
故答案为：4．

8．①②④
【分析】
焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出两点坐标，计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点，设过点的直线为，与抛物线方程联立，利用求出的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案.
【详解】
抛物线可得，
对于①：抛物线焦点为，准线为，所以焦点到准线的距离为，故①正确；
对于②：根据抛物线的对义可得：，
对于③：设直线方程为：与联立可得，可得，因为，所以，故③不正确；
对于④：，所以： ，由可得，
所以，因为， 解得：，所以，
因为在抛物线上，所以，所以，
所以，因为，所以，所以轴，即直线平行于
抛物线的对称轴，故④正确；

对于⑤：时，显然与抛物线只有一个交点，设过点的直线为，
由可得：，令
可得或，故过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确，
故答案为：①②④
9．（1）2；（2）y＝±2(x﹣1).
【分析】
（1）根据题意可得F（，0），当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，与抛物线联立得A，B坐标，再计算|AB|＝2p＝4，即可得出答案.
（2）设直线l的方程为y＝k(x﹣1），A(x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程可得的关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，
再结合|AF|＝2|BF|与焦半径公式可得x1＝2x2+1，进而解得x2x1，故由x1+x2＝＝，解得k，进而可得答案.
【详解】
解：（1）根据题意可得F(，0)，
当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，
联立直线l与抛物线y2＝2px，得y2＝2p×，
解得y＝±p，
所以A（，p），B（，﹣p），
所以|AB|＝2p＝4，所以p＝2.
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得k2x2﹣(2k2+4)x+k2＝0，
所以＝(2k2+4)2﹣4k4＝16k2+16＞0，
所以x1+x2＝，x1x2＝1，
因为|AF|＝2|BF|，
根据焦半径公式可得|AF|＝x1+1＝2（x2+1）＝2|BF即x1＝2x2+1，
所以(2x2+1)x2＝1，即+x2﹣1＝0，解得x2＝或x2＝﹣1（舍），
所以x1＝2x2+1＝2，
所以x1+x2＝＝，即k2＝8，解得k＝±2，
所以直线l的方程为：y＝±2(x﹣1).
10．（1）；（2）5.
【分析】
（1）根据条件设抛物线方程为，将点代入求；
（2）焦点坐标代入直线方程求，再与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示.
【详解】
点在第四象限，并且焦点在轴，所以抛物线的开口向右，
设为，将点代入抛物线方程，解得：，
抛物线方程为；
（2）抛物线的焦点，由题意可知，解得：，
所以直线与抛物线方程联立，
化简为，得，