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第一章 光的电磁理论
1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=102Cosπ×1014t-xc+π2，（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。
解：由Ex=0，Ey=0，Ez=102Cosπ×1014t-xc+π2，则频率υ= ω2π =π×10142π=0.5×1014Hz， 周期T=1/υ=2×10-14s， 初相位φ0=+π/2（z=0，t=0）， 振幅A=100V/m，
波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。

1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=2Cos2π×1014zc-t+π2，Ez=0求：（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？
解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=ω2π=2π×10142π=1014Hz，波长λ=cυ=3×1081014=3×10-6m，原点的初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y轴；（3）由B=1cek×E，可得By=Bz=0，Bx=2cCos2π×1014zc-t+π2

1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=102Cosπ×1015z0.65c-t，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。
解：（1）υ=ω2π=π×10152π=5×1014Hz；
（2）λ=2πk=2ππ×1015/0.65c=2×0.65×3×1081015m=3.9×10-7m=390nm；
（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=cv=c0.65c≈1.54
1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的k方
向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。
解：（1）由E=Aexpik∙r，可得E=Aexp⁡ikycosθ+zsinθ；
（2）同理：发散球面波Er，t=Arexp⁡ikr=A1rexp⁡ikr，
汇聚球面波Er，t=Arexp⁡-ikr=A1rexp⁡-ikr。
1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45º，试写出E，B表达式。
解：E=Eyey+Ezez，其中
Ey=10expi2πλx-2πυt
=10expi2πυcx-2πυt
=10expi2π×4×10143×108x-2π×4×1014t
=10expi83×106πx-3×108t，
同理：Ez=10expi83×106πx-3×108t。
B=1ck0×E=-Byey+Bzez，其中
Bz=103×108expi83×106πx-3×108t=By。

1.6一个沿k方向传播的平面波表示为E=100expi2x+3y+4z-16×105t，试求k方向的单位矢k0。
解：k=22+32+42=29，
又k=2ex+3ey+4ez，
∴k0=1292ex+3ey+4ez。

1.9证明当入射角θ1=45º时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有rp=rs2。
证明：rs=sinθ1-θ2sinθ1+θ2=sin45ºcosθ2-cos45ºsinθ2sin45ºcosθ2+cos45ºsinθ2
=cosθ2-sinθ2cosθ2+sinθ2=1-tanθ21+tanθ2
rp=tanθ1-θ2tanθ1+θ2
=tan45º-tanθ2/1+tan45ºtanθ2tan45º+tanθ2/1-tan45ºtanθ2=1-tanθ21+tanθ22=rs2
1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。
证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90º，
设空气和玻璃的折射率分别为n1和n2，先由空气入射到玻璃中则有n1sinθ=n2sinⅈ，再由玻璃出射到空气中，有n2sinθ'=n1sini'，
又θ'=ⅈ，∴n1sini'=n1sinθ⇒i'=θ，
即得证。
1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃n=1.5上，求：（1）能流反射率Rp和RS；（2）能流透射率Tp和Ts。
解：由题意，得n=n2n1=1.5，
又θ为布儒斯特角，则θ+ⅈ=90°.....①
n1sinθ=n2sini⇒sinθ=nsini..... ②
由①、②得，θ=56.31°，i=33.69°。
（1）Rp=tan2θ-ⅈtan2θ+i=0，
Rs=sin2θ-ⅈsin2θ+ⅈ=0.148=14.8%，
（2）由Rp+Tp=1，可得Tp=1，
同理，Ts=85.2%。

1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时，tp=1n，其中n=n2∕n1。
证明：tp=2sinθ2cosθ1sinθ1+θ2cosθ1-θ2，因为θ1为布儒斯特角，所以θ2+θ1=90°，
tp=2sinθ2cosθ1sin90°cosθ1-θ2=2sinθ2cosθ1cos90°-θ2-θ2
=2sinθ2cosθ1sin2θ2=2sinθ2cosθ12sinθ2cosθ2=sinθ2sinθ1，又根据折射定律n1sinθ1=n2sinθ2，得sinθ2sinθ1=n1n2=1n，
则tp=1n，其中n=n2∕n1，得证。

