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2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 5.6 第2课时 画函数y=Asin的图象课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 5.6 第2课时 画函数y=Asin的图象课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

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第2课时　画函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课后训练巩固提升
A组
1.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是(　　)

解析:本题用排除法,对于D选项,由振幅|a|>1,可知周期T=2π|a|应小于2π,与图中T>2π矛盾.故选D.
答案:D
2.设g(x)的图象是由函数f(x)=cos 2x的图象向左平移π3个单位长度得到的,则gπ6等于(　　)
A.1 B.-12 C.0 D.-1
解析:由f(x)=cos2x的图象向左平移π3个单位长度得到的是g(x)=cos2x+π3的图象,则gπ6=cos2π6+π3=cosπ=-1.故选D.
答案:D
3.先把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移π6个单位长度,得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)的图象,则ω和φ的值分别为(　　)
A.1π3 B.2,π3 C.12,π6 D.12,π3
解析:依题意得函数g(x)=2cosωx2+ωπ12+φ.
因为函数g(x)的最小正周期为2π,所以ω=2.
即g(x)=2cosx+π6+φ.
又因为函数g(x)为奇函数,
所以φ+π6=kπ+π2(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=π3.
答案:B
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　)

A.y=sin4x+π6 B.y=sin4x+π3
C.y=sinx+π6 D.y=sinx+π12
解析:结合题中图象可知函数f(x)=sin2x+π6,其图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),则得到g(x)=sin4x+π6的图象.
答案:A
5.将函数y=2sin23x+3π4图象上所有点的横坐标缩短到原来的13,纵坐标不变,再向右平移π8个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=π4
B.函数g(x)的图象的一个对称中心是π2,0
C.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=π2
D.函数g(x)的图象的一个对称中心是π8,0
解析:将函数y=2sin23x+3π4图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变),可得y=2sin2x+3π4的图象,再向右平移π8个单位长度,得到函数y=g(x)=2sin2x-π4+3π4=2cos2x的图象,
令x=π4,得g(x)=0,故点π4,0是g(x)的图象的一个对称中心,故排除选项A;
令x=π2,得g(x)=-1,故直线x=π2是g(x)的图象的一条对称轴,故排除选项B,选项C正确;令x=π8,得g(x)=2,可得x=π8不是g(x)的图象的对称中心的横坐标,故排除选项D.
答案:C
6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=　　　　　. 

解析:由题中图象知函数y=sin(ωx+φ)的周期为22π-3π4=5π2,所以2πω=5π2,所以ω=45.
因为当x=3π4时,y有最小值-1,
所以45×3π4+φ=2kπ-π2(k∈Z).
又-π≤φ<π,所以φ=9π10.
答案:9π10
7.将函数y=cos 2x的图象向右平移π3个单位长度,所得图象对应的解析式为　　　　　. 
解析:由题意可知所得图象对应的解析式为y=cos2x-π3=cos2x-2π3.
答案:y=cos2x-2π3
8.把函数y=2sinx+2π3的图象向左平移m个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则m的最小正值是　　　　　. 
解析:把y=2sinx+2π3的图象向左平移m个单位长度,得到y=2sinx+m+2π3的图象,由其图象关于y轴对称,可得m+2π3=kπ+π2,k∈Z,即m=kπ-π6,k∈Z.
故当k=1时,m的最小正值为5π6.
答案:5π6
9.已知函数f(x)=3sin12x-π4,x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.
(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?

解:(1)函数f(x)的周期T=2π12=4π.
由12x-π4=0,π2,π,3π2,2π,分别解得x=π2,3π2,5π2,7π2,9π2.
列表如下:
x
π2
3π2
5π2
7π2
9π2
12x-π4
0
π2
π
3π2
2π
3sin12x-π4
0
3
0
-3
0

描出五个关键点并用光滑的线连起来,得到一个周期的简图.图象如下:

(2)先把y=sinx的图象向右平移π4个单位长度,再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),最后把所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变),得到f(x)的图象.
B组
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12,图象在y轴上的截距为3,给出下列四个结论:

