2023届广东省深圳市宝山区数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（　　）
A．5% B．20% C．15% D．10%
2．如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是下图中的（ ）

A． B． C． D．
3．下列说法不正确的是（　　）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是( )
A． B． C． D．
5．若，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，点，，，，都在上，且的度数为，则等于（ ）

A． B． C． D．
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
C．等腰三角形的两个底角相等 D．是实数，
8．若点都是反比例函数图像上的点，并且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．随的增大而减小 D．两点有可能在同一象限
9．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A．y=4x B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．

12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．

13．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
14．函数的自变量的取值范围是 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为__________．（结果保留π）

16．如图，在中，，若，则__________．

17．已知且为锐角，则_____．
18．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.
20．（6分）关于的一元二次方程 有两个不等实根，.
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程两实根，满足，求的值。
21．6分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．
①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，
②求BC：AC：AB的值．
（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．
22．（8分）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；

（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
23．（8分）如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．(图中不添加字母和线段)

24．（8分）如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．

（1）依题意补全图形；
（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；
（3）连接AP，设，当P和Q两点都在射线ON上移动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，
（1）请在网格中，画出线段关于原点对称的线段；
（2）请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点，写出点的坐标；
（3）若另有一点，连接，则　 　．

26．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0.
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2－x1－x2＝，求m的值．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，解这个方程即可求解．
【详解】设定期一年的利率是x，
根据题意得：一年时：5000（1+x），
取出3000后剩：5000（1+x）﹣3000，
同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），
即方程为[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，
解得：x1＝10%，x2＝﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和 = 本金 ×(1+ 利率 × 期数），难度一般．
2、D
【分析】由俯视图判断出组合的正方体的几何体的列数即可．
【详解】根据给出的俯视图，这个立体图形的第一排至少有3个正方体，第二排有1个正方体．
故选：D．
【点睛】
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3、B
【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
4、A
【解析】由勾股定理，得
AC=，
由正切函数的定义，得
tanA=，
故选A．
5、B
【分析】根据比例的性质,可用x表示y、z,根据分式的性质,可得答案.
【详解】设=k,
则x=2k,y=7k,z=5k代入原式
原式==
故答案为:2.

【点睛】
本题考查了比例的性质,解题的关键是利用比例的性质,化简求值.
6、D
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE=∠ADE=25°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，即可求得∠CBE+∠ADC=155°．
【详解】解：如图所示

连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE
∵=50°
∴∠ABE=∠ADE=25°
∵点，，，都在上
∴∠ADC+∠ABC=180°
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°
∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
7、C
【分析】由题意根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可判断选项．
【详解】解：A. 小明买彩票中奖，是随机事件；
B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件；
C. 等腰三角形的两个底角相等，是必然事件；
D. 是实数，，是不可能事件；
故选C.
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8、A
【分析】根据反比例函数的图象及性质和比例系数的关系，即可判断C，然后根据即可判断两点所在的象限，从而判断D，然后判断出两点所在的象限即可判断B和A．
【详解】解:∵中,-6＜0,
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，故C错误；
∵
∴点在第四象限，点在第二象限，故D错误；
∴，故B错误，A正确．
故选A．
【点睛】
此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键．
9、B
【解析】抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，
其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，
∴所得的点数能被3整除的概率为，
故选B．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟记概率的计算公式是解题的关键.
10、C
【解析】根据反比例函数的定义判断即可．
【详解】A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的定义，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，
∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，

∵ ，∠ABG=∠CBE，
∴△ABG∽△CBE，
∴，
解得，CE=，
故答案为．

【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
12、 (－2，0)
【解析】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是 ，
设A点坐标为(x,0),由A. B关于对称轴对称得 ，
解得x=−2，
即A点坐标为(−2,0)，
故答案为(−2,0).
13、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
14、x＞1
【详解】解：依题意可得，解得，所以函数的自变量的取值范围是
15、9﹣3π
【解析】试题解析：连结AD．

∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，
∴∠C=60°，AB=6，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=
16、6
【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEG∽△FAG，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.
17、2
【分析】根据特殊角的三角函数值，先求出，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴；
∴
=
=
=
=；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是正确求出，熟练掌握运算法则进行计算.
18、1或﹣1
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣1)(x+2)=0，
解得：x1=1，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+1)(x﹣2)=0，
解得：x1=﹣1，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点睛】
考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）
【解析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；
（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.
【详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率=.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20、（1）；（2）．
【分析】（1）根据∆>0列式求解即可；
（2）先求出x1+x2与x1·x2的值，然后代入求解即可.
【详解】（1）原方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
（2）由根与系数的关系得，．
，
，
解得： 或，
又，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
21、（1）① “匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②BC：AC：AB＝；（2）CD＝a，CM不是△ACD的“匀称中线”．理由见解析.
【分析】（1）①先作出Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；
②设AC＝2a，利用勾股定理分别把BC,AB的长度求出来即可得出答案.
（2）由②知：AC：AD：CD＝，设AC＝，则AD＝2a，CD＝，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用的面积建立一个关于a的方程，解方程即可求出CD的长度；假设CM是△ACD的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.
【详解】（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，

∵∠ACB＝90°，
∴CF＝即CF不是“匀称中线”．
又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．
∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，
②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，
在Rt△BCE中∠BCE＝90°，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝，
∴BC：AC：AB＝
（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，
∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，
∵Rt△ACD是“匀称三角形”．
由②知：AC：AD：CD＝
设AC＝，则AD＝2a，CD＝，
如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，

∵∠BAC＝45°，
∴
∵
解得a＝2，a＝﹣2（舍去），
∴
判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．
理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．
则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，
∴
又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝ ，BH＝4-，
∴
即
这与∠AMC＝∠B相矛盾，
∴假设不成立，
∴CM不是△ACD的“匀称中线”．
【点睛】
本题主要为材料理解题，掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.
22、（1）；（2）．
【分析】（1）由平行投影性质：平行长不变，可得A1B1=AB；
（2）过A作AH⊥BB1，在Rt△ABH中有AH=ABcos30°，从而可得A1B1的长度．
【详解】解：（1）根据平行投影的性质可得，A1B1=AB=8cm；
（2）如图（2），过A作AH⊥BB1，垂足为H．
∵AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，
∴四边形AA1B1H为矩形，
∴AH=A1B1，
在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，AB=8 cm，
∴，
∴．

【点睛】
本题主要考查平行投影的性质，线段的平行投影性质：平行长不变、倾斜长缩短、垂直成一点．
23、△BPQ∽△CDP，证明见解析.
【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP.
【详解】△BPQ∽△CDP，
证明∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠QPD＝90°，
∴∠QPB+∠BQP＝90°，
∠QPB+∠DPC＝90°，
∴∠DPC＝∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．
【点睛】
此题重点考察学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键.
24、（1）补全图形见解析； （2）AB=PB．证明见解析；（3）存在，．
【分析】（1）根据题意补全图形如图1，
（2）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出 ，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为 ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，

（2）AB=PB．
证明：如图，连接BQ．

∵BC的垂直平分OQ，
∴ OB =BQ，
∴∠BOP=∠BQP．
又∵ OF平分∠MON，
∴∠AOB = ∠BOP．
∴∠AOB = ∠BQP．
又∵PQ=OA，
∴ △AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
（3））∵△AOB≌△PQB，
∴∠OAB=∠BPQ，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴，
∵∠AOB=30°，
∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为，
∴k=．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25、（1）见解析；（2）见解析，；（3）1.
【分析】(1)分别作出点B、C关于原点对称的点，然后连接即可；
(2)根据网格特点，找到AB的中点D，作直线CD，根据点D的位置写出坐标即可；
(3)连接BP，证明△BPC是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.
【详解】(1)如图所示，线段B1C1即为所求作的；
(2)如图所示，D(-1，-4)；

(3)连接BP，则有BP2=32+12=10，
BC2=32+12=10，BC2=42+22=20，
BP2+BC2=PC2，
∴△BPC是等腰直角三角形，∠PBC=90°，
∴∠BCP=45°，
∴tan∠BCP=1，
故答案为1.
【点睛】
本题考查了作图——中心对称，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切，熟练掌握相关知识并能灵活运用网格的结构特征是解题的关键.
26、 (1)m≤1且m≠0(2) m＝－2
【分析1）根据一元二次方程的定义和判别式得到m≠0且Δ＝(－2)2－4m≥0，然后求解不等式即可；
（2）先根据根与系数的关系得到x1＋x2＝，x1x2＝，再将已知条件变形得x1x2－(x1＋x2)＝，然后整体代入求解即可.
【详解】(1)根据题意，得m≠0且Δ＝(－2)2－4m≥0，
解得m≤1且m≠0.
(2)根据题意，得x1＋x2＝，x1x2＝，
∵x1x2－x1－x2＝，即x1x2－(x1＋x2)＝，
∴－＝，
解得m＝－2.
【点睛】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），
根的判别式：（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.