1.17利用复数表示式求两个波E1=acoskx+ωt和E2=-acoskx-ωt的合成。
解：E=E1+E2=acoskx+ωt-coskx-ωt
=aexpikx+ωt-aexpikx-ωt
aexpikxeiωt-e-iωt
=2asinωtexpⅈcoskx-sinkx
=-2aexpikx+π2sinωt。
1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为E1=a1cosφ1-ωt和E2=a2cosφ2-ωt。若ω=2π×1015Hz，a1=6V/m，a2=8V/m，φ1=0，φ2=π∕2，求该点的合振动表达式。
解：E=E1+E2=a1cosφ1-ωt+a2cosφ2-ωt=6cos-2π×1015t+8cosπ2-2π×1015t
=6cos2π×1015t+8sⅈn2π×1015t
=10cosarccos610-2π×1015t
=10cos53°7'48''-2π×1015t。
1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。
解：由图可知，Ez=z0···)。
1.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式。
解：由图可知，Ez=1-λ∕az=0，
Am=2λ0λEzcosmkzⅆz=0，
Bm=2λ0λEzsⅈnmkzⅆz，
=2λ0λsinmkzⅆz-λ∕2λsinmkzⅆz
=1πm2-2cosmπ，
所以Ez=1πm=1∞1m2-2cosmπsinmkz
=4πsinkz+13sin3kz+15sin5kz+···

1.23氪同位素kr86放电管发出的红光波长为λ=605.7nm，波列长度约为700mm，试求该光波的波长宽度和频率宽度。
解：由题意，得，波列长度2L=700mm，
由公式Δλ=λ22L=605.72700×106=5.2×10-4nm，
又由公式2L=c/Δν，所以频率宽度Δν=

c2L=3×108700×10-3Hz=4.3×108Hz。

1.24某种激光的频宽Δv=5.4×104Hz，问这种激光的波列长度是多少？
解：由相干长度Dmax=λ2Δλ=cΔν，所以波列长度2L=λ2Δλ=cΔν=3×1085.4×104=5.55×103m。
第二章 光的干涉及其应用
2.1在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度h=0.01mm，折射率n=1.5，若光波波长为500nm，试计算插入玻璃片前后光束光程和相位的变化。
解：由时间相干性的附加光程差公式Δ=n-1h
=1.5-1×0.01mm=0.005mm，
δ=2πλΔ=2π500×10-6×0005=20π。
2.2在杨氏干涉实验中，若两小孔距离为0.4mm，观察屏至小孔所在平面的距离为100cm，在观察屏上测得的干涉条纹间距为1.5cm，求所用光波的波。
解：由公式ⅇ=λDd，得光波的波长
λ=ⅇdD=1.5×10-3×0.4×103100×10-2m=6×10-7m=600nm。
2.3波长为589.3nm的钠光照射在双缝上，在距双缝100cm的观察屏上测量20个干涉条纹的宽度为2.4cm，试计算双缝之间的距离。
解：因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹的宽度为ⅇ=2.420cm。又由公式ⅇ=λDd，得双缝间距离d=λDⅇ=589.3×10-6×100×1010×2.4∕20mm=0.491mm。
2.4设双缝间距为1mm，双缝离观察屏为1m，用钠光照明双缝。钠光包含波长为λ1=589nm和λ2=589.6nm两种单色光，问两种光的第10级亮条纹之间的距离是多少？
解：因为两束光相互独立传播，所以λ1光束第10级亮条纹位置x1=mλ1Dd，λ2光束第10级亮条纹位置x2=mλ2Dd，所以间距l=x2-x1=mDdλ2-λ1
=10×10001×589.6-589×10-6=6×10-3mm。
2.5在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置n1=1.4和n2=1.7，厚度同为t的玻璃片后，原来中央极大所在点被第5级亮纹所占据。设λ=480nm，求玻璃片厚度t以及条纹迁移的方向。
解：由题意，得 n2-n1t=5λ，
所以t=5λn2-n1=5×480×10-91.7-1.4=8×10-6m=8μm，
条纹迁移方向向下。
2.6在杨氏双缝干涉实验装置中，以一个长30mm的充以空气的气室代替薄片置于小孔s1前，在观察屏上观察到一组干涉条纹。继后抽去气室中空气，注入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了25个。已知照明光波波长为656.28nm，空气折射率na=1.000276，试求注入气室内的气体的折射率。
解：设注入气室内的气体的折射率为n，则
n-nah=25λ，所以n=25λh+na
=25×656.28×10-930×103+1.000276
=5.469×10-4+1.000276=1.000823。
2.7杨氏干涉实验中，若波长λ=600nm，在观察屏上形成暗条纹的角宽度为0.02°，（1）试求杨氏干涉中二缝间的距离？（2）若其中一个狭缝通过的能量是另一个的4倍，试求干涉条纹的对比度？
解：角宽度为ω=0.02°×180π，
所以条纹间距ⅇ=λω=6000.02°×180π=1.72mm。
由题意，得 I1=4I2，所以干涉对比度
K=2I1∕I21+I1∕I2=2×4I2∕I21+4I2∕I2=45=0.8
2.8若双狭缝间距为0.3mm，以单色光平行照射狭缝时，在距双缝1.2m远的屏上第5级暗条纹中心离中央极大中间的间隔为11.39mm，问所用的光源波长为多少？是何种器件的光源？
解：由公式x=m+12λDd，所以λ=xdDm+12
=11.39×10-3×0.3×10-312×4+0.5m=632.8nm。
此光源为氦氖激光器。

