江苏省2010届高三数学强化训练(29)平面向量的综合应用.doc

江苏省2010届高三数学强化训练
平面向量的综合应用

一、填空题
1．在直角坐标系中，若点与动点满足. 则点P的轨迹方程是 ．
2．在△ABC中,O是中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值是 ．
3．自圆外一点向圆引两条切线,切点分别为A、B，则等于 ．
4．已知向量，若点A、B、C能构成三角形，则实数应满足的条件是 ．
5．设O为坐标原点，，点满足，则的最大值
为 ．
6．在凸四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=，且∠ADC=∠ABC=90°，则 ．
7．已知O是△ABC内一点，，则△AOB和△AOC的面积之比为 ．
8．已知向量，则向量与向量的夹角的取值范围是 ．
9．△ABC的外接圆圆心为O，两边上的高的交点为H，，则实数m= ．
x
y
10．若对n个向量，存在n个不全为零的实数使0，则称向量为线性相关，依次规定，能使“线性相关”的一组实数依次为 ．
11．已知向量，直线过点
且与向量垂直，则直线的方程为 ．
12．如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是
圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，
，则⊙C的方程为 ．
13．设，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积是 ．
14．O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足，
，则P点的轨迹一定通过△ABC ．（填外心、内心、重心、垂心之一）
二、解答题
15．已知是两个给定的向量，它们的夹角为θ，向量R)，求的最小值，并求此时向量b与c的夹角．

P
C
Q
B
A
16．如图，在Rt△ABC中，已知，若长为的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时的值最大？并求这个最大值．

17．已知，存在实数k和t，使得，，
且，若不等式恒成立，求的取值范围．

18．在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆O与轴相交于两点，圆内的动点P使成等比数列，求的取值范围．

19．已知抛物线C：，过点的直线（不与轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点，KA与KB的夹角为，求证： ．

20．椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P在椭圆上，且，求的最大值和最小值．

参考答案
一、填空题
1．在直角坐标系中，若点与动点满足. 则点P的轨迹方程是．
2．在△ABC中,O是中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值是 2 ．
3．自圆外一点向圆引两条切线,切点分别为A、B，则等于．
4．已知向量，若点A、B、C能构成三角形，则实数应满足的条件是．
5．设O为坐标原点，，点满足，则的最大值
为．
6．在凸四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=，且∠ADC=∠ABC=90°，则
．
7．已知O是△ABC内一点，，则△AOB和△AOC的面积之比为．
8．已知向量，则向量与向量的夹角的取值范围是．
9．△ABC的外接圆圆心为O，两边上的高的交点为H，，则实数m=
1 ．
x
y
10．若对n个向量，存在n个不全为零的实数使
0，则称向量为线性相关，依次规定，能使“线性相关”的一组实数依次为．
11．已知向量，直线过点
且与向量垂直，则直线的方程为．
12．如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是
圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，
，则⊙C的方程为．
13．设，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积是 1 ．
14．O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足，
，则P点的轨迹一定通过△ABC 内心 ．（填外心、内心、重心、垂心之一）
拓展：1．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，,，则P点的轨迹一定通过△ABC的 ．
2．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足
,，则P点的轨迹一定通过△ABC的 　　　 ．
3．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的 　 ．
4．点O是△ABC所在平面内一点，满足，则O是△ABC的 　　　　　 ．
二、解答题
15．已知是两个给定的向量，它们的夹角为θ，向量R)，求的最小值，并求此时向量b与c的夹角．
点拨：求的最小值，就是求的最小值，于是将问题转化为关于的二次函数，通过配方可以求出的最小值．
解：因为，所以

于是，当，即时， 取最小值，
此时=，所以，
此时向量与的夹角为90°．
变式1．已知向量，对任意，恒有，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的一个是 ③ ．
变式2．已知△ABC，若对任意，，则 90° ．
变式3．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为 90° ．
16．如图，在Rt△ABC中，已知，若长为的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时的值最大并求这个最大值．
点拨：一种思路是通过向量运算将朝着与的运算上靠拢；另一种思路是通过建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算．
解法一：，故，因为
所以
P
C
Q
B
A
=
=
故当，即时，的值最大，其最大值为0．
解法二：以直角顶点A为坐标原点，
两直角边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系．
设，则，
且，
．
所以．
因为
所以，所以，
故当故当，即时，的值最大，其最大值为0．
17．已知，存在实数k和t，使得，，
且，若不等式恒成立，求的取值范围．
点拨：本题具有一定的综合性，要注意揭示题中的隐含条件，然后根据垂直的条件列方程得到和的关系，再利用二次函数求出的最小值
解：由题意，有，∵ ∴，
∵，∴，
∴，∴
故时，有最小值，即．
18．在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆O与轴相交于两点，圆内的动点P使成等比数列，求的取值范围．
解：依题意，圆O的半径等于原点O到直线的距离，即
所以圆的方程为．
不妨设，且，由，得. 设，由成等比数列，得，即.
所以.由于点P在圆内，故
，由此得. 所以的取值范围为．
19．已知抛物线C：，过点的直线（不与轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点，KA与KB的夹角为，求证： ．
解：设的方程为，由消去，得，
设，则，

，所以即．
点评：向量具有代数形式与几何形式的双重身份，这使它成为知识的一个交汇点，本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合起来．
20．椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P在椭圆上，且，求的最大值和最小值．
解：（1）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程．
依据题意，设椭圆的方程为，则由,．
椭圆方程为．
（2）因为P在椭圆上，故　　

由平面几何知识得　，即，所以．
令，设，且，则．
所以函数在上是单调递减的，从而当时，原式取得最大值，当时
原式取得最小值．
点评　本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成．