中考数学专题讲义：解直角三角形(知识例题练习真题答案).docx

解直角三角形
知识点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
5、射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°

CD⊥AB
6、常用关系式
等积法可得：ABCD=ACBC

知识二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

知识三、锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即

2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°

sinα

cosα

tanα

1

cotα

1

4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；
（2）平方关系：
（3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

知识四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦cos，正切tan,余切 cot.

第二部分 典型例题
例1：等腰梯形的一个底角的余弦值是，腰长是6，上底是求下底及面积

例2：如图，在电线杆上离地面高度6m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．补充：试求AB的长度。

．

例3：如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60º，航行12海里后到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30º，如果渔船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险？

基础练习：

一、求下列各式的值
1、 2、

3、 4、

5、 6、

7、

二、选择
1、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值　 　 （　　）
（A） 都扩大2倍 （B） 都扩大4倍 （C） 没有变化 （D） 都缩小一半
3、在Rt△ABC中，已知边及∠A，则斜边应为　　　 （　　）
（A） （B） 　 （C） （D）
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为 （　　）
（A） 600　　 （B） 900　　　（C） 1200　　　（D） 1500
5、在△ABC中，A，B为锐角，且有 ，则这个三角形是 （ 　）
（A） 等腰三角形 （B） 直角三角形　（C） 钝角三角形　（D） 锐角三角形
6、有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为 （　　）
（A） 　　 （B） 　　 （C） 　 （D）
三、填空
1、 锐角A满足2 sin(A-15)=,则∠A= .
2、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，
且，AB = 4, 则AD的长为_______________
3、如图所示，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使倾斜角为300，且每阶高不超过20厘米，则阶梯至少要建 阶。
（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算；取1.732）
4、△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。

5、如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点。已知∠BAC=60,∠DAE=45,点D到地面的垂直距离DE=3m。求点B到地面的垂直距离BC.

运用尝试：
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.
（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（结果保留整数）

第三部分 真题分类汇编详解2007-2012
（2007）1．（本小题满分6分）
一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，tan63.5°≈2）

（2008）2．（本小题满分6分）
在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角为，最大夹角为．
请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中的长是多少米？（结果保留两个有效数字）
（参考数据：，，，）

（2009）3．（本小题满分6分）
在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．
（参考数据：，，，）

A
（2010）4．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）
（参考数据：）
解：
D
37°

C
48°

B

第4题图

（2011）5．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40º减至35º．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？(结果精确到0.1m．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)

（2012）6.（8分）

过关练习题
1. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
 A．12秒．  B．16秒．  C．20秒．  D．24秒．

2. 周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414，=1.73)
A.36.21 米 B.37. 71 米 C.40. 98 米 D.42.48 米
3. 在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60°方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距 m.

4. 某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为和，大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）
5. 右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 m．

6. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长． （参考数据：=1.73）

7. 某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度．

8. 放风筝是大家喜爱的一种运动。星期天的上午小明在大洲广场上放风筝。如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝线AD与水平线的夹角为30°。为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°。已知点A、B、C在同一条直线上，∠ACD=90°。请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，，，最后结果精确到1米）

9.(2011江苏南京，25，7分)如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

10、位于距离学校不远处最高的山顶上的电信发射台铁塔高30米，为了测量此小山相对学校的高度，在学校里操场上用自制的测仰角的仪器做测试实验，如图：在同一个地方测的仰角为α=45°，仰角β=60°，求此山的高。

11. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有一灯塔B，船继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东方向，求此时船与灯塔的距离。

附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分6分）
解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设BD＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴CD＝x ·tan63.5°．
在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，
∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°． ……………………………4′
∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即 ．
解得，x＝15．
答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近． …………………………6′
（2008）19．（本小题满分6分）
解：设CD为x ，
在Rt△BCD中，，
∵，∴． 2′
在Rt△ACD中，，
∵，
∴． 4′
∵，
∴． 5′
．
答：CD长约为1.14米． 　 6′
（2009）19．（本小题满分6分）
解：由题意知，，
∴，设，
在中，
，则；
在中，
，
则； 4分
∵，
∴．
，∴（米）．
答：古塔的高度约是39米． 6分
（2010）19．（本小题满分6分）
解：设CD = x．在Rt△ACD中，，
则，∴.
在Rt△BCD中，tan48° = ，
则，
∴. ……………………4分
∵AD＋BD = AB，∴．
解得：x≈43．
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米． ………………… 6分
（2011）19．（本小题满分6分）

（2012）20.（8分）

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