2.12在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为2mm的圆形光源。光源发光的波长为500nm，它到小孔的距离为1.5m。问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少？
解：因为是圆形光源，由公式bc=1.22λl∕d，
则d=1.22λlbc=1.22×500×10-6×1.5×1032=0.46mm。
2.13月球到地球表面的距离约为3.8×105km，月球的直径为3477km，若把月球看作光源，光波长取500nm，试计算地球表面上的相干面积。
解：相干面积A=π0.61×lbc2
=π×0.61×500×10-6×3.8×10113.477×1092
=3.49×10-3mm2。
2.14若光波的波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：Δνν=Δλλ。式中，ν和λ分别为光波的频率和波长。对于波长为632.8nm的氦氖激光，波长宽度为Δλ=2×10-8nm，试计算它的频率宽度和相干长度。
解：证明：由Dmax=cΔt=λ2Δλ，则有
c-Δν=λ2Δλ⇒-Δλλ=λΔνc⇒Δλλ=-Δν⋅c∕νc
⇒Δλλ=-Δνν（频率增大时波长减小），取绝对值得证。
相干长度Dmax=λ2Δλ=632.822×10-8=2.0×1013nm=20km，
频率宽度Δν=cDmax=3×10820×103Hz
=1.5×104Hz。

2.15在图2.22（a）所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为h=3mm和n=1.5，望远镜的视场角为6°，光的波长λ=450nm，问通过望远镜能够看见几个亮纹？
解：设能看见N个亮纹。从中心往外数第N个亮纹对透镜中心的倾角θN，成为第N个条纹的角半径。设m0为中心条纹级数，q为中心干涉极小数，令m0=m+q(m∈z, 0≤q<1)，从中心往外数第N个条纹的级数为m-N-1=m0-N-1-q，则
Δ中=2nh+λ2=m0λ=m+qλΔN=2nhcosθN+λ2=m-N-1λ，
两式相减，可得2nh1-cosθN=N-1+qλ，利用折射定律和小角度近似，得θN=1n'NλhN-1+q，(n' 为平行平板周围介质的折射率)
对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为D=2ah+λ2=2×1.5×3×106+4502nm=2×104+12×450nm。因此，视场中心是暗点。由上式，得N=hθN2nλ=3×106×π×3°180°21.5×450=12.1，因此，有12条暗环，11条亮环。

