因式分解培优题.doc

a2－b2=（a+b）（a－b）;
　　(2)a2±2ab+b2=（a±b）2；
　　(3）a3+b3=（a+b)（a2－ab+b2）；
　　（4)a3－b3=(a－b)（a2+ab+b2）．
　　下面再补充几个常用的公式:
　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c)2；
　　(6）a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)（a2+b2+c2－ab－bc－ca);
　　(7）an－bn=（a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1）,其中n为正整数；
　　(8)an－bn=（a+b）（an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1）,其中n为偶数；
　　(9）an+bn=(a+b）(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1），其中n为奇数．
　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例题1  分解因式：
（1)－2x5n－1yn+4x3n－1yn+2－2xn－1yn+4；
（2)x3－8y3－z3－6xyz;　
（3）a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；
（4)a7－a5b2+a2b5－b7．
例题2  分解因式：a3+b3+c3－3abc．

例题3  分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

对应练习题  分解因式:

(2) x10+x5－2

(4) (x5+x4+x3+x2+x+1）2－x5
（5） 9（a-b)2+12(a2-b2)+4（a+b）2
(6） （a—b)2-4（a-b-1）
（7）(x+y）3+2xy(1－x－y)－1

二、分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
例题1  分解因式:
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.

例题2  分解因式：

对应练习题  分解因式:
1、               2、

（二）分组后能直接运用公式
例题3  分解因式：

例题4  分解因式：

对应练习题  分解因式:
3、             4、

综合练习题  分解因式：
（1）             （2）

（3）   （4)

（5)              （6）

（7)         （8）

（9)       （10）

(11）      （12）

（13）       （14）

(15)         （16）

（17）

三、十字相乘法
1、十字相乘法
(一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解.
特点：(1）二次项系数是1；
     （2）常数项是两个数的乘积；
(3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例题1  分解因式：

例题2  分解因式:

对应练习题  分解因式：
（1)      （2）         (3）

(4）         (5）           (6）

(二）二次项系数不为1的二次三项式-—
条件：（1)                            
（2）                            
（3)              
分解结果：=
例题3  分解因式:

对应练习题  分解因式：
（1)            （2）

(3）          （4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式
例题4  分解因式：
分析：将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
                       1      8b
                       1      －16b  
                      8b+(－16b）= －8b

对应练习题  分解因式：
(1）          （2）          （3)

（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例题5  分解因式：         例题6  分解因式：

对应练习题  分解因式:
（1)       （2)

综合练习题  分解因式：
(1）                     （2)

（3）            （4)

(5）                （6）

（7）       (8)

（9)      （10）

思考:分解因式：

2、双十字相乘法
定义:双十字相乘法用于对型多项式的分解因式.
条件：(1)，，
（2）,，
即：                                

，，
则

例题7  分解因式: （1）
               (2）
解：（1)
应用双十字相乘法：                    

,,
∴原式=
 （2)
应用双十字相乘法：                    

,，
∴原式=
对应练习题  分解因式：
（1)           （2）

3、十字相乘法进阶
例题8  分解因式：

例题9  分解因式：

四、主元法
例题  分解因式：    

对应练习题  分解因式：
（1)          (2）

(3)         (4）

五、换元法
　  换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例题1  分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2)－12．

例题2  分解因式：

例题3  分解因式：  
分析：型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

例题4  分解因式：。

例题5  分解因式：（x2+3x+2)（4x2+8x+3)－90．

例题6  分解因式:
提示：可设，则.