①f(x)的最小正周期为π;②f(x)的最大值为2;③fπ4=1;④fx-π6为奇函数.
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由题中图象可知函数f(x)的最小正周期T=27π12-π12=π,则ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ).
又由fπ12=A,即fπ12=Asin2×π12+φ=Asinπ6+φ=A,
所以sinπ6+φ=1,由0<φ<π,解得φ=π3,
即f(x)=Asin2x+π3.
又由f(0)=3,即Asinπ3=3,所以A=2,
即f(x)=2sin2x+π3.
所以函数f(x)的最大值为2.所以①②正确.
又由fπ4=2sin2×π4+π3=2cosπ3=1,所以③正确.
又由fx-π6=2sin2x-π6+π3=2sin2x为奇函数,所以④正确.
所以正确结论的个数为4,故选D.
答案:D
2.如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为点A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达点P,则点P到点A的距离与点P的高度之和为(　　)

A.5米 B.(4+7)米
C.(4+17)米 D.(4+19)米
解析:以圆心O1为原点,以水平向右的方向为x轴正方向,以竖直向上的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系如图所示.

设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t).由题意可知周期T=12,
所以θ=π6t.所以f(t)=3-2cosπ6t(t≥0).
因为风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达点P,所以θ=6π+2π3,P(3,1).
所以点P的高度为3-2×-12=4.
因为A(0,-3),所以AP=3+16=19.
所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4+19)米,故选D.
答案:D
3.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=2π3对称,它的周期是π,则(　　)
A.f(x)的图象过点0,12
B.f(x)在5π12,2π3上单调递减
C.f(x)图象的一个对称中心是5π12,0
D.f(x)的最大值是A
解析:∵周期T=π,∴2πω=π,∴ω=2.
又f(x)的图象关于直线x=2π3对称,
∴2×2π3+φ=π2+kπ(k∈Z).又|φ|<π2,
∴φ=π6.∴f(x)=Asin2x+π6,
∴f(x)的图象过点0,A2.∴选项A不正确.
又当x=5π12时,2x+π6=π,即f5π12=0,
∴点5π12,0是f(x)图象的一个对称中心.故选项C正确.
∵A的正负不确定,∴选项B,D不正确.
答案:C
4.在函数y=-2sin4x+2π3的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是　　　　　. 
解析:当y=0时,sin4x+2π3=0,
∴4x+2π3=kπ(k∈Z).
∴x=kπ4-π6(k∈Z).取k=0,
则x=-π6;取k=1,则x=π12.
∴离原点最近的交点坐标是π12,0.
答案:π12,0
5.若在函数y=sinωx+π4(ω>0)图象的对称轴中,与y轴距离最小的对称轴方程为x=π6,则实数ω的值为　　　　　. 
解析:令ωx+π4=π2+kπ(k∈Z),得函数y图象的对称轴方程为x=kπω+π4ω(k∈Z).
根据题意得k=0,故π4ω=π6,解得ω=32.
答案:32
6.利用“五点法”画出函数y=2sin2x-π4,x∈π8,9π8的图象,并写出图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围.
解:因为x∈π8,9π8,所以0≤2x-π4≤2π.
列表如下:
2x-π4
0
π2
π
3π2
2π
x
π8
3π8
5π8
7π8
9π8
2sin2x-π4
0
2
0
-2
0

描点、连线作图如下:

由y=2sin2x-π4>1,得sin2x-π4>12.
又2x-π4∈[0,2π],所以π6<2x-π4<5π6,
解得5π24
7.一个缆车示意图如图所示,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角θ到OB.设点B与地面距离是h.

(1)求h与θ之间的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.
解:(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意可知以Ox为始边,OB为终边的角为θ-π2,
故点B坐标为4.8cosθ-π2,4.8sinθ-π2.
所以h=5.6+4.8sinθ-π2.
(2)因为点A在圆上转动的角速度是π30,所以ts转过的弧度数为πt30.所以θ=πt30.
所以h=5.6+4.8sinπt30-π2,t∈[0,+∞).
令h=5.6+4.8sinπt30-π2=10.4,
得sinπt30-π2=1.所以πt30-π2=π2+2kπ,k∈Z.
所以t=30+60k,k∈Z.令k=0,得t=30s.
所以缆车到达最高点时,用的时间最少为30s.