2018高一数学滚动练习50-普通用卷(2).doc

2018宁海中学高一数学滚动练习49
期末复习
题号
一
二
总分
得分

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 设全集U={−1，2，4}，集合A={−1，4}，则∁UA= ______ ．
2. 已知函数y=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为2π3，则ω= ______ ．
3. 已知幂函数的图象过点(2，4)，则它的单调递减区间是______ ．
4. 设函数f(x)=2x,x>022cosx,x≤0，则f[f(−π4)]的值为______ ．
5. 在△ABC中，向量a=(1，cosB)，b=(sinB，1)，且a⊥b则角B的大小为______ ．
6. (log23+log227)×(log44+log414)的值为______ ．
7. 将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位后得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)是偶函数，则φ= ______ ．
8. 已知函数f(x)=mx2−2x+m的值域为[0，+∞)，则实数m的值为______ ．
9. 已知sin(α−π6)=13，则sin(2α+π6)的值为______ ．
10. 已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=13，则tanαtanβ的值为______ ．
11. 在平面直角坐标系xOy中，点P(1，4)是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ(0<θ<π)角后到达角34π的终边，则tanθ= ______ ．
12. 已知函数f(x)=x2+2x,x<0x−1,x≥0，若关于x的方程f(x)−a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是______ ．
13. 已知函数f(x)=cosx(x∈[0，2π])与函数g(x)=tanx的图象交于M，N两点，则|OM+ON|= ______ ．
14. 如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，点D，E分别在边AB，AC上，且AB=2AD，AC=3AE，点F位线段DE上的动点，则BF⋅CF的取值范围是______ .(  )

二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
15. 已知集合A={x|f(x)=lg(x−1)+2−x}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．
(1)若a=32，求A∪B；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．

16. 已知函数f(x)=Asin(ωx−π6)(其中A，ω为常数，且A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(α+π6)=255，f(β+2π3)=3105，且α，β∈(0，π2)，求α+β的值．

17. 若|a|=1，|b|=m，|a+b|=2．
(1)若|a+2b|=3，求实数m的值；
(2)若a+b与a−b的夹角为2π3，求实数m的值．

18. 如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N(异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上)，要求MN=2，PN=1(单位：km)，PN⊥MN．
(1)设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l(θ)，并写出函数l(θ)的定义域；
(2)当θ为何值时，l(θ)有最大值？并求出该最大值．

19. 已知函数f(x)=m(sinx+cosx)−4sinxcosx，x∈[0，π2]，m∈R．
(1)设t=sinx+cosx，x∈[0，π2]，将f(x)表示为关于t的函数关系式g(t)，并求出t的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)≥0对所有的x∈[0，π2]恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)−2m+4=0在[0，π2]上有实数根，求实数m的取值范围．

20. (1)已知函数f(x)=2x+1x(x>0)，证明函数f(x)在(0，22)上单调递减，并写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)记函数g(x)=a|x|+2ax(a>1)
①若a=4，解关于x的方程g(x)=3；
②若x∈[−1，+∞)，求函数g(x)的值域．

