1、
板块三.数学归纳法
典例分析
题型一：数学归纳法基础
【例1】 已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
【例2】 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立
【例3】 某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也
2、成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立
【例4】 利用数学归纳法证明
“ ”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 （ ）
A B C D
【例5】 用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）
A. 1 B. C. D.
【例6】 用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需
3、乘的代数式是（ ）
A.2k+1 B. C. D.
【例7】 用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
【例8】 设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是
【例9】 用数学归纳法证明“”（）时，从 “到”时，左边应增添的式子是__ __。
【例10】 用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是
【例11】 是否存在常数是等式对
4、一切成立？证明你的结论。
题型二：证明整除问题
【例12】 若存在正整数，使得能被整除，则=
【例13】 证明：能被整除
【例14】 已知数列满足，当时，．
求证：数列的第项能被3整除．
【例15】 用数学归纳法证明：能被9整除．
【例16】 设是任意正整数，求证：能被6整除．
【例17】 用数学归纳法证明：对于一切正整数，能被264整除．
【例18】 (n≥4且n∈N*)个正数排成一个n行n列的数阵：
第1列 第2列 第3列 …… 第n列
第1行 ……
5、第2行 ……
…… …… …… …… …… ……
第n行 ……
其中(1≤i≤n，1≤k≤n，且i，k∈N)表示该数阵中位于第i行第k列的数.已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且=8，=20.
(Ⅰ)求和；
(Ⅱ)设，证明：当n为3的倍数时，()能被21整除.
题型三：证明恒等式与不等式
【例19】 证明不等式（）
【例20】 用数学归纳法证明：，.
【例2
6、1】 证明：，.
【例22】 用数学归纳法证明：．
【例23】 是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论
【例24】 在数列中，，
（1）写出；（2）求数列的通项公式
【例25】 用数学归纳法证明：
【例26】 用数学归纳法证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ） ；
【例27】 对于的自然数，证明：．
【例28】 已知，求证：对任意大于1的自然数，．
题型四：数列中的数学归纳法
【例29】 设均为正数，且，求证：当n≥2的时候，
≥
【例30】 已知数列中，，求数列的通项公式.
【例31】 在数列中，，是它的前项和，当时，成等比数列，求数列的通项公式
7、．
【例32】 设整数数列满足，，，且．证明：任意正整数， 是一个整数的平方．
【例33】 由正实数组成的数列满足：．证明：对任意，都有．
【例34】 实数数列定义如下，已知
⑴证明：对任意，；
⑵问有多少个不同的，使得．
【例35】 两个实数数列、满足：，
证明：时，．
【例36】 在数列中，若它的前项和．
⑴计算的值；
⑵猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
【例37】 已知函数，设数列满足，，数列满足，．用数学归纳法证明．
【例38】 设数列，，……中的每一项都不为．证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有．
题型五：其他类型题
【例39】 已知函数，满足条件：①；② ；
③ ；④当时，有.
(1) 求，的值；
(2) 由，，的值，猜想的解析式；
(3) 证明你猜想的的解析式的正确性.
【例40】 数列，
（Ⅰ）是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在求 的值，若不存在，说明理由。
（Ⅱ）设 ，求证：时，
【例41】 已知数列满足：，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，试求数列的通项公式；
（Ⅲ）对于任意的正整数，试讨论与的大小关系．
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