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2021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.1.2 等比数列的性质课时素养评价北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.1.2 等比数列的性质课时素养评价北师大版必修5

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姓名：

八　等比数列的性质
(20分钟　35分)
1.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 (　　)
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
【解析】选B.因为b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,所以b=-3,且a,c必同号.
2.(2020·重庆高一检测)等比数列的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10= (　　)
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【解析】选B.由等比数列的性质可得:a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.
a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=…=9.则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3=5log39=10.
3.一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列,其公比为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.设这个数为x,
则(50+x)2=(20+x)·(100+x),解得x=25,
所以这三个数为45,75,125,公比q为=.
4.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= (　　)
A.5 B.7 C.6 D.4
【解析】选A.因为a1a7=,a2a8=,a3a9=,
所以(a4a5a6)2=(a1a2a3)·(a7a8a9)=5×10=50.
又因为an>0,所以a4a5a6=5.
5.在等比数列{an}中,a2a10=16,a4+a8=8,则=　　　　. 
【解析】由题意可得a2a10=a4a8=16,又a4+a8=8,
所以a4=a8,即数列{an}为常数列,所以=1
答案:1
6.已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项,且a1a2=a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an,且Sn为数列{bn}的前n项和,求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)设等比数列的公比为q,由题意知q>0,且3a1+2a2=a3,
所以解得a1=q=3,故an=3n.
(2)由(1),得bn=log3an=n,所以Sn=.
所以=+2=2+2,
故数列的前n项和为Tn
=2+2n
=2+2n=.
【补偿训练】
　　 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N+).
(1)证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式.
(2)数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列的前n项和,若Tn1)=n+1,
==-,
所以Tn=++…
+=-<,
依题意得:a≥.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则 (　　)
A.a1=1 B.a3=1
C.a4=1 D.a5=1
【解析】选B.由题意,可得a1·a2·a3·a4·a5=1,
即(a1·a5)·(a2·a4)·a3=1,
又a1·a5=a2·a4=,所以=1,得a3=1.
2.设各项为正数的等比数列{an}中,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,则a3·a6·a9·…·a30= (　　)
A.230 B.210 C.220 D.215
【解析】选C.因为a1·a2·a3·…·a30=230,
所以·q1+2+3+…+29=·=230,
所以a1=,
所以a3·a6·a9·…·a30=·(q3
=×(23)45=220.
3.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则b= (　　)
A.2 B.-2 C.±2 D.4
【解题指南】由实数a,b,c成等比数列,得b2=ac,从而得解.
【解析】选C.由实数a,b,c成等比数列得b2=ac==9-5=4.所以b=±2.
4.设{an}是公比为q的等比数列,令bn=an+1,n∈N+,若数列{bn}的连续四项在集合{53,-23,17,37,82}中,则q等于 (　　)
A.- B.-
C.-或- D.-或-
【解析】选C.由题意知an的连续四项在集合{-54,-24,16,36,81}中,这四项可选择-54,36,-24,16,此时,q=-,若选择16,-24,36,-54,则q=-.
5.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= (　　)
A.12 B.24 C.30 D.32
【解析】选D.设等比数列的公比为q,
则a1+a2+a3=a1=1,
a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积是-80,则这四个数为　　　　. 
【解析】由题意设此四个数分别为,b,bq,a,则b3=-8解得b=-2,q与a可通过解方程组
求出即为或所以四个数为1,-2,4,10或-,-2,-5,-8.
答案:1,-2,4,10或-,-2,-5,-8
7.(2020·佛山高一检测)若等比数列的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20等于　　　　. 
【解析】由题意可得a10a11=a9a12=e5,ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a19a20)=ln=ln e50=50.
答案:50
8.在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,则an=　　　　. 
【解析】在等比数列{an}中,由a4a7=-512得a3a8=-512,又a3+a8=124,解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,因为公比q为整数,所以q==-=-2,故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.
答案:-(-2)n-1
三、解答题(每小题10分,共20分)

9.有三个数成等比数列,其积为27,其平方和为91,求这三个数.
【解析】设这三个数为,a,aq(公比为q),
由已知得
由①得a=3.将a=3代入②得q2+=,
所以9q4-82q2+9=0,令q2=t(t>0),
所以9t2-82t+9=0,得t1=9,t2=.
所以q=±3或q=±.
(1)当q=3时,此数列为1,3,9;
(2)当q=-3时,此数列为-1,3,-9;
(3)当q=时,此数列为9,3,1;
(4)当q=-时,此数列为-9,3,-1.
10.在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
(1)求d,q的值;
(2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由a2=b2,a8=b3,
得即
解方程组得或(舍去)

(2)由(1)知an=1+(n-1)·5=5n-4,
bn=b1qn-1=6n-1.
由an=logabn+b,得5n-4=loga6n-1+b,
即5n-4=nloga6+b-loga6.
比较系数得解得a=,b=1,使得对一切自然数n,都有an=logabn+b成立.

1.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于 (　　)
A.1+　 B.1-　 C.3+2　 D.3-2
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,a1q2=a1+2a1q,q2-2q-1=0,q=1±.因为an>0,
所以q>0,q=1+.所以=q2=(1+)2=3+2.
2.在由实数组成的等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求q.
【解析】方法一:由已知
由②得=512,即a7=8.
将其代入①得2q8-5q4+2=0.
解得q4=或q4=2,即q=±或q=±.
方法二:因为a3a11=a2a12=,
所以=512,即a7=8.所以
即a3和a11是方程x2-20x+64=0的两根,
解此方程得x=4或x=16.
所以或又因为a11=a3·q8,
所以q=±,
即q=±=±或q=±=±.