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运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例
摘要：当我们从数学的本质特点和学生的认知特点出发，运用“几何画板”这种工具，通过数学实验这种教与学的方式，去影响学生数学认知结构的意义建构，帮助学生本质地理解数学，培养学生的数学精神、发现与创新能力时，我们就把握住了数学教育的时代性和科学性。
关键词：素质教育 新课程改革 信息技术与课程的整合 数学实验室
      一 、运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例
      1．有效创设动态情境，激发学生学习兴趣
      几何画板能简单、准确、动态地表达几何图形和现象，这就为学生学习知识、观察思维提供了一个良好的场所和环境。在课堂中数学老师可以展示一些与学习内容关系非常密切的实例，使学生观其形，闻其音，丰富学生的感观，使学生自然地深入教师精心设计的情景中，不知不觉地思索着，学习着。如用几何画板制作一辆公路上运动的自行车，并请学生思考图中包含了哪些图形，在学生思考的过程中，双击“动画”按钮，使屏幕上的自行车往返运动。还可利用“轨迹跟踪点”的功能演示出自行车行进时车轮上一点、脚蹬上一点或车把上一点形成的轨迹，来说明“点动成线”的事实。这辆平常的自行车在数学课上出现，给刚步入几何大门的孩子们带来了欢笑和几分神奇。就在这愉悦的气氛中，他们迈进了平面几何的门槛，点、直线、线段、圆等几何图形已从他们最熟悉的现实世界中抽象出来了。而这种抽象是他们用眼观察，同时是自己亲身感受到的，激发了他们学习几何的动机，点燃了他们学习的热情。  
      2．利用几何画板辅助教师讲授基础知识，帮助学生理解基本概念，帮助概念解析
      概念是一事物区别于它事物的本质属性，概念来源于生活。在教学中讲授或学习概念常常需要借助图形进行直观性表述。几何中的概念，如“中点”，如果离开了具体的图形的帮助，那么其本质含义就无法揭示和表现出来，因而，图形成为说明概念的“形态式”语言。平面几何教学难，难在于学生不能把概念转换为图形语言，从图形中理解抽象的概念，学习也就望而却步。为此，在几何教学中，要善于利用几何画板强大的图形功能，使概念有具体直接的形象。例如用几何画板教学“三线八角”时，可以先让学生观察课件中八个角之间的位置关系，在学生观察思考的过程中，双击“同位角”按钮，几何画板能把图中的四组同位角从图中自动地拉出，单击鼠标，显示在屏幕上的四组同位角又分别返回原图中去；内错角、同旁内角类似，起到了快速、直观的效果。更重要的是还可以拖动其中任何一条直线使图形发生变化，来说明这些角的位置关系并未发生变化，从而使学生进一步认识其质的规定性，深化了对概念的理解，提高了课堂教学的效率。
       例如反比例函数的图像的特点，学生不好把握，什么叫“与坐标轴无限接近，但永不相交”？为了帮助学生理解双曲线的特点，可以利用几何画板来形象地展示这一特点。如要作y= 图像，需要首先建立坐标系，在x轴上取点a，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出 ，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点b（x, y），最后依次选中点a、b，选择“构造”菜单中的“轨迹”，完成双曲线的绘制。然后演示拖动图中的点a向右运动，让学生观察点的运动和数据的变化，问：当x值越来越大，y是如何变化的？学生会看到随着点a向右运动，点a与x轴的距离越来越小。教师趁机再问：图像上的点会与两轴相交吗？再仔细观察双曲线与坐标轴的关系，猜想的结果是不会相交，教师再引导分析，找出真正的原因在于x和y不能为0。

       通过这样的演示，学生对双曲线的特点有了更加直观的感受和深刻的印象，同时更进一步帮助学生认识了函数和图像的关系。最后师生共同总结双曲线特点：无限接近坐标轴，但永不相       交。                                                                     
       通过几何画板的动态演示，学生在变化的点、变化的横纵坐标中去寻找规律，去理解自变量和函数值这两个变量之间的关系，突破了传统教学无法展示点的变化，从而一切只能靠想象，而初一的学生抽象思维能力又比较弱的现实。通过几何画板的演示，将抽象的思维过程形象地展示出来，学生很容易接受。
      3．演示过程，化抽象为形象
      教师要在教学过程中结合课件的使用，将有潜在意义的学习内容同学生已有认知结构联系起来，融会贯通，学生在学习新知识的过程中，积极主动地从原有的知识结构中提取出最易于与新知识联系的旧知识，这样，新旧知识在学生的头脑中会发生积极的相互联系和作用，即“同化”，导致原有认知结构的不断分化和重新组织，使学生获得新知识。
       例如在讲解"圆柱的侧面展开图"这部分内容时，在传统的课堂教学中，比较典型的处理教材方法是：教师直接讲解圆柱是怎样形成的，再在黑板上用粉笔画出基本的演示图形，这种教学忽视了数学图形概念的形成过程，淡化了数学的本质特征，不利于学生对数学图形概念的理解。因此，在这学期学习这部分知识时，我特地应用下面的课件：

