广东省汕头市达濠华侨中学2020-2021学年高二数学上学期期末联考试题.doc

广东省汕头市达濠华侨中学2020-2021学年高二数学上学期期末联考试题

广东省汕头市达濠华侨中学2020-2021学年高二数学上学期期末联考试题

年级：
姓名：

14

广东省汕头市达濠华侨中学2020-2021学年高二数学上学期期末联考试题
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
3．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于( )。
A、 B、 C、 D、
4．已知、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知过点的直线l与圆C：相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．

6．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．1
7．如图所示是一个正方体的表面展开图，，，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知点是双曲线：(，)的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
二、 多选题（本题共4小题，每小题全选对5分，选错不得分，选漏可得3分）
9．点P在圆：上，点Q在圆：上，则（　　）
A．|PQ|的最小值为0
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为

10. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A． 如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
11．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（ ）
A．若，则C为椭圆
B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则
12.如图，线段为圆的直径，点在圆上，，矩形，和圆所在平面垂直，且，则下述正确的是（ ）
A．
B．
C．点到平面的距离为
D．三棱锥外接球的体积为

三、 填空题（本题共4小题，每小题5分，其中13题答对一空得3分，全对得5分）
13．设直线，直线．当 时，；当 　时，．
14. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，则______.
15．矩形中，,沿将矩形折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的体积为_____________.
16．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________．
三、解答题（本题共6小题）
17．（本题满分10分）
在中，．
（1）求；
（2）若，求的面积。

18．（本题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.

19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，
，是的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为45°？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（本题满分12分）
已知圆经过点，且圆心在直线上，直线与圆相切．
（1）求圆的方程；
（2）已知斜率为的直线经过原点，求直线被圆截得的弦长．

21．（本题满分12分)
如图，四棱锥中，，，，是中点，平面.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.

22． （本题满分12分）
椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，右焦点的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线，与椭圆交于两点，若，求的取值范围．

广东省汕头市达濠华侨中学2020至2021学年度第一学期高二期末联考试卷
数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟
四、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
D
D
D
B
A
五、 多选题
题号
9
10
11
12
答案
BC
AB
AD
ABC
六、 填空题
13．　﹣1　；　 14. 15. 16.10
四、解答题
17．（12分）在△ABC中，acosB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
解：（1）在△ABC中，由正弦定理，
因为，所以，…………2分
因为sinA≠0，所以，…………3分
所以tanB，因为0＜B＜π，所以，…………5分
（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
可得，所以a，c，…………8分
所以．…………10分
18、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)∵{an}为等差数列，
∴…………3分
解得…………5分∴an＝2n＋1…………6分.
(2)∵bn＝＋an＝22n＋1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2n＋1)，…………7分
∴Tn＝2×(4＋42＋…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)…………8分
＝2×＋…………11分
＝(4n－1)＋n2＋2n.…………12分
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E是CC1的中点．
（1）求直线AB与平面A1BE所成角的正弦值；
（2）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（4，0，0），B（0，4，0），E（0，0，2），A1（4，0，4），……1分
∴＝（﹣4，4，0），＝（4，0，2），＝（0，4，﹣2），……2分
设平面A1BE的法向量＝（x，y，z），
则，即，令x＝1，得＝（1，﹣1，﹣2），…………4分
∴cos＜，＞＝＝＝﹣，
∴直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为．…………6分
（2）假设在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45°，
设P（0，0，c），0≤c≤4，…………7分
则＝（4，0，﹣c），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），
则，即，取x＝c，则＝（c，c，4），…………8分
由（1）知平面A1BE的法向量为＝（1，﹣1，﹣2），
∴|cos＜，＞|＝＝＝，
解得c＝＜4，…………11分
∴在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45°，
P点坐标为（0，0，）．…………12分
20.已知圆经过点，且圆心在直线上，直线与圆相切．
（1）求圆的方程；
（2）已知斜率为的直线经过原点，求直线被圆截得的弦长．
解：（1）设圆心的坐标为，…………1分
则 …………2分
化简，得，解得，所以，…………4分
半径， …………6分
所以圆的方程为…………7分
（2）直线的方程为，设圆心到直线的距离为，…………8分
则，…………10分
设弦长为，得，………………11分
所以直线被圆截得的弦长为．…………12分

21．如图，四棱锥中，，，，是中点，平面.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，即，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，…………3分
∵平面，∴，…………4分
∵，，平面，…………5分
∴平面，
∵平面，…………6分
∴平面平面.…………7分
（2）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由，，知，…………8分
则，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，…………9分
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，…………10分
∴，…………11分
则二面角的正弦值为.…………12分
22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若，求k的取值范围．
21．解：（I）由已知，；,
故椭圆C的方程为…………3分
（II）设…………4分
则A、B坐标是方程组的解．
消去，…………6分
则， …………7分
…………9分
…………11分
所以k的取值范围是 …………12分