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第6章 热力学基础
计算题
6-3 1mol单原子分子理想气体，盛于气缸内，此气缸装有可活动的活塞。已知气体的初压强为Pa，体积为10-3m3。现将该气体在等压下加热，直到体积为原来的2倍，然后再在等容下加热，到压强为原来的2倍，最后作绝热膨胀，使温度降为起始温度。
(1) 将整个过程在p-V图上表示出来；
（2）整个过程气体内能的改变量；
（3）整个过程气体对外作的功。

[分析] 热力学第一定律在等压、等体和绝热过程中的应用. 注意各等值过程的特征, 内能是状态量, 功和热量都是过程量.
[解] (1) 按题意作出整个过程的p－V图如解6-3图所示. 图中虚线为等温线.
(2) 因为 ,
所以整个过程气体内能的改变量
(3) 整个过程气体对外作的功

等压过程的功

J
等体过程的功 解6-3图
绝热过程的功
因为 , 而, ,
所以 J
整个过程的功
J

6-4 1mol双原子理想气体，从状态A沿p-V图所示的直线变化到状态B，试求：
（1）气体内能的增量；
（2）气体对外界所作的功A；
（3）气体吸收的热量；
（4）此过程的摩尔热容量。

[分析] A→B过程是一个任意过程。内能只与A、B状态的温度有关；功在数值上等于过程曲线与V轴所围面积的大小；由热力学第一定律可求得热量, 再由摩尔热容的定义求此过程的摩尔热容量。
[解] (1) 内能的增量
题6-4图
(2) 气体对外作的功A, 数值上等于过程曲线与V轴所围面积的大小

因为 , 即
所以
(3) 气体吸收的热量

(4) 此过程的摩尔热容量

6-5已知某理想气体在某一准静态过程中的摩尔热容为。试求此过程的过程方程。（式中为摩尔定容热容）

[分析] 求过程方程即p(V)关系。由摩尔热容的定义、热力学第一定律的微分形式和理想气体物态方程消去dT, 再积分即可。
[解] 根据摩尔热容的定义, 有

得 ①
对该过程的任一微小过程, 由热力学第一定律, 有
②
由①、②得 ③
理想气体物态方程 两边微分, 有
④
③、④两式消去得

两边积分得 恒
上式就是所求的过程方程, 是一个多方过程.

6-6 1mol氧气，温度为300K时，体积为2.0×10-3 m3。试求下列两个过程中氧气所作的功：
（1）绝热膨胀至体积为2.0×10-3 m3；
（2）等温膨胀至体积为2.0×10-3 m3，然后再等容冷却，直到温度等于绝热膨胀后所达到的温度为止；
将上述两过程在p – V图上表示出来，说明两过程中功的数值的差别。

[分析] 热力学第一定律在绝热、等体和等温过程中的应用。
[解] 按题意作出整个过程的p－V图如解6-6图所示.
(1) 绝热膨胀过程a→c
由绝热过程方程
得 K
由热力学第一定律 解6-6图

J
(2) 等温膨胀过程a→b

J
等体过程b→c, 气体不作功.
a→b→c过程的总功为 J
计算表明: 等温过程氧气作功比绝热过程作功大. 因为功, 在等温过程中温度不变, 压强仅随V的增大而减小. 而在绝热过程中, 气体对外作功是以消耗内能为代价的, 内能减少, 势必减低气体的温度. 故压强随温度降低, . 所以等温膨胀过程作功比绝热膨胀过程作功大.

6-9 如图所示，AB、DC是两绝热过程，CQA是等温过程。已知系统在CQA过程中放热100 J，QAB的面积是30J，QDC的面积为70J。试问在BQD过程中系统是吸热还是放热？热量是多少？

[分析] QDC包围的面积所对应的净功值大于0, 而QAB为逆循环, 其包围的面积所对应的净功值小于0, 即外界对系统作功。热力学第一定律应用于整个循环, 并注意到整个循环, 便可求得整个循环系统从外界吸收的热量。又因为AB、DC是两绝热过程, CQA过程放热, 故BQD过程系统必吸热。
[解] 整个循环
整个循环系统对外作的净功
J 题6-9图
热力学第一定律应用于整个循环, 得整个循环系统从外界吸收的净热量
J
由于AB、DC绝热, CQA过程放热J, 故BQD过程系统必吸热, 设为, 则
因为
所以 J

第7章 气体动理论

思考题
7-7 用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数表示下列各量
（1）速率大于的分子数；
（2）速率大于的那些分子的平均速率；
（3）分子速率倒数的平均值。

[提示] （1）速率大于的分子数；
（2）速率大于的那些分子的平均速率；
（3）分子速率倒数的平均值。

7-6 下列说法中正确的是（ C ）
（A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它；
（B）表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运动的平均动能；
（C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下它们的速率满足；
（D）气体分子的速率等于最概然速率的概率最大。

计算题
7-1 一打气筒，每打一次可将压强为Pa，温度为t0 = -3.0℃，体积V0 = 4.0L 的空气压缩到容积V = 1.5×103L的容器中，问需打几次气，才能使容器内的空气温度变为t = 45℃，压强Pa。假设未打气前容器中原来就有温度为 45℃，压强为Pa的空气。

[分析] 理想气体物态方程的应用。
[解] 设空气的摩尔质量为M, 打一次气能把质量为的气体送入容器中，由理想气体物态方程，有

容器中原有空气的质量为
容器中最后所含有的空气质量为
送入容器中的空气总质量为

所以，需打气的次数为

次

7-4 体积为V的房间与大气相通，开始时室内与室外温度均为T0，压强均为p0, 现使室内温度降为T，则房内气体内能的增量是多少？摩尔数的增量是多少？（空气视为理想气体）

[分析] 内能是温度的单值函数，本题虽然温度变了，但因房间与大气相通，室内空气的压强和体积没有改变，由内能公式和理想气体物态方程求解。
[解] 内能的增量

摩尔数的增量

7-7 设为N个（N很大）分子组成的系统的速率分布函数。
（1）分别写出题7-7图（a）、(b)中阴影面积对应的数学表达式并回答其物理意义；
（2）设分子质量为m，试用表示以下各量：
① 分子动量大小的平均值； ②分子平动动能的平均值。

题7-7图
[分析] 根据麦克斯韦速率分布曲线的物理意义求解。
[解] （1）题7-7图（a）中阴影面积对应的数学表达式为

它表示给定温度的平衡态下，速率小于的气体分子数占总分子数的比率。
图（b）中阴影面积对应的数学表达式为

它表示给定温度的平衡态下，速率在－之间的气体分子数占总分子数的比率。
(2) ① 分子动量大小的平均值

② 分子平动动能的平均值。

7-9 计算温度为7℃时，空气分子速率在400～440m/s区间内的分子数占总分子数的百分率为多少？

[分析] 本题未告知速率分布函数，但通常可以将空气视为理想气体。其分布应服从麦克斯韦速率分布律。
[解] 设空气为理想气体，摩尔质量为kg；在温度T = 280 K的平衡态下，其速率分布函数为：

则在400～440m.s-1速率区间内的空气分子的百分数为

因为最概然速率
m/s
则原来的速率区间400～440m.s-1可改写为—+0.1。
而 ，
这样

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