湖北省宜昌一中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷文.doc

湖北省宜昌一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（每题5分，计50分）
1．（5分）抛物线x2=8y的准线方程是（）
A． x= B． y=2 C． y= D． y=﹣2

2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）
A． ¬p：∃x∈R,sinx≥1 B． ¬p：∀x∈R，sinx≥1
C． ¬p：∃x∈R，sinx＞1 D． ¬p：∀x∈R,sinx＞1

3．（5分）下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程x+必过点（）
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7

A． （2，2） B． （1。5,2） C． （1,2） D． （1。5,4）

4．(5分）如图的程序框图,如果输入三个实数a,b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的（）

A． c＞x B． x＞a C． c＞b D． b＞c

5．（5分）“mn＜0"是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线"的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

6．（5分)在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（)
A． 0 B． C． D．

7．(5分）已知函数f（x）的导函数为f′(x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′(2）+lnx，则f′（2）的值等于(）
A． 2 B． ﹣2 C． D．

8．（5分）函数y=f（x）的导函数y=f’（x)的简图如图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0），则函数的极小值点为(）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 不存在

9．（5分)已知椭圆C:=1（a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点,连接了AF，BF，若｜AB|=10，｜BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（)
A． B． C． D．

10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f(x）)2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

二、填空题(每题5分，计35分）
11．（5分）为了检验某种产品的质量，决定利用随机数表法从300件产品中抽取5件检查，300件产品编号为000，001，002,…，299，下图为随机数表的第7行和第8行，若选择随机数表第7行第5列作为起始数字，并向右读数,依次得到的5个样本号码中的第二个号码为．
第7行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
第8行63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79．

12．（5分)命题“若x，y都是正数，则x+y为正数"的否命题是．

13．（5分）把“十进制”数123(10）转化为“二进制"数为．

14．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的n是5，那么输出p是．

15．（5分)y=x+cosx的单调递减区间为．

16．（5分)已知函数f（x)=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．

17．（5分）有一隧道，内设双行线公路,同方向有两个车道（共有四个车道）,每个车道宽为3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成,如图所示,为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为0.25m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度为．（精确到0。1m）

三、解答题
18．（12分）求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1)椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上,离心率为．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16；
（2）焦点在x轴上，焦距为10且点（2，1）在其渐近线上的双曲线方程．

19．(12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本(样本容量为n）进行统计．按照[50，60)，[60，70）,[70，80）,[80,90），[90，100］的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60)，[90,100］的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．

20．（12分)已知命题P：“对任意x∈［1，2］，x2﹣a≥0”，命题q:“存在x∈R，x2+（a﹣1)x+1＜0”若“p或q”为真，“p且q"为假命题，求实数a的取值范围．

21．（14分)已知圆M：（x+1）2+y2=16,定点N（1，0）,P是圆M上任意一点,线段PN的垂直平分线l交PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
(2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

22．(15分)已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B(x2，f(x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间;
（Ⅱ）若函数f（x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1;
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

湖北省宜昌一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分，计50分）
1．（5分）抛物线x2=8y的准线方程是(）
A． x= B． y=2 C． y= D． y=﹣2

考点： 抛物线的简单性质．
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由x2=2py（p＞0)的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=8y的准线方程即可得到．
解答： 解:由x2=2py（p＞0)的准线方程为y=﹣，
则抛物线x2=8y的准线方程是y=﹣2，
故选D．
点评： 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．

2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1,则（）
A． ¬p:∃x∈R,sinx≥1 B． ¬p：∀x∈R，sinx≥1
C． ¬p:∃x∈R,sinx＞1 D． ¬p：∀x∈R，sinx＞1
考点： 命题的否定．
分析： 根据¬p是对p的否定，故有:∃x∈R，sinx＞1．从而得到答案．
解答： 解:∵¬p是对p的否定∴¬p：∃x∈R，sinx＞1
故选C．
点评： 本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题．

3．（5分）下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程x+必过点（）
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7

A． （2,2) B． （1.5，2） C． （1，2） D． (1。5，4）

考点: 回归分析的初步应用．
专题: 图表型．
分析： 要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．
解答： 解:∵，
=4，
∴本组数据的样本中心点是(1.5，4），
∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）
故选D．
点评： 本题考查平均值的计算方法,回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（ ，)．

4．（5分)如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的(）

A． c＞x B． x＞a C． c＞b D． b＞c

考点： 程序框图．
专题: 算法和程序框图．
分析: 根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用,由于该题的目的是选择最大数,因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小,故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．
解答： 解：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较x与b的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，
∵条件成立时,保存最大值的变量X=C
故选A．
点评: 本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题．

