1、实验三圆周率的近似计算实验三圆周率的近似计算 实验目的：通过对割圆术、韦达公式、级数加实验目的：通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和计算实验，提高学生对极限和级数收敛性及收敛速计算实验，提高学生对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识。度的综合认识。1一、数值积分法22.2.梯形公式梯形公式3.3.辛普森（辛普森（Simpson）公式）公式左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中矩形公式中矩形公式1.1.矩形公式矩形公式3二、蒙特卡罗算法（Monte Carlo）4三、割圆术56其他数学家的工作其他数学家的工作:
2、7四、韦达公式四、韦达公式推导过程：推导过程：8那么那么9由归纳法由归纳法（重根号）重根号）10由公式由公式(1)(1)和和(2)(2)可得韦达公式可得韦达公式思考思考能否利用韦达公式构造一种迭代算法？能否利用韦达公式构造一种迭代算法？11五、利用级数计算1.1.莱布尼兹级数莱布尼兹级数(1674(1674年发现年发现)122.2.欧拉的两个级数欧拉的两个级数(1748(1748年发现年发现)莱布尼兹级数和欧拉的这两个级数的收敛速度莱布尼兹级数和欧拉的这两个级数的收敛速度较慢。较慢。下面给出加速算法。下面给出加速算法。13由泰勒级数由泰勒级数即为莱布尼兹级数即为莱布尼兹级数令令14故故Mach
3、in公式公式15由此原理，可以得到由此原理，可以得到高斯公式高斯公式斯托梅尔公式斯托梅尔公式类似公式类似公式1617六、拉马努金(Ramanjan)公式18改进的计算公式改进的计算公式Chudnovsky该级数每增加一项，大约可以提高该级数每增加一项，大约可以提高1414位小数位小数的精度。的精度。1999年年9月，日本月，日本东东京大学教授金田康正和其京大学教授金田康正和其助手用助手用时时37小小时时21分，分，计计算出了算出了 的的2061.5843亿亿位小数，位小数，检验检验用用时时46小小时时7分分钟钟。19七、迭代方法七、迭代方法迭代误差有估计式迭代误差有估计式20迭代误差有估计式迭
4、代误差有估计式21练习题练习题1.1.利用勾股定理证明割圆术一节中公式利用勾股定理证明割圆术一节中公式2.2.使用欧拉公式使用欧拉公式计算出的前计算出的前3030位小数位小数和和223.3.使用高斯公式使用高斯公式计算出的前计算出的前5050位小数位小数和斯托梅尔公式和斯托梅尔公式4.4.使用公式使用公式的前的前 项计算的值对项计算的值对 分别列出计分别列出计算误差算误差 计算时设计算时设$MaxPrecisiion=10000.235.5.利用利用Bailey迭代公式迭代公式迭代迭代3 3次，计算次，计算 的近似值，观察近似效果的近似值，观察近似效果使用误差估计式使用误差估计式 打印迭代次数和打印迭代次数和迭代误差界的数据表迭代误差界的数据表 24
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