答案和解析
【答案】
1. {2}  
2. 3  
3. (−∞，0)  
4. 4  
5. 3π4  
6. 0  
7. π6  
8. 1  
9. 79  
10. 3  
11. 53  
12. 00且2−x≥0，
解得1
即a≥2或a≤0，
所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0.    …(14分)  
16. (本题满分为14分)
解：(1)据函数y=f(x)的解析式及其图象可知A=2，…(2分)
且12T=2π3−(−π3)=π，其中T为函数y=f(x)的最小正周期，故T=2π，…(4分)
所以2πω=2π，解得ω=1，
所以f(x)=2sin(x−π6).         …(6分)
(2)由f(α+π6)=255，可知2sin(α+π6−π6)=255，即sinα=55，
因为α∈(0，π2)，
所以cosα=1−sin2α=1−(55)2=255.          …8分)
由f(β+2π3)=3105，可知2sin(β+2π3−π6)=3105，即sin(x+π2)=31010，
故cosβ=31010，
因为β∈(0，π2)，
所以sinβ=1−cos2β=1010，…(10分)
于是cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=255×31010−55×1010=22.…(12分)
因为α，β∈(0，π2)，
所以α+β∈(0，π)，
所以α+β=π4.…(14分)  
17. 解：(1)因为|a+b|=2，所以|a+b|2=4．
即以a2+b2+2a⋅b=4.，…(2分)
又|a|=1，|b|=m，所以a⋅b3−m22.…(3分)
由|a+2b|=3，所以所以|a+2b|2=9．
即以a2+4b2+4a⋅b=9，
所以1+4×3−m22+4m2=9，解得m=±1，…(6分)
又|b|≥0，所以m=1.…(7分)
(2)因为，|a|=1，|b|=m，a⋅b=3−m22
所以|a−b|2=a2+b2−2a⋅b=1−2×3−m22+m2=2m2−2，|a−b|=2m2−2.…(9分)
又因为a+b与a−b的夹角为2π3，所以(a+b)⋅(a−b)=以a2−b2=|a+b|×|a−b|cos2π3
即，所以1−m2=2×2m2−2cos2π3，解得m=±3，…(13分)
又|b|≥0，所以m=3.…(14分)  
18. 解：(1)过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．
在Rt△MAN中，sinθ=NAMN=NA2，故NA=2sinθ，
在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ=PDPN=PD1，cosθ=NDPN=ND1，
故PD=sinθ，ND=cosθ．
在Rt△PDA中，PA=PD2+AD2=PD2+(AN+ND)2
=sin2θ+(2sinθ+cosθ)2，
所以l(θ)=sin2θ+(2sinθ+cosθ)2，
函数l(θ)的定义域为(0，π2).
(2)由(1)可知，l(θ)=sin2θ+(2sinθ+cosθ)2，
即l(θ)=sin2θ+4sin2θ+4sinθcosθ+cos2θ=4sin2θ+4sinθcosθ+1
=2(1−cos2θ)+2sin2θ+1=2sin2θ−2cos2θ+3=22sin(2θ−π4)+3，
又θ∈(0，π2)，故2θ−π4∈(−π4，3π4)，所以当2θ−π4=π2，
即θ=3π8时，sin(2θ−π4)取最大值1，
l(θ)max=3+22=1+2．
答：当θ=3π8时，l(θ)有最大值，最大值为1+2．  
19. 解：(1)因为t=sinx+cosx=2sin(x+π4)，x∈[0，π2]，所以t∈[1，2]，sinxcosx=t2−12.…(2分)
所以g(t)=mt−4⋅t2−12=−2t2+mt+2.…(5分)
(2)因为关于x的不等式f(x)≥0对所有的x∈[0，π2]恒成立，
据(1)可知g(t)=−2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，2]恒成立，…(6分)
所以g(1)≥0g(2)≥0，得m≥2.所以实数m的取值范围是[2，+∞).…(10分)
(3)因为关于x的方程f(x)−2m+4=0在[0，π2]上有实数解，
据(1)可知关于t的方程−2t2+mt+2−2m+4=0在t∈[1，2]上有实数解，
即关于t的方程2t2−mt+2m−6=0在t∈[1，2]上有实数解，…(11分)
所以△=m2−16(m−3)≥0，即m≤4或m≥12．
令h(t)=2t2−mt+2m−6，开口向上，对称轴t=m4，
①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h(t)在t∈[1，2]上单调递减，
故h(1)≥0h(2)≤0，解得m不存在.…(13分)
②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h(t)在t∈[1，2]上单调递增，