      双击动画按钮就可以清楚、简捷地将圆柱的形成和侧面展开图的轨迹动态展示出来，并用色彩进行轨迹和图形优化，通过演示让学生清楚地看见圆柱的形成和侧面展开过程，对学生理解圆柱的形成和侧面展开图的特征带来了极大地帮助，学生不仅牢固掌握了书本上本节的内容，而且在问题的解决过程中涉及了多个有关知识点：矩形的面积、圆的面积、圆的周长等，这些内容也得到了复习、应用和巩固，起到了以点带面的作用，对知识体系的脉络把握更加准确，既学习并掌握了新知识，又复习、应用、巩固了与之相关的旧知识，同时还活跃、拓展了学生的思维，在教学过程中体现了学生的主体作用，把学习的主动权真正交给了学生。                                                              
       4．利用几何画板给学生提供猜想和探索的技术环境
       猜想是在没有现存结论情况下根据问题的条件推断可能存在的结果的一种直觉思维形式。利用几何画板可以为学生探究性地建构知识体系提供环境，为学生进行猜想提供技术平台，从而让学生在探索中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新。如要解决“线段垂直平分线上的点有些什么特性？”这个问题。教师可以让学生根据问题已知作出图形来进行探索，提出猜想。如：先作一条线段ab，再作ab的中点c，过中点c作ab的垂直平分线de。若学生在de上取一点p，测量pa、pb的值，拖动点p，观察线段pa、pb测量值的变化，那学生肯定会猜想出“pa＝pb”这样的结论。在此基础上，教师再强调“任何结论都必须经过严格的推理论证方可确信其正确性”，自然地把教学引导向使用数学符号语言表述结论，并对结论加以证明的方向上。
      5．利用几何画板的绘图功能解决一些教学棘手问题
       ① 解决立体图形的展开图问题
      初中涉及的初步的立体几何知识，教学时令我们教师头疼，巧妙利用几何画板可以形象的展现几何体的构成，也能培养学生的空间想象能力。通过《几何画板》的动态展示从立体图形到平面图形的转化，还可以让学生从不同角度观察几何体的形状，同时让学生体会到利用平面几何知识可以解决立体图形的计算，培养了学生的转化思想，发展了学生的空间观念，能够有趣味性技巧性和知识性与一体，更能激发学生的求知欲和兴趣。如下图，利用几何画板的3d功能完美展现正方体的展开。

        （当拖动点d时就可以展现正方体展开的动画）
         ②在讲到图形的旋转时我设计了这样的一个图形的动画，点击旋转按钮在几何画板里整个图案都会随之旋转。

          ③几何画板可以有效地帮助我们解决折叠问题。

        当点击演示折叠按钮时，会显示折叠的动画，学生在观察动画的过程中和容易找到相等的线段、相等的角从而找到解题的思路和方法，这样会大大降低这样的题的难度。 
      ⒍ 用《几何画板》的绘图功能画图找规律
      由于几何画板具有极高的自由度和易操作性，便于学生在直观、动态的情景中快速观察、了解图形的联系和变化，这样势必大大节约了传统教学方式的烦琐与笨拙所消耗的时间，真正实现素质教育的减负诉求。
       实验（1）：让学生用《几何画板》软件画一个任意三角形，再画出它的三条中线，问：你发现了什么规律？然后随意改变所画三角形的形状，看看这个规律是否改变，三角形的三条高有这个规律吗？三条角平分线呢？
      实验（2）： 用《几何画板》软件画任意一个三角形，量出它的各内角并计算它们的和。然后随意改变所画三角形的形状，再量出变化后的各内角，计算内角和。由此，你能得出什么结论？
      对于四边形的内角和定理、邻补角的关系、对顶角的关系、垂线段的性质、平行线的性质等，可类比以上方法进行验证。
      ⒎ 利用几何画板有效探索几何图形三种变换的性质
      初中阶段主要学习三种全等变换：平移、轴对称、旋转，一种相似变换：位似。这是新课改加强的部分，帮助学生从动态变换的角度去理解平面几何。而几何图形的变换教学是利用传统教学方式比较薄弱的地方。好多学生由于在实际生活中对空间与图形的动手操作的机会比较少，因此在学习这一阶段的内容缺少感性的认识，所以学起来很吃力。我们可以充分地利用《几何画板》为学生大量地展示几何图形的三种变换、空间图形的观察与抽象的例子，不断地提升学生“空间与图形”的能力，从而真正地实现“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。” 
       如图，利用但用几何画板就轻易实现图形的平移、旋转和轴对称。    

