2、B C.A2=2,即A>2,
B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2
=-(x-2)2+2≤2,即B≤2,所以A>B.
不等式比较大小的常用方法
(1)作差比较法:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.
(2)作商比较法:常用于分数指数幂的代数式.
(3)乘方转化的方法:常用于根式比较大小.
(4)分子分母有理
3、化.
(5)利用中间量.
题组训练二 基本不等式的应用
1.(1)已知x,y,z∈(0,+∞),且满足x-2y+3z=0,则的最小值为 .
(2)已知x,y都是正数.
①若3x+2y=12,求xy的最大值;
②若x+2y=3,求+的最小值.
【解析】(1)由题意知y=,所以==+≥+=+=3(当且仅当x2=9z2时等号成立),所以的最小值为3.
答案:3
(2)①xy=·3x·2y≤×=6.
当且仅当 即时取等号.所以当x=2,y=3时xy取得最大值6.
②+=(x+2y)
=≥=1+.
当且仅当即时,取等号.
所以,当x=-3+3,y=3-时,+取得最
4、小值1+.
2.(2020·广州高一检测)若x,y均为正数,且x+y=xy,则x+y的最小值为 .
【解析】方法一:x+y=xy≤,即x+y≥4,当且仅当x=y=2时取等号.
答案:4
方法二:因为x+y=xy,所以=1,即+=1,所以x+y=(x+y)=++2≥2+2=4,当且仅当x=y=2时取等号.
答案:4
1.利用基本不等式求最值
(1)常见的最值问题.
一般用a+b≥2(a>0,b>0)解“积为定值,和的最小值”,用ab≤解“和为定值,积的最大值”.
(2)在具体应用过程中要注意“一正,二定,三相等”,还要注意利用拆项、添项、配凑、分离变量、代换减元等方
5、法.
2.条件不等式的最值问题的解题策略
(1)对于条件的使用是此类问题的关键,常用的方法有代入法、“1”的代换等,解题还要注意在变形的过程中字母取值的限制,否则可能影响取等号时字母的取值.
(2)对于要求最值的式子的变形也至关重要,常用的方法有配凑法、换元法等,其原则是构造定值,解题过程中还要注意等号必须取到,否则此种变形就是错误的.
题组训练三 不等式的恒成立问题
1.已知函数f(x)=mx2-mx-6+m,若对于m∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围.
【解析】设g(m)=f(x)=mx2-mx-6+m=(x2-x+1)m-6.
由题意知g(m)<0对m
6、∈[1,3]恒成立.
所以即
解得0,x>0,不等式≤+1可化为a2+2a+2≤x,
即a2+2a+2≤+x-1+1,
因为+x-1+1≥2+1=5,
当且仅当
即x=3时取等号,所以a2+2a+2≤5,
即a2+2a-3≤0,解得-3≤a≤1.
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法
(1)变更主
7、元法:
根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)分离参数法:
若f(a)g(x)恒成立,则f(a)>g(x)max.
(3)数形结合法:
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.
题组训练四 简单的线性规划问题
1.若且z=2x+4y取得最小值为-12,则k= ( )
A.2 B.9 C.3 D.0
【解析】选A.画出可行域,如图.
将z=2x+4y变形为y=-x+,
画出直线y=-x+,平移至点A时,纵截距最大,z最大,
由解A(2,-
8、4),
x+y+k=0过点(2,-4),所以k=2.
2.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M、N关于直线x-y=0对称,动点P(a,b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动,则ω=的取值范围是 ( )
A.[2,+∞)
B.(-∞,-2]
C.[-2,2]
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
【解析】选D.由题意分析直线y=kx+1与直线x-y=0垂直,所以k=-1,即直线y=-x+1.
又圆心C在直线x-y=0上,
可求得m=-1.
则不等式组为
所表示的平面区域如图,ω=的几何意义是点Q(1,2)与平面区域上点P(a,b)连线斜率的取值范围.
kOQ=2,kAQ=-2,
故ω的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).
解线性规划问题的一般步骤
(1)列:设出未知数,列出约束条件,确定目标函数.
(2)画:画出线性约束条件所表示的可行域.
(3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.
(4)求:通过解方程组求出最优解.
(5)答:作出答案.
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