故h(1)≤0h(2)≥0，解得2+2≤m≤4.…(15分)
综上所述，实数m的取值范围是[2+2，4].…(16分)  
20. (1)证明：设x1，x2是区间(0，22)上的任意两个实数，且x12)(2x1x2−1)x1x2，
因为00，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，22)上单调递减，
函数f(x)的单调递增区间为(22，+∞)．
(2)解：①当a=4时，4|x|+2⋅4x=3，
(ⅰ)当x≥0时，4x+2⋅4x=3，即4x=1，所以x=0；
(ⅱ)当x<0时，4−x+2⋅4x=3，
即2⋅(4x)2−3⋅4x+1=0，
解得：4x=1或4x=12，
所以x=−12或0(舍去)；
综上所述，方程g(x)=3的解为x=0或x=−12
②(ⅰ)当x≥0时，g(x)=3ax，其中a>1，
所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)min=g(0)=3，
所以g(x)在[0，+∞)上的值域为[3，+∞)；
(ⅱ)当x∈[−1，0)时，g(x)=a−x+2ax，其中a>1，
令t=ax，则t∈[1a，1)，g(x)=2t+1t=f(t)，
(ⅰ)若12，则1a<22，
据1)可知，f(t)=2t+1t在[1a，22)上单调递减，在(22，1)上单调递增，
所以f(t)min=f(22)=22，又f(1a)=a+2a，f(1)=3，
当f(1a)≥f(1)时，g(x)在[−1，0)上的值域为[22，a+2a]，
当f(1a)2时，函数g(x)在[−1，+∞)上的值域为[22，+∞)．  
【解析】
1. 解：全集U={−1，2，4}，
集合A={−1，4}，
则∁UA={2}．
故答案为：{2}．
根据补集的定义写出A在U中的补集∁UA即可．
本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．
2. 解：由题意可得：最小正周期T=2π3=2πω，
解得：ω=3．
故答案为：3．
由已知利用正弦函数的周期公式即可计算得解．
本题考查三角函数的周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3. 解：设幂函数的解析式为y=xα，
其函数图象过点(2，4)，
则4=2α，
解得α=2，
所以y=x2，
所以函数y的单调递减区间是(−∞，0)．
故答案为：(−∞，0)．
利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求出该函数的单调递减区间．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．
4. 解：∵f(x)=2x,x>022cosx,x≤0，
∴f(−π4)=22cos(−π4)=22cosπ4=2，
f[f(−π4)]=f(2)=22=4．
故答案为：4．
先求出f(−π4)=22cos(−π4)=22cosπ4=2，从而f[f(−π4)]=f(2)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
5. 解：∵a⊥b，∴a⋅b=sinB+cosB=0⇒tanB=−1，∵B∈(0，π)，∴B=3π4．
故答案为：3π4．
由a⊥b，得a⋅b=sinB+cosB=0即可．
本题考查了向量的数量积运算，及解三角形，属于基础题．
6. 解：原式=log281×log41=0，
故答案为：0
根据对数的运算性质计算即可．
本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
7. 解：图象向左平移π6得到f(x+π6)=2sin(2x+π3+φ)，
∴g(x)=2sin(2x+π3+φ)，
∵g(x)为偶函数，
因此π3+φ=kπ+π2，
又0<φ<π，
故φ=π6．
故答案为：π6．
首先，结合平移得到g(x)=2sin(2x+π3+φ)，然后根据g(x)为偶函数即可求解．
本题重点考查了三角函数图象与性质，属于基础题．
8. 解：f(x)=mx2−2x+m的值域为[0，+∞)，
∴△=4−4m2=0m>0，
解得m=1
故答案为：1
首先根据二次函数的值域为[0，+∞)，来确定满足的条件是△=4−4m2=0m>0，进一步通过解不等式组求的结果．
本题考查的知识要点：二次函数的值域与开口方向及△的关系，解不等式组等运算问题．
9. 解：∵sin(α−π6)=13，
∴sin(2α+π6)=cos[π2−(2α+π6)]=cos(2α−π3)=cos[2(α−π6)]=1−2sin2(α−π6)=1−2×(13)2=79．
故答案为：79．
利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求结合已知即可计算得解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于基础题．