         又如，在讲解《三角形全等的条件》时，设计这样一个问题去理解“全等变换”：
         如图，ab=de，请画出与⊿abc全等的⊿def。
        同学通过反复尝试、互相补充画出了四个三角形与⊿abc全等，如图。 

       师：大家通过尝试得到了这四个三角形，那么现在我们来考虑一下它们是不是有章可循的呢？图中的绿色三角形是如何得到的？
     （1）连接ad，在线段ad上取点m，依次选中点a、m，选择“变换”菜单下的“标记向量”，然后选中⊿abc，选择“变换”下的“平移”，按标记的向量平移。
师拖动点m，三角形开始平移，引导学生观察三角形动态的平移过程。

生：图中的绿色三角形是通过平移得到的。
师：图中的红色三角形是如何得到的呢？
生：将图中的绿色三角形翻折得到的。
（2）双击de，选中图中的绿色三角形，选“变换”下的“反射”，作出红色三角形。

   师：图中的粉红色三角形是如何得到的呢？
（3）选中de的中点，双击它，选择红色三角形，按标记的角度旋转180°。

      教师引导学生观察三角形旋转的过程，
      生：粉红色三角形是由红色三角形绕de中点旋转180°得到的。
     师：黑色三角形是如何得到的呢？
     生：由粉色三角形翻折得到的。
     通过几何画板动态的演示平移、旋转的过程，形象生动的反映了各种变换，加深了学生对全等变换的理解，同时也提示学生学会用全等变换的眼光去认识和看待图形。
      8．利用《几何画板》绘制函数图像并动态演示函数的性质
     几何画板为实现函数图像、图形的动态变化的信息化、全方位揭示问题的实质提供了可能。在初中数学教学内容里，函数是教学的重点也是难点。这部分内容理论性强，比较抽象，难度较大。但是利用几何画板，一切都变得简单容易。
      如探索二次函数的性质一课，在以前的教学中，对于二次函数这部分知识的讲解，我通常是这样处理：要求学生先取5个以上的点在练习本上画出图象，一个同学在黑板上进行同样操作，然后再研究二次函数的性质。由于画好一个图象所需时间较长，先完成的学生往往无所事事，并且这种方法只是研究了某几个特殊函数的性质，缺乏普遍性，由于缺少图形产生的过程，对学生理解图形、分析图形和解决问题都会带来理解障碍，既浪费时间，效果也不太理想，还无法吸引学生的注意力。
       在新教材教学中，我对于此处的知识作了部分调整，把信息技术与数学教学有效整合，将信息技术融入教学中，在课堂中作了如下的课件：      

       通过改变a、b、c的值就可以得到相应二次函数的图象，在课堂上可以生动地演示抛物线的形成过程，把二次函数的一般规律形象地展现出来，并且通过《几何画板》的度量功能在画面上显示a、b、c、x、y的度量结果，不难得出a、b、c值的改变与抛物线的变化关系。学生既可以看到平滑优美的图象产生过程，也可以利用《几何画板》的度量功能和计算功能在画面上进行猜想、归纳，这种具有建构意义的动态生成过程，极大地提高了学习效率。
      所以，利用《几何画板》在剖析问题的实质时，可以使学生清楚了解要解决问题的关键所在，与传统教学相比较，它能形象直观的反映问题，更进一步地引导学生进行数学的实验和探究，培养学生大胆猜测、小心求证的开拓精神和科学态度，在教学过程中体现了学生为主体，教师为主导的思想，把学习的主动权真正交给了学生，充分调动了学生的学习兴趣，发挥了学生的学习积极性，培养了学生的创新思维和实践能力，实现了学生真正意义的建构。
      9．利用《几何画板》的度量和计算功能验证定理及重要结论
      初中数学教学中我们会遇到一些结论性的问题，我们往往要通过作出很多的图形进行繁杂的度量和运算，但是几何画板要实现这个效果就很简单。
       ①数形结合，验证勾股定理
     （1）任意作rt△abc，分别从三条边出发向外作正方形。
     （2）通过度量得出每个正方形的面积，计算正方形acfg与正方形bchi的面积之和，并与正方形abde的面积进行比较。
    （3）得出结论ac2+bc2=ab2。
    （4）拖动任意一点，改变图形大小，观察能否得出上述结论。

