一元二次方程重点题型.docx

一元二次方程重点题型(全)
一元二次方程重点题型(全)

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第15页（共15页）

一元二次方程重点题型

一．选择题（共7小题)
定义
1．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有(　　）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0;③+3x﹣5=0;④﹣x2=0；⑤（x﹣1)2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3)=x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
一般形式
2．（2016春•荣成市期中）关于x的方程(m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1
3．（2016春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　）
A．6；2； 9 B．2;﹣6；﹣9 C．2；﹣6; 9 D．﹣2； 6；9
一元二次方程的解
4．(2016•山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为(　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
5．（2016•诏安县校级模拟)关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
6．（2016•济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0,若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（　　)
A．﹣2 B． C．﹣4 D．2
7．（2015•诏安县校级模拟）方程（x﹣12=2的根是(　　）
A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，

二．填空题（共12小题)
8．（2016春•长兴县月考)用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m)2=n的形式为　　　　　　．
9．（2016•罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米,则可列方程为　　　　．
（9题）（10题）
10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为　 　　．

11．（2016•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是　　　　　　．

11．（2016•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是　　　　　　．

12．(2016•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件．市场调查反映:每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元?

15．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现,每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价　　　　　　元时，商场日盈利可达到2100元．

13．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有　　　　　　名．
16．（2015•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个,则每个支干长出的小分支数目为　　　　 　　．

17．（2015春•乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为　　　　　　cm．

18．(2015秋•洪山区期中)卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度,第三轮传染后，患流感人数共有　　　　　　人．

19．(2015秋•临汾校级月考)如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为　　　　　　m与　　　　　　m．

　三．解答题（共11小题)
20．（2015春•沂源县期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方) （2）2x2﹣2x﹣5=0（公式） ①x2﹣2x﹣8=0（因式分解)

②（x﹣4）2=9（直接开） ③2x2﹣4x﹣1=0（公式) ④x2+8x﹣9=0（配方）

22．（2015春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：

(1）x2﹣6x=7 （2）2x2﹣6x﹣1=0 (3）3x（x+2）=5(x+2）

23．（2016•唐河县一模)已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．

24．(2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

25．（2016•信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．
（1）求证:不论k取何实数,该方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．

26．（2016•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．
（1）若原方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．

27．（2016•平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
(1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

28．（2016•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣(m+2）x+2=0
(1）求证：不论m为何值，方程总有实数根;
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

29．（2015秋•余干县校级期末)已知x2+y2+6x﹣4y+13=0,求（xy）﹣2．

30．（2016•洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的,上、下边衬等宽，左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据:≈2.236）．

2016年06月03日2456000759的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题(共7小题）
1．（2016•凉山州模拟）下列方程中,一元二次方程共有（　　）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0;③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1)2+y2=2；⑥（x﹣1)（x﹣3)=x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0,没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x﹣5=0不是整式方程,不符合一元二次方程的定义;
④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义;
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数,不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2,方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．

2．(2016春•荣成市期中)关于x的方程(m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1
【解答】解:由题意得：m2﹣2m﹣1=2,m﹣3≠0，
解得m=±1．
故选：B．

3．(2016春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　)
A．6；2； 9 B．2;﹣6;﹣9 C．2;﹣6; 9 D．﹣2； 6；9
【解答】解:∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，
∴二次项系数为2,一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．
故选B．

4．(2016•山西校级模拟)已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b，
原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，
即a(x+1）(x﹣1）+b（x﹣1）=0,
∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，

∴x=1为原方程的一个根，
故选B．

5．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0,
解得：a=﹣1．
故选B．

6．（2016•济宁校级模拟)一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0,则它的一个根是（　　）
A．﹣2 B． C．﹣4 D．2
【解答】解:将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（﹣2)2+b×(﹣2）+c=4a﹣2b+c，
∵4a﹣2b+c=0，
∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．
故选A．

7．（2015•诏安县校级模拟)方程（x﹣1）2=2的根是（　　）
A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．,
【解答】解:x﹣1=±
∴x=1±．
故选C．