10. 解：∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13，
∴sinαcosβ=12，cosαsinβ=16，
则tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=1216=3，
故答案为：3．
利用两角和差的正弦公式求得sinαcosβ和cosαsinβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得tanαtanβ的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
11. 解：由题意可得，αθ=3π4，tanα=4，∴tan(α+θ)=−1，
即tanα+tanθ1−tanαtanθ=−1，即4+tanθ1−4tanθ=−1，求得tanθ=53，
故答案为：53．
利用任意角的三角函数的定义求得tanα=4，再根据tan(α+θ)=−1，利用两角和的正切公式，求得tanθ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
12. 解：由题意，关于x的方程f(x)−a2+2a=0有三个不同的实数根，
则f(x)=a2−2a有三个不同的交点，
∵f(x)=x2+2x,x<0x−1,x≥0，
∴−1a<2，
故答案为0AC−12AB)=13λAC−12λAB，AF=AD+DF=(12−12λ)AB+13λAC，
∴BF=BA+AF=(−12−12λ)AB+13λAC，CF=CA+AF=(12−12λ)AB+(13λ−1)AC；
则BF⋅CF=(14λ2−14)AB2+(12−13λ2+12λ)AB⋅AC+(19λ2−13λ)AC2=λ2−32λ+12，
当λ=0时，f(λ)=λ2−32λ+12最大为12，当λ=34时，f(λ)=λ2−32λ+12最小为−116；
则BF⋅CF的取值范围是[−116，12]，
故答案为：[−116，12]，
设DF=λDE，运用平面向量基本定理、向量的三角形法则，将向量AB、AC作为平面基底，用基底表示BF，CF，运用向量的数量积的定义，结合向量的平方即为模的平方，将BF⋅CF表示为λ的函数求解．
本题考查了向量的线性运算，及数量积运算，转化思想是关键，属于压轴题．
15. (1)化简集合A，B，再由并集的含义即可得到；
(2)运用指数函数的单调性求出集合B，由A∩B=⌀，可得a的范围．
本题考查集合的运算和函数的定义域和值域的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
16. (1)由图可知A的值，由T，可求ω，从而可求函数f(x)的解析式．
(2)由f(α+π6)=255，可知sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，由f(β+2π3)=3105，可知cosβ，利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，利用两角和的余弦函数公式可求cos(α+β)，结合范围α+β∈(0，π)，即可得解α+β的值．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基本知识的考查．
17. (1)由|a+b|=2，|a+2b|=3⇒a2+b2+2a⋅b=4和a2+4b2+4a⋅b=9，即可求解；
(2)利用(a+b)⋅(a−b)=以a2−b2=|a+b|×|a−b|cos2π3求解．
本题考查了平面向量的数量积运算，掌握运算性质是关键，属于中档题．
18. (1)过点P作PD⊥AC垂足为D，连结PA.运用直角三角形中锐角三角函数的定义，求得PD，ND，PA；
(2)运用同角的平方关系和二倍角公式及两角和差函数公式，化简函数式，再由正弦函数的图形和性质，可得最大值．
本题考查函数在实际问题中的应用，注意运用三角函数的恒等变换公式，考查正弦函数的图形和性质，属于中档题．
19. (1)利用辅助角公式，结合同角三角函数关系，即可得出结论；
(2)据(1)可知g(t)=−2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，2]恒成立，所以g(1)≥0g(2)≥0，即可求出实数m的取值范围；
(3)据(1)可知关于t的方程−2t2+mt+2−2m+4=0在t∈[1，2]上有实数解，即关于t的方程2t2−mt+2m−6=0在t∈[1，2]上有实数解，分类讨论，求出实数m的取值范围．
本题考查三角函数式的化简，考查方程有解方法，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
20. (1)根据函数单调性的定义证明即可；
(2)①将a=4带入g(x)，通过讨论x的正负，去掉绝对值号，解方程即可；②通过讨论x的范围，求出g(x)的单调性，从而求出g(x)的值域即可．
本题考查了函数单调性的证明，考查函数的单调性求函数的值域问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．
第11页，共11页