5．（5分)“mn＜0"是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的(）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 证明题．
分析： 根据充分必要条件的定义进行判断：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件;若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
解答: 解:（1）mn＜0⇔m＞0，n＜0或m＜0，n＞0．
若m＞0，n＜0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线；
若m＜0，n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线；
所以由mn＜0不能推出方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，即不充分．
（2）若方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0，n＞0，所以mn＜0，即必要．
综上，“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．
故选B．
点评： 本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx2+ny2=1表示双曲线条件．

6．（5分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（)
A． 0 B． C． D．

考点： 几何概型．
专题： 计算题;数形结合．
分析： 首先根据题意,做出图象,设O（0，0)、A（1，0）、B(1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，易得其面积，x2+y2＜1表示圆心在原点,半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积，由几何概型的计算公式，可得答案．
解答: 解：根据题意，如图，设O（0，0)、A（1,0）、B（1,1）、C（0,1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1;
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y)满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．

点评： 本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组)转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．

7．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x)，且满足关系式f（x)=x2+3xf′(2）+lnx，则f′（2）的值等于（)
A． 2 B． ﹣2 C． D．

考点： 导数的加法与减法法则．
专题: 导数的概念及应用．
分析： 对等式f（x）=x2+3xf′(2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f′（2）的值．
解答： 解:∵f（x）=x2+3xf′(2）+lnx,
∴f′（x）=2x+3f′(2）+，
令x=2，则f′（2）=4+3f′（2）+，
即2f′（2)=﹣，
∴f′（2）=﹣．
故选:D．
点评： 本题主要考查导数的计算,要注意f′（2）是个常数，通过求导构造关于f′（2）的方程是解决本题的关键．

8．（5分）函数y=f（x)的导函数y=f’（x）的简图如图，它与x轴的交点是（1，0和（3,0），则函数的极小值点为（)

A． 1 B． 2 C． 3 D． 不存在

考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： 由导函数y=f′(x）的简可知函数f(x）的单调性极值情况．
解答: 解:由导函数y=f′（x)的简可知：当x＜1或x＞3时，函数f(x）单调递增；当1＜x＜3时，函数f（x）单调递减,
∴函数f（x）的极小值点为3．
故选:C．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的极值问题、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．

9．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，｜BF|=8，cos∠ABF=,则C的离心率为（）
A． B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．
分析: 由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′,AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．
解答： 解：如图所示,
在△AFB中，|AB｜=10，｜BF|=8，cos∠ABF=，
由余弦定理得
｜AF｜2=|AB|2+｜BF｜2﹣2｜AB|｜BF｜cos∠ABF
=100+64﹣2×10×8×
=36，
∴|AF|=6，∠BFA=90°，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′,AF′．
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴｜BF′｜=6,｜FF′｜=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴e==．
故选B．

点评: 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．

10．（5分）已知函数f（x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2,若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3(f（x）)2+2af（x）+b=0的不同实根个数为(）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

考点: 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
专题： 压轴题;导数的综合应用．
分析: 由函数f（x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2，可得f′（x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x)）2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x)=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x）=x1或f（x）=x2解得个数．
解答： 解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．
∵x1＜x2,
∴，．
而方程3（f（x)）2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x)=x1或x2．
不妨取0＜x1＜x2，f(x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x)﹣x1的图象，
∵f(x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．
②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f(x1)﹣x2＜0,可知方程f(x）=x2只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x)=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f(x）)2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．
故选：A．

点评： 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．

二、填空题（每题5分，计35分）
11．(5分）为了检验某种产品的质量,决定利用随机数表法从300件产品中抽取5件检查，300件产品编号为000，001，002，…,299，下图为随机数表的第7行和第8行，若选择随机数表第7行第5列作为起始数字，并向右读数,依次得到的5个样本号码中的第二个号码为068．
第7行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
第8行63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79．

考点: 系统抽样方法．
专题： 概率与统计．
分析： 随机数表法也是简单随机抽样的一种方法,采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是,在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．
解答： 解：若选择随机数表第7行第5列作为起始数字,
第一个号码为175,然后是331，572，455,068，
则满足条件的第2个号码为068．
故答案为:068．
点评： 本题主要考查简单随机抽样的应用，比较基础．

12．（5分)命题“若x，y都是正数，则x+y为正数”的否命题是若x，y不都是正数，则x+y是非正数．

考点： 四种命题．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据四种命题之间的关系写出命题的否命题即可．
解答: 解：命题“若x，y都是正数,则x+y为正数”的否命题是：
“若x，y不都是正数,则x+y是非正数”，
故答案为:若x，y不都是正数,则x+y是非正数．
点评： 本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．

13．（5分）把“十进制”数123（10）转化为“二进制"数为1111011（2）．
考点： 进位制．
专题: 计算题．
分析: 利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
解答： 解:123÷2=61…1
61÷2=30…1
30÷2=15…0
15÷2=7…1
7÷2=3…1
3÷2=1…1
1÷2=0…1
故123（10）=1111011 （2)
故答案为：1111011 (2）．
点评： 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法"的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．

