山东省滕州市第一中学人教A版高中数学必修41.4.3正切函数的性质和图像教案.doc

1.4.3正切函数的性质和图像

一、【教学目标】
重点: 正切函数的主要性质及其图象形状.
难点：利用正切线画出函数的图象,对直线是的渐近线的理解，以及正切函数的单调性理解和证明．
知识点：正切函数的基本性质,以及能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.
能力点：本节课先根据已有的知识研究性质,然后根据性质研究正切函数的图象再回归性质.这样处理是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效的研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现的更加全面.
自主探究点：如何根据利用三角函数线研究正、余弦函数的方法进一步研究正切函数.
考试点：借助正切函数的性质和图像解决相关问题.
易错易混点：对于正切函数没有减区间和正切函数在整个定义域上是不是增函数的问题，学生容易迷惑.
拓展点：通过本节课的学习,让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.
二、【引入新课】
同学们，在前几节课中,我们学习了任意角的正、余弦函数,并借助于它们的图像研究了它们的性质.今天我们将类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学习另外一种三角函数,就是任意角的正切函数.请同学们先自己阅读教材42-43页的内容，并思考以下问题:
问题一: 正切函数如何定义的？正切函数的定义域是什么？怎样作正切线?
问题二：作函数图像的常用的方法有哪些？
问题三 你能否根据正、余弦函数的图象和性质的关系,以同样的方法研究正切函数的性质和图像呢?
【设计意图】开篇点题让学生明确本节课的教学内容,同时学生带着老师的问题阅读教材目标性更强.
三、【探究新知】
在已学知识的基础上,我们可以从一个新的角度来研究正切函数.
(1) 周期性:
由周期函数的定义和诱导公式我们很容易得出 成立,所以正切函数是周期函数,并且最小正周期为.
(2) 奇偶性:
由奇偶性的定义和诱导公式我们很容易得出 成立,所以,正切函数是奇函数.
【设计意图】借助定义和公式来推导这两个性质方法简单,学生很容易接受.
注:以上两个性质除此方法外,也可以利用单位圆中的正切线来讨论.
思考:对于正切函数的单调性、最值、值域等其它性质我们怎么求解更简单呢?结合上两节课研究正余弦函数的方法,我们可以进一步借助于它的图像来研究它的性质是不是更直观呢?
【设计意图】此思考可以把同学引导常规的方法上来.
(3) 正切函数的图象:
探究:结合借助正弦线画正弦函数的方法我们是不是可以借助正切线画正切函数的图象呢?
(1) 把单位圆右半圆分成8等份
(2) 作出这8个角的正切线
(3) 把正切线平移到相应位置
(4) 用光滑的曲线连接
由此,得到在上的图象:如下图
x
y

O

(图一)
思考:在作正余弦函数简图时我们借助于“五点作图法”,那么作正切函数简图我们能否有类似的方法呢?
教师引导学生从图像上分析,在掌握正切图象的走向后,观察直线和点
的作用,由此类比归纳总结作正切函数简图的方法“三点两线法”.
注:这一方法对于以后作正切函数简图非常实用.
由恰好为的一个周期,根据正切函数的周期性,只要把上述图象向左、右扩展,就可以得到正切函数的图象,我们把它叫做正切曲线.如下图:

O
y
x

(图二)
由上图可以看出,正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.正切曲线与直线无限接近但不相交,这里称直线为正切曲线的渐近线
【设计意图】在作出正切曲线的图象之后我们就可以更直观的研究正切函数的其它性质.
(4) 单调性
由(图一)我们可以清楚的得到正切函数在为整函数,又由(图二)和正切函数的周期性可得, 正切函数在每个开区间内都是增函数.
(5) 值域
由(图一)很明显的看出,当大于且无限接近时,正切曲线向无限接近但不相交;同时当小于且无限接近时,正切曲线向无限接近但不相交.因此在内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此正切函数的值域是实数集R
四、【理解新知】
1.正切函数在整个定义域内是不是增函数?
(从图像上看正切函数图象是由被隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的．)
2.正切函数会不会在某一区间内是减函数?
(从图像上看正切函数图象在每一个开区间内都是单调递增的．)
3.在作正弦曲线时用“五点作图法”, 在作正切曲线时用 “三点两线法”.
（以上方法对于作函数简图很实用）
五、【运用新知】
例1:求函数的定义域、周期和单调区间.
分析：,由复合而成,求解可把看成一个整体,运用整体思想可解决定义域和单调区间问题;对于周期性的分析,教科书解答是有技巧的,上升到一般,就是.
教师板书例题的求解过程:
解：函数的自变量应满足即.
所以,函数的定义域是
由于,
因此函数的周期为2.
由
解得
因此,函数的单调区间是.
【设计意图】本例一是体现换元法的重要性;二是让学生进一步理解和运用正切函数的性质.
变式训练1: 求函数的定义域、周期和单调区间.
分析：此题和例1的区别就是变量的系数为负值,而在研究正切函数的性质时正切函数的变量的系数为正值,所以在求解之前应先变号.其余做法和例1相同.
教师板书变式训练1的求解过程:
解：由
函数的自变量应满足即.
所以,函数的定义域是
由于,
因此函数的周期为.由
解得
因此,函数的单调区间是.
【设计意图】明确变量系数为负值时的解决方法,并进一步巩固正切函数的性质.

思考:如果第一步不把的系数转换成正值,计算的结果又如何呢?

例2:借助正切函数的图象和性质解答下列各题:
(1)求使不等式成立的的集合.
(2)比较与的大小
分析：对于(1)先进行变形为,结合图象及单调性和定义域很明显求出结果;
对于(2)先利用诱导公式进行变形,把角化到正切函数的同一单调区间内,然后借助于单调性很容易得到两者的大小关系.

解答过程如下:
(1) 原式可化为,由(图三)可得在内正切值小于等于的取值集合为
再利用正切函数的周期性可得在定义域内满足条件的取值集合为
y

O
x

(图三)
(2)由,
并且,
所以可得<,
因此, >

【设计意图】通过本例(1)学生能进一步认识正切函数的图象与性质的关系, 充分体现数形结合思想的重要性,对于(2)进一步体现诱导公式和性质的综合应用.
变式训练2: 借助正切函数的图象和性质解答下列各题:
(1)求函数的定义域.
(2)比较与的大小
解答过程：
（1） 由题意可得即.
在上,满足上述不等式的的取值范围是,

由于周期为,所以该函数的定义域为.
学习心得:在求解有关正切函数的定义域时,要首先考虑正切函数本身的定义域,然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式组.另外,解不等式是充分利用三角函数的图象或三角函数线.
（2）由,

且,所以,
即
【设计意图】进一步加深学生对正切函数图像与性质和诱导公式的认识.
六、【课堂小结】
1．知识：利用诱导公式和正切线进一步研究正切函数的性质与图象问题.
2．思想：数形结合的思想, 让学生进一步感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙．
【设计意图】让学生学会学习,学会反思,学会总结.同时应加强对学生在数学知识与思想方法的认识与指导.
七、【布置作业】
必做题：1.求函数的定义域、周期和单调区间.
2. 设函数,求使不等式成立的解集.
选做题：1.探究函数与的定义域、值域、周期和单调区间．
2.画出函数的图象,并根据图象求出该函数的定义域、值域、周期和单调区间．
八、【教后反思】
1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学生去利用诱导公式和正切线去研究正切函数的性质与图象. 在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图象进行研究，让学生感受数形结合的重要性.通过例题的讲述,变式训练的加强,作业的巩固大部分同学已经能掌握正切函数的性质与图象并能进一步巩固数形结合的思想.
2. 本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾:比如,想让学生了解的内容过多,而对学生的估计不足,使得在教学过程中,未能充分发挥学生的主观能动作用,教学中未能完全放开.
九、【板书设计】

1.4.3正切函数的性质和图像
一、引入新课
二、探究新知
(1)周期性
(2)奇偶性
(3)正切函数的图象
(4)值域
(5)单调性与最值
三、理解新知：
四、运用新知
例1:
变式训练1:
例2:
变式训练2:
五、课堂小结
1．知识：
2．思想：
六、布置作业
必做题： 1. 2.
选做题： 1. 2.