      ②验证圆周角定理
     在圆当中，很多定理都可以用几何画板的数形结合能力去验证，以验证圆周角定理为例：

      如上图，弧ac的大小不变时，让一个学生拖动b点在圆周上运动，同时观察利用度量功能所测得的数字，学生们自然会得出同弧所对的圆周角相等的结论。
      几何画板在反比例函数中的应用与以上两个类似，这里只介绍一个k的几何意义的问题：在反比例函数图像上任取一点p，分别向x、y轴作垂线，围成四边形的面积是|k|。

      当拖动点p时四边形的面积始终保持不变，当改变k的值时四边形的面积也在发生变化，但始终等于|k|。这个知识点，如果我们老师只是一味的去讲，非常枯燥乏味学生不愿意听，效果不会很理想，用这个软件形象生动，学生兴致很高，学得当然很好。另外在讲反比例函数的对称性时，我设计了一个动画，学生看了之后很容易就理解了反比例函数关于原点的中心对称性。还有如 与的对称性也可以通过动画演示，学生很容易理解。
      10．利用几何画板解决动点问题
      在中考当中我们经常会遇到一些动点问题，这些题是学生感觉是非常难的。如果我们用几何画板去模拟演示这些题目学生就会明白题意从而解题思路会豁然开朗。因为几何画板中的动画功能可以生动、连续地表现运动效果，形象地描画出运动对象的运动轨迹，而且轨迹的生成是动态的、逐步的，充分表现出轨迹产生的全过程，学生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动中，形成自己对数学知识的理解，这就为学生积极主动建构知识体系提供了学习的平台。
       问题⑴：直线ab经过⊙o的圆心，且与⊙o相交于a、b两点，点c在⊙o上，且∠aoc=300，点p是直线ab上的一个动点（与点o不重合），直线pc与⊙o相交于点q，是否存在点p，使得qp=qo，如果存在，那么这样的点p共有几个？并相应求出∠ocp的大小；如果不存在，说明理由。

        问题中的点p是一个运动的点，在解题过程中学生对这类点的处理往往束手无策，利用几何画板让学生自己动手操作，移动p点，观察图形的变化，问题便迎刃而解。 
        11．为学生验证问题搭建技术平台，使《几何画板》成为“数学实验室”，让学生自主开展“研究数学”的活动
        如概率中的抛硬币实验，也可以用几何画板的迭代功能和符号函数sgn进行模拟实验。如图所示，是一个5角的硬币，为了让学生看得清数字与图案这两面，在硬币荷花图案这一面的右边加上了一条黑线，规定数字这一面为正面，图案这一面为反面，单击[投掷]按钮进行实验，单击[归零]按钮则清除实验数据。开始几次可以速度慢些，然后可以右键单击图片或[投掷]按钮加快速度。通过本虚拟实验，可以进一步加深对概率这一概念的理解。

      在初三总复习阶段有这样一道题：如图，△abc 和△a1b1c1 均为等边三角形，点o即是ac的中点，又是a1c 1的中点，求bb1：aa1 的值。

     在教师的引导下，学生打开几何画板，做等边 ，取ac中点o，再做等边 ，在几何画板中选中点a1，拖动它旋转  。                                                                                                                                                                                                                                                                      
        经历一番探索，学生会发现，无论什么位置，这两个三角形始终相似。而这一点，若仅凭想象，可能是不会那么容易得出结论的。                                                                                       

      这样一道有一定难度的题目，在几何画板的帮助下，学生探索了图形的特殊位置，从中受到启发解决了问题，同时进一步研究了在变化的过程中不变的规律（三角形的相似关系不变）。学生经历了观察、猜想、从特殊到一般的思维过程，培养了学生的数学思维能力和创造力。其中的规律，体会其中的艰苦，尝试成功后的喜悦，从而培养他们学习几何的兴趣。                                     

       12． 利用《几何画板》可以方便地时改变题设条件，进行变式教学
        用《几何画板》进行习题课教学时，要尽量做到可以随时改变题设的条件，进行变式教学，提供多种情形多种解法，以满足学生对知识的渴求和需要。比较而言，用ppt、flash或authorware制作的课件就很难做到这一点，而几何画板就可以轻松搞定。
       如图所示，这是一个典型的变式练习题目，教师在教学时若能利用几何画板随时变换图形的运动状态，创造有利于学生的猜想，验证，证明的环境，必能激发学生强烈的求知欲望，从而提高课堂效率。
       例：如图，d、e分别是△abc边ab、ac上的点，de∥bc       

      （1）找出图中的相似三角形，并说明理由； 
      （2）若d、e分别在ab、ac两边或延长线上， 且de与bc不平行，△ade与△abc还可能相似吗？这样的直线有几条？
     （3）如果若d、e分别在ac、ab的反向延长线上，且de∥bc，那么△ade与△abc平行吗？ （4）若d、e分别在ac 、ab、两边的反向延长线上，且de与bc不平行，△ade与△abc还可能相似吗？说明理由。