二．填空题（共12小题）
8．（2016春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为(x+m）2=n的形式为　（x﹣3)2=2　．
【解答】解：移项,得
x2﹣6x=﹣7，
在方程两边加上一次项系数一半的平方得，
x2﹣6x+9=﹣7+9，
(x﹣3）2=2．
故答案为：（x﹣3)2=2．

9．（2016•罗平县校级模拟）如图，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米，则可列方程为　（100﹣x)（80﹣x）=7644　．

【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）(80﹣x）=7644,
故答案为：（100﹣x）（80﹣x）=7644．

10．（2016•丹东模拟)某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x,则列出关于x的方程是　16（1﹣x）2=14　．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×(1﹣x）(1﹣x）=14，
整理得：16(1﹣x）2=14．
故答案为：16（1﹣x）2=14．

11．（2016•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是　289（1﹣x）2=256　．
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289(1﹣x）2,
即方程为289（1﹣x）2=256．
故答案为：289（1﹣x）2=256．

12．（2016•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
【解答】解：设每件降价为x元，
则（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
得x2﹣5x+4=0，
解得x=4或x=1，
要使顾客实惠,则x=4，
定价为60﹣4=56元．
答：应将销售单价定位56元．

13．(2016•南岗区模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有　10　名．
【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得：
x(x﹣1）=45，
即：x2﹣x﹣90=0，
解得：x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去）
故参加这次聚会的同学共有10人．
故答案是：10．

14．（2015•平定县一模）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图）,要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为　（35﹣2x)（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0)　．

【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米,宽为(20﹣x）米，
∴可列方程为(35﹣2x）（20﹣x)=600（或2x2﹣75x+100=0）,
故答案为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．

15．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价　20　元时,商场日盈利可达到2100元．
【解答】解:∵降价1元，可多售出2件，降价x元,可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，
由题意得：（50﹣x)（30+2x）=2100,
化简得：x2﹣35x+300=0,
解得:x1=15，x2=20,
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
故答案为:20．

16．(2015•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为　9　．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个,
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
故答案为：9

17．（2015春•乳山市期末)如图,一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,若盒子的容积是240cm3,则原铁皮的宽为　11　cm．

【解答】解:设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得
3（2x﹣6）（x﹣6)=240
解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去)
答：这块铁片的宽为11cm．

18．（2015秋•洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有　1000　人．
【解答】解:设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有(1+x)+x（1+x)个人感染，
那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，
整理得,x2+2x﹣99=0,
解得x=9或﹣11，
x=﹣11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
第三轮传染后，患流感人数共有：100+9×100=1000．
故答案为1000．

19．(2015秋•临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m)并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为　10　m与　13　m．

【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，
依题意得(32﹣2x+1）x=130，
2x2﹣33x+130=0，
(x﹣10）（2x﹣13）=0，
∴x1=10或x2=6。5，
当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；
当x2=6。5时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去．
答：仓库的长和宽分别为13m，10m．
故答案为:10，13．

三．解答题（共11小题）
20．（2015春•沂源县期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，
配方得：x2﹣4x+4=5,即（x﹣2)2=5，
开方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
（2）这里a=2，b=﹣2,c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x==．

21．（2015•金堂县一模用规定的方法解下列方程
①x2﹣2x﹣8=0（因式分解法）
②（x﹣4）2=9（直接开平方法)
③2x2﹣4x﹣1=0（公式法）
④x2+8x﹣9=0(配方法）
【解答】解：①∵x2﹣2x﹣8=0，
∴（x+2)（x﹣4）=0，
∴x+2=0或x﹣4=0，
∴x1=﹣2，x2=4;
②∵(x﹣4）2=9,
∴x﹣4=±3,
∴x1=1，x2=7；
③∵2x2﹣4x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=16+8=24，
∴x===1±,
∴x1=1﹣，x2=1+;
④∵x2+8x﹣9=0，
∴x2+8x+16﹣16﹣9=0，
∴（x+4）2=25，
∴x+4=±5，
∴x1=1，x2=﹣9．