2.16一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度均匀的折射率为n=1.5 的薄膜上，发现反射光谱中出现波长为400nm和600nm的两条暗线，求此薄膜的厚度？
解：光程差Δ=n-1h=λ2-λ1，
所以h=λ2-λ1n-1=600-400×10-31.5-1μm=0.4μm
2.17用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm的范围内共有15个亮条纹，玻璃折射率n=1.52，所用单色光波长λ=600nm，问此光楔的楔角为多少？
解：由公式ⅇ=λ2nα，所以楔角α=λ2nⅇ，
又ⅇ=515cm=13cm，
所以α=600×10-913×10-2×1.52rad=5.92×10-5rad。

2.18利用牛顿环测透镜曲率半径时，测量出第10个暗环的直径为2cm，若所用单色光波长为500nm，透镜的曲率半径是多少？
解：由曲率半径公式R=r2Nλ
=22×10-2210×500×10-9m=20m。

2.19F-P干涉仪两反射镜的反射率为0.5，试求它的最大透射率和最小透射率。若干涉仪两反射镜以折射率n=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考虑系统吸收）
解：当反射率R=0.5 时，由光强公式
IMt=I，Imt=1-R24R+1-R2I(i)
可得最大透射率TM=1；
最小透射率Tm=1-R24R+1-R2=0.11。
当用玻璃平板代替时，n=1.6 ，则
Rn=n-1n+12=1.6-11.6+12
所以TM'=1 ，Tm'=1-Rn24Rn+1-Rn2≈0.81。

2.20已知一组F-P标准具的间距分别为1mm和120mm，对于λ=550.0nm 的入射光而言，求其相应的标准具常数。如果某激光器发出的激光波长为632.8nm，波长宽度为0.001nm，测量其波长宽度时应选用多大间距的标准具？
解：Δλ1S.R=λ22h1=55022×1×106=0.15nm，
Δλ2S.R=λ22h2=55022×120×106=0.0013nm，
h3=λ'22Δλ3S.R=632.822×0.001=2×108nm=200mm。
2.21有两个波长λ1和λ2，在600nm附近相差0.0001nm，要用F-P干涉仪把两谱线分辨开来，间隔至少要多大？在这种情况下，干涉仪的自由光谱范围是多少？设反射率R=0.98。
解：由分辨极限公式Δλm=λ22πh1-RR，得
F-P干涉仪间隔h=λ22πΔλm1-RR
=60022π×0.0001×10-9×1-0.980.98mm=11.58mm
自由光谱范围ΔλS.R=λ22h1=60022×11.58×106=0.0155nm。

2.22在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为5λ04（λ0=550nm）的介质膜。问：（1）介质膜的作用？（2）求此时可见光区（390~780nm）反射最大的波长？
解：（1）作用：因为上下表面光程差2nh=2×5λ4=2+12λ0，所以该介质膜对λ0的反射达到最小，为增透膜；（2）由nh=5λ04，可知，对波长为λ0，δ=5π，R=n0-nG2cos2δ2+n0nGn-n2sin2δ2n0+nG2cos2δ2+n0nGn+n2sin2δ2，反射最大的波长满足2nh=2×5λ4=mλ，则λ=5λ02m ，取m=2,3 时则符合条件的可见光的波长分别为687.5nm和458.3nm。

2.23在玻璃基片上镀两层光学厚度为λ0∕4的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，为了达到在正入射下膜系对λ0全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少？（玻璃基片的折射率nG=1.6）
解：由题意，得n1=1.35，nG=1.6，n0=1，
要使膜系对λ0全增透，由公式
n2=nGn0n1=1.61×1.35=1.71。

