人教版初中数学二次根式同步教学.doc

指导教师： 日期：2019年03月06日
初中数学复习讲学案
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二次根式同步学习课
第一部分 知识梳理
模块一 二次根式的概念及性质
二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
二次根式的基本性质：（1）（）双重非负性；（2）（）；（3）．
一、对二次根式定义的考察
【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、、、、、、（x≥0，y≥0）．

【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．x
【例2】 当x是多少时，在实数范围内有意义？

【例3】 当x是多少时，在实数范围内有意义？

【巩固】使式子有意义的未知数x有（ ）个 ．
A．0 B．1 C．2 D．无数

【巩固】某工厂要制作一批体积为1的产品包装盒，其高为0．2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

【例4】 解答下列题目
（1） 已知，求的值．

（2）若，求的值．

【巩固】已知a、b为实数，且，求a、b的值．

【巩固】已知实数a与非零实数x满足等式：，求．

二、对二次根式性质的考察
【例5】 计算
（1） （2） （3） （4）

【巩固】计算
（1） （2）

（3） （4）

【例6】 在实数范围内分解下列因式:
（1） （2） （3）

【例7】 先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=；
乙的解答为：原式=．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

【巩固】若-3≤x≤2时，试化简．

【巩固】如果，，化简．

总结:（1）在做题中,在有取之范围的情况下,根式下的式子要满足大于等于0；同时特别注意其与分式的
结合应用；
（2）整个初中数学共学习了三个非负性：绝对值；偶次方（常以平方的形式出现）；根号．在中考
题中经常以填空或选择的形式出现．
模块二 二次根式的乘除运算
一、二次根式的乘法法则：（，）
【例8】 如果成立，那么x，y必须满足条件 ．

【例9】 化简：（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______．

【例10】 如果，那么（ ）．
A． B． C． D． x为任意实数
【巩固】已知三角形一边长为，这条边上的高为，求该三角形的面积．

【例11】 把根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）．
A． B． C． D．

【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：
（1） （2）

【例12】 先化简，再求值：，其中

【例13】 已知a，b为实数，且，求的值．

【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）
验证：

验证：
同理可得：
，……
通过上述探究你能猜测出： =_______（a>0），并验证你的结论．
二、二次根式的除法法则： （，）
【例14】 计算： （1） （2） （3） （4）

【巩固】已知求的值．

【例15】 已知，且x为偶数，求的值．

【巩固】 （m>0，n>0）

总结：利用这除法法则时注意、的取值范围，对于 （，），非负，必须大于０，否则不成立．
模块三 最简二次根式：
二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式．
（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
（3）分母中不含二次根式
注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．

【例16】 把下列各式化成最简二次根式：
（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______；（4）＝______．
【例17】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．

【巩固】把下列各式化成最简二次根式：
（1） （2） （3） （4）

【例18】 计算：（1）； （2）； （3）；

二、分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化．
互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式，原理是平方差公式；
分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．

【例19】 的有理化因式是 ；的有理化因式是 ．
的有理化因式是 ．

【例20】 把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3） （4）

【巩固】化简：

【例21】

【例22】 观察规律：，……，求值．
（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______．

【巩固】计算：_______．

模块四 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．
【例23】 把下列二次根式化简后，与的被开方数相同的有 ；与的被开方数相同的有 ；与的被开方数相同的有 ．

【例24】 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则．

【例25】 化简后，与的被开方数相同的二次根式是（ ）．
A． B． C． D．

【例26】 若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．

【巩固】若与最简二次根式是同类二次根式，求a，b的值．

【巩固】已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的a，b的值（ ）
A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组

【例27】 化简计算：
（1） （2）()

（3）

课堂检测
【练习1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．

【练习2】已知是二次根式，则x应满足的条件是（ ）．
A． x＞0 B． x≤0 C． x≥－3 D． x＞－3

【练习3】若有意义，则m＝ ．

【练习4】计算下列各式：
（1） （2） （3） （4）

【练习5】计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式
（1）＝______；（2）______；（3）＝______；（4）＝______．

【练习6】计算 （a>0）

课后作业
1. 当a______时，有意义；当x______时，有意义．
当x______时，有意义；当x______时，的值为1．

2. 若b＜0，化简的结果是______．

3. 在，中，与是同类二次根式的是 ．

4. 若与最简根式是同类二次根式，则= ．

5. 若a，b两数满足b＜0＜a且｜b｜＞｜a｜，则下列各式有意义的是（ ）．
A． B． C． D．

6. 等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或

7. 若，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 计算
（1） （2）

（3） （4）

（5）

9. 若最简二次根式是同类根式，求的值

10. 化简：（ ）
A． B．
C． D．不同于以上三个答案
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