例题7  分解因式：

例题8  分解因式：

例题9  分解因式：

例题9对应练习  分解因式:

例题10  分解因式：(x2+xy+y2）2－4xy(x2+y2）．
分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

例题11  分解因式：
分析:此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

例题11对应练习  分解因式:6x4+7x3－36x2－7x+6．
例题11对应练习  分解因式：

对应练习题  分解因式：
（1）x4+7x3+14x2+7x+1            
(2）
（3）        
（4）
（5)            
(6）        
（7）            
（8）(x+3)（x2－1)(x5)－20
(9）      
（10） (2x2－3x+1)2－22x2+33x－1
(11）　　  
(12）    
（13）

六、添项、拆项、配方法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例题1  分解因式：x3－9x+8．

例题2  分解因式：
　　（1)x9+x6+x3－3；
　　(2)(m2－1）（n2－1）+4mn;
　　（3)（x+1）4+（x2－1）2+（x－1）4；
　　(4)a3b－ab3+a2+b2+1．

对应练习题  分解因式：
（1）                  （2)

（3)                  (4)

（5）             (6）
（7)x3+3x2－4                 （8)x4－11x2y2+y2
(9）x3+9x2+26x+24             （10）x4－12x+323
(11)x4＋x2＋1；                  （12）x3－11x＋20；        
(13)a5＋a＋1                      (14）
(15)

七、待定系数法
例题1  分解因式：

分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为

对应练习题  分解因式:
（1)               (2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20

（3)              （4）

例题2  （1）当为何值时，多项式能分解因式,并分解此多项式。
    （2)如果有两个因式为和，求的值.

（3)已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式.
（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.

八、余式定理（试根法）
1、的意义：已知多项式，若把用带入所得到的值，即称为在=的多项式值，用表示.
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式除以所得的商式为,余式为,则：=×+
3、余式定理:多项式除以之余式为；多项式除以之余式。
例如：当 f(x）=x2+x+2 除以 (x – 1) 时,则余数=f（1）=12+1+2=4。
当除以时,则余数=。
4、因式定理：设，，为关于的多项式，则为的因式;为的因式.
整系数一次因式检验法：
设f(x)＝为整系数多项式,若ax–b为f(x)之因式（其中a ， b 为整数 , a0 ， 且a , b互质），则
（1 （2）( a–b )
例题1 设，试问下列何者是f（x）的因式?
（1）2x–1 ，（2） x–2，(3） 3x–1,(4） 4x＋1，(5) x–1，(6) 3x–4

例题2  把下列多项式分解因式:
（1）
(2)  
（3） 　
（4)
(5)

课后作业
分解因式：
（1）x4＋4
(2)4x3－31x＋15                
（3)3x3－7x＋10　                  
（4）x3－41x＋30
（5）x3＋4x2－9
（6）x3＋5x2－18
（7）x3＋6x2＋11x＋6
（8）x3－3x2＋3x＋7
（9）x3－11x2＋31x－21
（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987                                              
（11）
（12）
（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y3              
（1412)x3－9ax2＋27a2x－26a3 　          
（15）
（16）
（17)
（18）
（19)x4＋x2y2＋y4
（20）x4－23x2y2＋y4    
（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b）＋2
（22)
（23）。
（24)
(25）
(26）
（27）

（28)x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz
（29）

因式分解的应用
1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方。
2、2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数),证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．
3、已知可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.
4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数。
5、求证：能被45整除。
6、求证：14+1能被197整除．
7、设4x－y为3的倍数，求证：4x+7xy－2y能被9整除．
8、已知=7，求整数x、y的值．
9、求方程的整数解。
10、求方程xy－x－y＋1=3的整数解．
11、求方程4x2－4xy－3y2=5的整数解．
12、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99,则a=______，b=_______ 。  
13、 计算下列各题:
    （1)23×3。14＋5.9×31.4＋180×0。314；
    (2）．
14、求积的整数部分？

15、解方程:(x2＋4x）2－2(x2＋4x)－15=0
16、已知ac＋bd=0，则ab(c2＋d2)＋cd（a2＋b2）的值等于___________．
17、已知a－b=3，  a－c=， 求(c—b)［（a－b)+（a－c)（a－b)+(a－c）]的值．
18、已知，求的值．
19、若满足，计算。
20、已知三角形的三边a、b、c满足等式，证明这个三角形是等边三角形．
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