第三章 光的衍射与现代光学
3.1波长λ=500nm 的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔，在光轴（它通过方孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅禾费衍射区德大致范围。
解：要求k⋅x12+y12max2z≪π，又k=2πλ ，
所以z≫x12+y12maxλ=3×10-222500×10-9m=900m。

3.5在白光形成的单缝的夫琅禾费衍射图样中，某色光的第3级大与600nm的第2极大重合，问该色光的波长是多少？
解：单缝衍射明纹公式：asinφ=2n+1λ2n∈z当λ1=600nm 时，n1=2，因为φ与a不变，当n2=3时，2n1+1λ12=2n2+1λ22，所以λ2=2n1+1λ12n2+1=2×2+1×6002×3+1=428.6nm。

3.6在不透明细丝的夫琅禾费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300nm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？
解：由ⅇ=λfa，所以直径即为缝宽a=λfⅇ
=632.8×10-6×3001.5mm=0.127mm

3.8迎面开来的汽车，其两车灯相距d=1m，汽车离人多远时，两车灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径D=2mm，光在空气中的有效波长λ=500nm）。
解：此为夫琅禾费圆孔衍射，由公式dl=1.22λD，
所以l=ⅆD1.22λ=1×2×10-31.22×500×10-9m=3278.7m。
3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直径约为2mm，若视觉感受最灵敏的光波长为550nm，问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2mm，坐在距黑板10m处的同学能否看清？
解：（1）θm=1.22λD （夫琅禾费圆孔衍射）
=1.22×550×10-92×10-3=3.36×10-4 rad。
(2)θ=2×10-310=2×10-4rad<θm，所以不能看清。

3.7边长为a和b的矩孔的中心有一个边长为a0和b0 的不透明屏，如图所示，试导出这种光阑的夫琅禾费衍射强度公式。
解：
E1=Cabsinα1α1sinβ1β1，E2=Ca0b0sinα2α2sinβ2β2，
（C为常数），所以E=E1-E2
=Cabsinα1α1sinβ1β1-a0b0sinα2α2sinβ2β2
I=EE*=C2absinα1α1sinβ1β1-a0b0sinα2α2sinβ2β22，
因为场中心强度(场中心对应于α1=α2=β1=β2=0 )为I0=C2ab-a0b02 ，所以I=I0ab-a0b02absinα1α1sinβ1β1-a0b0sinα2α2sinβ2β22。
其中α1=πasinθxλ，β1=πbsinθxλ，α2=πa0sinθxλ，β2=πb0sinθxλ。

3.10人造卫星上的宇航员声称，他恰好能分辨离他100km地面上的两个点光源。设光波波长为550nm，宇航员眼瞳直径为4mm，这两个点光源的距离是多大？
解:由夫琅禾费圆孔衍射，dl=1.22λD，所以
d=1.22λlD=1.22×550×10-9×100×1034×10-3m
=16.775m。
3.11在一些大型的天文望远镜中，把通光圆孔做成环孔。若环孔外径和内径分别为a和a/2，问环孔的分辨本领比半径为a的圆孔的分辨本领提高了多少？
解： 由α=πDsinθxλ≈πDθxλ≈3.144，环孔衍射图样第一个零点的角半径为θ=3.144λ2πa=0.51λa ，
按照瑞利判据, 天文望远镜的最小分辨角就是θ=0.51λa，与中心部分没有遮挡的圆孔情形(θ=0.61λa)相比较, 分辨本领提高了, 即
0.61-0.510.61+0.51∕2=17.9%。

3.12若望远镜能分辨角距离为3×10-7rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？为了充分利用望远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大率？
解：光的波长λ=550nm ，则由公式θ=1.22λD ，
最小直径D=1.22λθ=1.22×550×10-93×10-7m=2.24m。
因为人眼的最小分辨角为2.9×10-4rad，
所以放大率N=2.9×10-43×10-7=970。