22．（2015春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程:
（1）x2﹣6x=7
（2）2x2﹣6x﹣1=0
（3）3x（x+2）=5（x+2）
【解答】解：（1）方程变形得:x2﹣6x﹣7=0，
分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0,
解得:x1=7,x2=﹣1;
（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1，
∵△=36+8=44，
∴x==；
(3)方程变形得：（3x﹣5）（x+2）=0，
解得：x1=,x2=﹣2．

23．（2016•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程(m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
(2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【解答】解：（1)根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2)(m+3）＞0，
解得m＜6且m≠2；

（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，
∴（3x+4）（x+2）=0,
∴x1=﹣，x2=﹣2．

24．(2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2)对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
【解答】解：（1）∵方程没有实数根，
∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）］2﹣4m2=8m+4＜0，
∴m＜﹣，
∴当m＜﹣时，原方程没有实数根；

（2）由（1)可知，当m≥﹣时,方程有实数根，
当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，
设此时方程的两根分别为x1，x2，
解得x1=2+，x2=2﹣．

25．(2016•信阳一模)已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．
（1）求证:不论k取何实数，该方程总有实数根．
(2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】(1）证明：△=(k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根;
（2)解：当△ABC的底边长为2时,方程有两个相等的实数根，
则（k﹣3）2=0，
解得k=3，
方程为x2﹣6x+9=0，
解得x1=x2=3，
故△ABC的周长为：2+3+3=8；
当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2,
方程为x2﹣5x+6=0，
解得，x1=2，x2=3，
故△ABC的周长为：2+2+3=7．

26．（2016•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2)若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．
【解答】解：（1）由题意知,m﹣1≠0，所以m≠1．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4（m﹣1)×（﹣3）=12m﹣8＞0，
解得：m＞，
综上所述，m的取值范围是m＞且m≠1；

(2）把x=1代入原方程,得:m﹣1+2﹣3=0．
解得:m=2．
把m=2代入原方程，得：x2+2x﹣3=0,
解得：x1=1，x2=﹣3．
∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是﹣3．

27．（2016•平武县一模）已知关于x的方程kx2+(2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
（2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1）当k=0时，方程变形为x+2=0,解得x=﹣2；
当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4•k•2=（2k﹣1）2，
∵（2k﹣1）2≥0，
∴△≥0,
∴当k≠0时，方程有实数根,
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2)存在，
设方程两根为x1、x2，
则x1+x2=﹣,x1x2=，
∵+=2，即=2,
∴=2，即﹣=2,
解得:k=﹣，
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．

28．(2016•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m2）x+2=0
(1）求证：不论m为何值,方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根．
【解答】（1）证明：当m=0时,方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；
当m≠0时,△=（m+2)2﹣4m•2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，
所以不论m为何值,方程总有实数根；
（2）设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=,2t=，
则2+t=1+2t，解得t=1,
所以m=1，
即m的值位1，方程的另一个根为1．

29．（2015秋•余干县校级期末)已知x2+y2+6x﹣4y+13=0,求（xy）﹣2．
【解答】解：∵x2+y2+6x﹣4y+13=0，
∴（x+3）2+（y﹣2)2=0,
∴x+3=0，y﹣2=0，
∴x=﹣3，y=2，
∴（xy)﹣2=(﹣3×2）﹣2=．

30．（2016•洪泽县一模）如图,要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据:≈2.236）．

【解答】解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，
则(40﹣8x)（30﹣6x）=×40×30．
整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2，
∴x1≈0。53，x2≈9。47（舍去）,
答：上、下边衬宽均为2。1cm，左、右边衬宽均为1。6cm．
解二：设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x×3x=×40×30，
解得x1=4，x2=﹣4（舍去)，
∴上、下边衬宽为20﹣8≈2.1，左、右边衬宽均为15﹣6≈1。6,
答：上、下边衬宽均为2.1cm,左、右边衬宽均为1.6cm．