14．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入的n是5，那么输出p是120．

考点： 伪代码．
专题: 阅读型．
分析： 通过算法,按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．
解答: 解：如果输入的n是5，由循环变量k初值为1,那么:
经过第一次循环得到p=1，满足k≤n，继续循环，k=2，
经过第二次循环得到p=2，满足k≤n，继续循环，k=3
经过第三次循环得到p=6，满足k≤n，继续循环，k=4
经过第四次循环得到p=24，满足k≤n，继续循环，k=5
经过第五次循环得到p=120,满足k≤n，继续循环，k=6
不满足k≤n，退出循环
此时输出p值为120
故答案为：120．
点评： 本题考查解决算法中的循环结构的输出结果问题时,常采用写出几次的结果找规律．

15．（5分）y=x+cosx的单调递减区间为（2kπ+，2kπ+)，k∈Z．

考点: 利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析: 求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
解答： 解：函数的导数f′（x）=﹣sinx，
由f′（x）=﹣sinx＜0,
得sinx＞，
解得2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，
故函数的单调递减区间为(2kπ+,2kπ+),k∈Z,
故答案为：（2kπ+，2kπ+），k∈Z
点评： 本题主要考查函数单调区间的求解，求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

16．(5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．

考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0)，f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g(x）=lnx+1﹣2ax,由于函数f(x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间(0，+∞）上有两个实数根．g′（x）==．当a≤0时，直接验证;当a＞0时,利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=时,函数g（x）取得极大值，
故要使g(x）有两个不同解，只需要,解得即可．
解答: 解：f（x)=xlnx﹣ax2x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．
令g（x)=lnx+1﹣2ax，
∵函数f（x)=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞)上有两个实数根．
g′（x)==，
当a≤0时,g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞)单调递增，因此g(x)=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时,令g′（x）=0，解得x=．
令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；
令g′(x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时,g(x）→﹣∞，
要使g(x)=0在区间（0，+∞)上有两个实数根，则，解得．
∴实数a的取值范围是．
故答案为：．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题．

17．（5分）有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道)，每个车道宽为3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为0.25m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为4.3．（精确到0。1m）

考点: 抛物线的应用．
专题: 应用题．
分析： 根据题意，适当建立坐标系,如：以抛物线的对称轴为y轴，路面为x轴，可确定抛物线的顶点坐标及与x轴右交点坐标,设抛物线的顶点式,把右交点坐标代入，可求抛物线解析式；规定车辆必须在中心线右侧距道路边缘2米这一范围内行驶,即此时车子的右边横坐标为6，代入解析式求此时的纵坐标,回答题目问题．
解答： 解：如图,以抛物线的对称轴为y轴，路面为x轴,建立坐标系，
由已知可得，抛物线顶点坐标为（0，6），与x轴的一个交点(8，0)，
设抛物线解析式为y=ax2+6,
把（8，0）代入解析式，
得a=﹣，
所以，抛物线解析式为y=﹣x2+6,
当x=6时,y≈4。3，
∴慢车道的限制高度为 4.3米．
故答案为：4。3．

点评： 实际问题中的抛物线问题，一般要建立直角坐标系解决，适当建立坐标系可使抛物线解析式形式上简单，便于利用题目的已知条件求解析式．

三、解答题
18．（12分)求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上,离心率为．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16；
（2）焦点在x轴上，焦距为10且点（2,1）在其渐近线上的双曲线方程．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析: (1）由题意设椭圆方程为(a＞b＞0)，由已知得,由此能求出椭圆方程．
（2）由题意设双曲线方程为,a＞0，b＞0，由已知得,由此能求出双曲线方程．
解答: （本小题满分10分）
解:(1）由题意设椭圆方程为（a＞b＞0），
由已知得，
解得a=4，b=2，
∴椭圆方程为．…(5分)
（2）由题意设双曲线方程为,a＞0,b＞0，
由已知得，
解得,
∴双曲线方程为．…（5分)
点评： 本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥曲线的性质的合理运用．