3.13若要使照相机感光胶片能分辨2 μm的线距，求：（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？（2）照相机镜头的相对孔径D∕f至少有多大？（设光波波长为550nm。）
解：⑴直线数N=1ε'=12×10-3mm-1=500mm-1。（ε' 为线距，即为能分辨的最靠近的两直线在感光胶片上得距离）。
⑵由N=11.22λDf，所以相对孔径Df=N⋅1.22λ=500×1.22×550×10-6=0.34。

3.16计算光栅常数是缝宽5倍的光栅的第0、1级亮纹的相对强度。解：由题意，得a=d5，第零级强度I0θ=N2I0，第0、1级亮纹相对强度分别为I0N2I0=sinαα2=1，I1N2I0=sinπ5π52=0.875。
3.14一块光学玻璃对谱线435.8nm和546.1nm的折射率分别为1.6525和1.6245。试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度。钠D双线的波长分别为589.0nm和589.6nm。
解：由公式A=λΔλ=BΔnΔλ ，(式中A 为棱镜分辨本领，B 为棱镜底边长度，n 为相对于波长λ 的棱镜的折射率，n+Δn 为相对于波长λ+Δλ 的棱镜的折射率,ΔnΔλ 为色散率)
又同一种物质色散率不变，则A1B1=ΔnΔλ=1.6525-1.6245546.1-435.8×10-9=2.54×105，
λ=589.6+589.02=589.3nm，
因为A2=λΔλ'=589.3589.6-589.0=982.1 ，所以用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度
B2=A2Δn∕Δλ=982.12.54×105=3.87×10-3m=3.87mm。
3.15在双缝夫琅禾费衍射试验中，所用光波波长λ=632.8nm，透镜焦距f=50cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离ⅇ=1.5mm，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1、2、3级亮纹的相对强度。
解：⑴多缝衍射的亮线条件是ⅆsinθ=mλ，m∈z ，对上式两边取微分，得到ⅆcosθ⋅Δθ=λ⋅Δm ，
当Δm=1 时，Δθ 就是相邻亮线之间的角距离。并且一般θ很小，cosθ≈1 ，故Δθ=λd 。两相邻亮线距离为ⅇ=f⋅Δθ=fλd 。所以
缝距d=fλⅇ=500×632.8×10-61.5mm=0.21mm。
因为第4级亮纹缺级，所以缝宽为
a=d4=0.214mm=0.05mm。
⑵第1、2、3级亮线分别相应于ⅆsinθ=±λ、±2λ、±3λ。由于d=4a，所以当ⅆsinθ=±λ、±2λ、±3λ时，分别有asinθ=±λ4、±2λ4、±3λ4。因此，由多缝衍射各级亮线的强度公式Im=N2I0sinαα2，
第1、2、3级亮线的相对强度为I1N2I0=sinαα2=sinπasinθλπasinθλ=sinπ4π42=0.811，I2N2I0=sinπ2π22=0.405，I3N2I0=sin3π43π42=0.090。

3.17一块宽度为5cm的光栅，在2级光谱中可分辨500nm附近的波长差0.01nm的两条谱线，试求这一光栅的栅距和500nm的2级谱线处的角色散。
解：由A=λδλ=mN=mLd（L为光栅宽度），所以d=mLλ∕δλ=2×5×10500∕0.01mm=2×10-3mm，
角色散ⅆθⅆλ=mⅆcosθ=md×cosarcsin2λd（一般θ角很小，cosθ≈1）=20.002×cosarcsin2×5002000=866.03 rad/mm

3.18为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的膜结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多宽？
解：Δλ=λ2c⋅Δt=λ2cΔν，又光栅的色分辨本领A=λΔλ=cλΔν=mN=m⋅1200L，所以光栅的宽度
L=cλΔνm⋅1200=3×1011632.8×10-6×1×1200×450×109=878mm。

