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2021-2022学年高中物理 第1章 运动的描述 习题课1 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式教案 教科版必修1

2021-2022学年高中物理 第1章 运动的描述 习题课1 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式教案 教科版必修1

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习题课1 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式
[学习目标]　1.掌握三个平均速度公式及其适用条件．　2.会应用平均速度公式求解相关问题．　3.会推导Δx＝aT2并会用它解决相关问题．

匀变速直线运动的平均速度公式

1．三个平均速度公式及适用条件
(1)＝，适用于所有运动．
(2)＝，适用于匀变速直线运动．
(3)＝v，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．
2．对＝v＝的推导
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为vt.
由x＝v0t＋at 2得， ①
平均速度＝＝v0＋at. ②
由速度公式vt＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a， ③
由②③得＝v. ④
又vt＝v＋a， ⑤
由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.
【例1】　从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车共历时20 s，行进50 m，求其最大速度．
思路点拨：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动，中间的最大速度既是第一阶段的末速度，又是第二阶段的初速度．
[解析]　法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2－a2t，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即＝＝
由x＝t得vmax＝＝5 m/s.
法三：(图像法)作出运动全过程的v­t图像如图所示，v­t图像与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝，则vmax＝＝5 m/s.
[答案]　5 m/s

应用推论＝v＝解题时应注意
(1)推论＝v＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式．
(2)该推论是求瞬时速度的常用方法．
(3)当v0＝0时，v＝；当v＝0时，v＝.

1．飞机在航空母舰上起飞时，在6 s的时间内从30 m/s的弹射速度加速到起飞速度50 m/s，求航空母舰飞行甲板的最小长度．
[解析]　飞机起飞过程的平均速度
＝＝ m/s＝40 m/s
飞行甲板的最小长度x＝t＝40×6 m＝240 m.
[答案]　240 m

位移差公式Δx＝aT2

1．匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
2．推导：x1＝v0T＋aT 2，x2＝v0·2T＋a·T 2，x3＝v0·3T＋aT 2…，
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT 2；
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT 2；
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT 2…，
故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2…，
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
【例2】　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度大小和末速度大小及加速度大小．
思路点拨：①“连续相等的两个时间间隔内”→时间T相同且T＝4 s

[解析]　方法一：基本公式法
x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得
a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
方法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为：
＝＝ m/s＝6 m/s，
＝＝ m/s＝16 m/s.
且＝，＝，
由于B是A、C的中间时刻，则
vB＝＝＝ m/s＝11 m/s.
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
其加速度为：a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.
方法三：位移差法
由Δx＝aT2可得
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2 ①
又x1＝vAT＋aT2 ②
vC＝vA＋a·2T ③
由①②③式解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
[答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2

(1)Δx＝aT2只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题.
(2)Δx＝aT2常用于实验中，根据打出的纸带求物体的加速度.

2．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是 (　　)
A．20 m　　　　　　 B．24 m
C．25 m D．75 m
C　[设汽车的初速度为v0，加速度为a.根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得：x2－x1＝aT2
得a＝＝ m/s2＝－2 m/s2.
根据第1 s内的位移：x1＝v0t＋at2，代入数据得，9＝v0×1＋×(－2)×12，
解得v0＝10 m/s.
汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s.
则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为x＝t0＝×5 m＝25 m.
故C正确，A、B、D错误．]

1．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则 (　　)
A．前3 s的位移是6 m
B．3 s末的速度是3.6 m/s
C．3 s内的平均速度是2 m/s
D．第5 s内的平均速度是5.4 m/s
BD　[由位移公式x＝at2知，第3 s内的位移为a×32 m－a×22m＝3 m，故加速度a＝1.2 m/s2，所以前3 s 的位移x＝×1.2×32 m＝5.4 m，A错；第3 s末的速度v＝at＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，B对；3 s内的平均速度＝＝ m/s＝1.8 m/s，C错；第5 s内的平均速度等于第4.5 s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5 m/s＝5.4 m/s，D对．]
2．(多选)汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4 s末通过C点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s到达B点停止，总共通过的位移是30 m，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车在AC段与BC段的平均速度相同
B．汽车通过C点时的速度为3 m/s
C．汽车通过C点时的速度为6 m/s
D．AC段的长度为12 m
ACD　[设汽车通过C点时的速度为vC，由＝可知，汽车在AC段与BC段的平均速度均为＝，A正确；由t1＋t2＝xAB，t1＋t2＝10 s可得vC＝6 m/s，C正确，B错误；由xAC＝t1可得：xAC＝12 m，D正确．]
3．一辆汽车做匀加速直线运动，经过路旁两棵相距50 m的树共用时间5 s，它经过第二棵树时的速度是15 m/s，则它经过第一棵树时的速度是 (　　)
A．2 m/s　　　　　　　 B．10 m/s
C．5 m/s D．2.5 m/s
C　[汽车的平均速度为：＝＝ m/s＝10 m/s，因为＝，则汽车经过第一棵树时的速度为：v1＝2－v2＝2×10 m/s－15 m/s＝5 m/s.故C正确，A、B、D错误. ]
4．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v­t图像如图所示．在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
A　[根据v­t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v­t图像的斜率的绝对值反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．]
5．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s末的速度；
(2)质点2 s末的速度.
[解析]　解法一：利用平均速度公式
4 s内的平均速度＝＝，
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s
2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.
解法二：利用两个基本公式
由x＝v0t＋at2得
a＝1.5 m/s2
再由v＝v0＋at得
质点4 s末的速度v4＝(2＋1.5×4)m/s＝8 m/s
2 s末的速度v2＝(2＋1.5×2)m/s＝5 m/s.
[答案]　(1)8 m/s　(2)5 m/s