19．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），［60，70），［70,80），[80,90)，［90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），［90,100]的数据)．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
(Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图；等可能事件的概率．
专题： 概率与统计．
分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图的性质求得样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．
（Ⅱ）由题意可知,分数在［80，90）有5人，分别记为a，b，c,d，e，分数在［90,100)有2人，分别记为F,G,用列举法求得所有的抽法有21种，而满足条件的抽法有10种，由此求得所求事件的概率．
解答： 解析：（Ⅰ)由题意可知，样本容量，，
x=0.1﹣0.004﹣0。010﹣0。016﹣0。04=0。030．
（Ⅱ）由题意可知，分数在［80，90)有5人，分别记为a，b,c，d，e，
分数在［90，100）有2人,分别记为F，G．
从竞赛成绩是8（0分）以上(含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形:（a,b）,a，c），(a，d）,（a，e）,(a，F），(a，G），(b,c），（b,d），(b,e）,(b，F），(b，G）,（c，d），（c，e），(c，F）,（c，G）,(d，e）,（d，F)，（d，G），（e，F），（e，G），（F,G），共有21个基本事件；
其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F)，（a，G),（b，F），（b，G），
（c，F）,（c，G），(d，F），(d，G），（e，F）,(e，G)，共10个，
所以抽取的2名同学来自不同组的概率．（12分）
点评: 本题主要考查等可能事件的概率，频率分布直方图的应用,属于中档题．

20．（12分）已知命题P:“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”,命题q:“存在x∈R，x2+（a﹣1)x+1＜0”若“p或q”为真,“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

考点: 复合命题的真假．
专题： 简易逻辑．
分析: 根据二次函数的最值，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系即可求出p:a≤1，q：a＜﹣1，或a＞3，而根据“p或q"为真，“p且q”为假知道p真q假，或p假q真两种情况,所以求出每种情况的a的取值范围并求并集即可．
解答: 解:由命题p知,x2在[1，2］上的最小值为1，∴p：a≤1；
由命题q知,不等式x2+（a﹣1)x+1＜0有解，∴△=（a﹣1）2﹣4＞0;
∴a＞3或a＜﹣1；
即q：a＞3,或a＜﹣1；
∴若“p或q”为真，“p且q”为假,则p，q一真一假；
∴；
∴﹣1≤a≤1，或a＞3;
∴实数a的取值范围为［﹣1，1]∪(3，+∞)．
点评： 考查二次函数在闭区间上的最值，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及p或q,p且q的真假和p，q真假的关系．

21．（14分)已知圆M：(x+1)2+y2=16，定点N（1,0），P是圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l交PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．
（1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A,B不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）通过中垂线的性质、圆M的方程可得动点Q满足QM+QN=4,进而可得结论；
（2）联立直线l与椭圆方程,利用•=0，结合韦达定理计算即得结论．
解答: （1）解：∵圆M方程为:（x+1）2+y2=16，
∴点M（﹣1,0），半径R=4，
∵线段PN的中垂线与线段PM相交于点Q，
∴QN=QP，∴QM+QN=QM+QP=PM，
∵点P是圆M上的动点，∴PM长为圆M的半径4，
∴动点Q满足QM+QN=4，
即点Q的轨迹C是以M、N为焦点，2a=4的椭圆,
∴a2=4，c=1，b2=a2﹣c2=3，
∴曲线C的方程为：;
（2)证明：设A（x1，y1），B（x2,y2),
易知椭圆C的右顶点为D（2，0)，
联立，消去y整理得：
（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0,且△=3+4k2﹣m2，
而AD⊥BD，即•=0,
∴，
∴(1+k2)x1x2+（mk﹣2）（x1+x2)+m2+4=0，
整理得：7m2+16mk+4k2=0，
解得:m1=﹣2k，m2=﹣，且均满足3+4k2﹣m2＞0，
当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m2﹣时，l的方程为，直线过定点；
∴直线l过定点,定点坐标为．

点评： 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累，属于中档题．

22．（15分)已知函数，其中a是实数．设A（x1,f（x1））,B（x2，f（x2))为该函数图象上的两点,且x1＜x2．
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0,证明：x2﹣x1≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合,求a的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题: 压轴题；导数的综合应用．
分析： （I）根据分段函数中两段解析式,结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（II)由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1）,点B处的切线的斜率为f′（x2)，再利用f（x）的图象在点A,B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）(2x2+2)=﹣1,最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1;
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件列出关系式,从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．
解答： 解：(I)函数f（x）的单调减区间(﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间［﹣1,0），（0,+∞)；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′(x1)，点B处的切线的斜率为f′(x2），
函数f(x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′(x1）f′（x2）=﹣1，
当x＜0时，（2x1+2）(2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0,2x2+2＞0,
∴x2﹣x1=［﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，
∴若函数f（x）的图象在点A,B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；
（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时,f′（x1)≠f′（x2)，故x1＜0＜x2，
当x1＜0时,函数f（x）在点A(x1，f（x1）)处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2)（x﹣x1);
当x2＞0时，函数f(x）在点B（x2,f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2)；
两直线重合的充要条件是,
由①及x1＜0＜x2得0＜＜2,由①②得a=lnx2+(）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，
令t=，则0＜t＜2,且a=t2﹣t﹣lnt,设h（t)=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h(t)在（0，2）为减函数,
则h（t）＞h(2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函数f(x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围(﹣ln2﹣1，+∞)．
点评： 本题以函数为载体,考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理,注意利用导数求函数的最值．