3.19用复色光垂直照射在平面透射光栅上，在30°的衍射方向上能观察到600nm的第二级主极大，并能在该处分辨δλ=0.005nm 的两条谱线，但却观察不到600nm的第三级主极大。求：（1）光栅常数d，每一缝宽a；（2）光栅的总宽L至少不得低于多少？
解：⑴ⅆsinθ=mλ，所以d=mλsinθ=2×600×10-6sin30°mm
=2.4×10-3mm，a=dk=2.4×10-33mm=8×10-4mm。
⑵A=λδλ=mN，又N=Lsinθ∕d，所以L≥Ad2sinθ=600∕0.005×2.4×10-32×12mm=288mm。

3.20一束波长λ=600nm 的平行光，垂直射到一平面透射光栅上，在与光栅法线成45° 的方向观察到该光的第二级光谱，求此光栅的光栅常数。
解：由ⅆsinθ=mλ，得光栅常数
d=mλsinθ=2×600×10-6sin45°mm=1.7×10-3mm
3.21一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱。钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6nm和589.0nm。求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度。
解：光栅公式ⅆsinθ=mλ，d=1500mm=2×10-3mm，
所以θ1=arcsinmλ1d=arcsin2×589.6×10-62×10-3=36.1286°，同理θ2=36.0861° ，所以第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度δ=θ1-θ2=0.0425° =2'33''。

3.22一光栅宽50mm，缝宽为0.001mm，不透光部分宽为0.002mm，用波长为550nm的光垂直照明，试求：（1）光栅常数d；（2）能看到几级条纹？有没有缺级？
解:⑴d=a+a'=0.001+0.002=0.003mm，
⑵da=0.0030.001=3，所以第±3级亮纹为缺级，又由ⅆsin90°=mλ，解得m=5.45，所以mM=5.45×2=11，又缺±3级，所以能看到9级条纹。

3.23按以下要求设计一块光栅：①使波长600nm的第二级谱线的衍射角小于30° ，并能分辨其0.02nm的波长差；②色散尽可能大；③第三级谱线缺级。则该光栅的缝数、光栅常数、缝宽和总宽度分别是多少？用这块光栅总共能看到600nm的几条谱线？
解：为使波长600nm的二级谱线的衍射角θ≤30°, d必须满足d=mλsinθ≥2×600×10-6sin30°=2.4×10-3mm，
根据要求②，d尽可能小，则d=2.4×10-3mm，
根据要求③，光栅缝宽a=d3=0.8×10-3mm，
再由条件④，光栅缝数N至少有
N=λmδλ=6002×0.02=15000
所以光栅的总宽度L至少为
L=Nd=15000×2.4×10-3mm=36mm
光栅形成的谱线在θ<90° 范围内，当θ=±90° 时，有m=ⅆsinθλ=±2.4×10-36×10-4=±4 ，即第4 级谱线对应于衍射角θ=±90°实际上不可能看见。此外第3 级缺级, 所以只能看见0 ,±1 , ±2 级共5 条谱线。

3.24一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77°12' 。⑴求光束垂直于槽面入射时，对于波长λ=500nm 的光的分辨本领；⑵光栅的自由光谱范围有多大？
解：⑴光栅栅距为d=1300mm ，已知光栅宽260 mm，因此光栅槽数N=Ld=260×300=7.8×104
由2ⅆsinγ=mλ ，光栅对500 nm 的闪耀级数为m=2ⅆsinγλ=2×1300×sⅈn77°12'500×10-6=13，所以分辨本领A=mN=13×7.8×104≈106 ；⑵光栅的自由光谱范围为Δλ=λm=50013nm=38.5nm。
第四章 光的偏振和偏振器件
4.2一束部分偏振光由光强比为2:8 的线偏振光和自然光组成，求这束部分偏振光的偏振度。
解：设偏振光光强为I1=2I，自然光光强为I2=8I，（其中I1=Imax-Imin，It=I1+I2=Imax+Imin），
所以偏振度P=I1It=Imax-IminImax+Imin=2II1+I2=2I2I+8I=0.2。

4.3线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与晶体主截面成60° 角，问o光和e光从晶体透射出来的强度比时多少？
解：Io:Ie=tan260°=3:1

4.4线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成30° 和60° 角。求：⑴透射出来的寻常光和非常光的相对强度各为多少？⑵用钠光入射时如要产生90° 的位相差，波片的厚度应为多少？（λ=589.0nm，ne=1.486，no=1.658）
解： ⑴Io:Ie=tan230°=1:3；
⑵由δ=90°=2πλno-ned，所以
d=λ4no-ne=589.0×10-94×1.658-1.486≈8.56×10-7m。

4.7有一块平行石英片是沿平行光轴方向切出的。要把它切成一块黄光的14 波片，问这块石英片应切成多厚？(石英的ne=1.552 ，no=1.543 ，波长为589.3nm)
解：由D=ne-nod=m+14λ，所以厚度
d=m+14λne-ao=0+14×589.31.552-1.543nm
=1.637×104nm≈1.64×10-3cm

4.5由自然光和圆偏振光组成的部分偏振光，通过一块1∕4波片和一块旋转的检偏镜，已知得到的最大光强是最小光强的7倍，求自然光强占部分偏振光强的百分比。
解：设自然光和圆偏振光的光强分别为I1和I2，则部分偏振光的光强为I=I1+I2。
圆偏振光经过λ4波片后成为线偏振光，光强仍为I2。当线偏振光光矢的振动方向与检偏器的透光方向一致时，从检偏器出射的光强最大，其值为I2，当其振动方向与透光方向互相垂直时其值为零。自然光通过λ4波片后还是自然光，通过检偏器后光强为12I1。因此，透过旋转的检偏器出射的最大光强和最小光强分别为Imax=12I1+I2，Imin=12I1，又题给Imax=7Imin，因此I2=3I1，所以，自然光强占部分偏振光强的百分比为I1I=I1I1+3I1=25%。

4.6在两个共轴平行放置的透振方向正交的理想偏振片P1 和P3 之间，有一个共轴平行放置的理想偏振片P2 以云角速度ω 绕光的传播方向旋转。设t=0 时P3 偏振化方向与P1 平行，若入射到该系统的平行自然光强为I0 ，则该系统的透射光强为多少？
解：通过第一块、第二块和第三块偏振片后，光强分别为I1=I02，I2=I1cos2θ，I3=I2cos2π2-θ，
由于t=0 时P3 偏振化方向与P1 平行，因此θ=ωt，所以透射光强为I=I3=I02cos2θcos2π2-θ=
I0161-cos4ωt，可见，最大光强为I08，最小光强为0，出射光强的变化频率为4ω。

4.11为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将14 波片置于检偏器之前，再将后者转到消光位置。这时发现14 波片快轴的方位是这样的：它须沿着逆时针方向转45° 才能与检偏器的透光轴重合。问该圆偏振光是右旋的还是左旋的？
解：是右旋圆偏振光。因为在以λ4波片快轴为y轴的直角坐标系中，偏振片位于Ⅱ、Ⅳ象限时消光，说明圆偏振光经λ4波片后，成为位于Ⅰ、Ⅲ象限的线偏振光，此线偏振光由y方向振动相对x方向振动有2π位相差的两线偏振光合成。而λ4波片使ⅇ光和o光的位相差增加π2，成为2π，所以，进入λ4波片前y方向振动相对x方向振动就已有3π2位相差，所以是右旋圆偏振光。
4.9下列两波及其合成波是否为单色波？偏振态如何？计算两波及其合成波光强的相对大小。
波1：Ex=Asinkz-ωt-π2Ey=Acoskz-ωt+π2；和
波2：Ex=Acoskz-ωt-ϕxtEy=Acoskz-ωt+ϕyt。其中ϕxt 和ϕyt 均为时间t的无规变化函数，且ϕyt -ϕxt≠常数。
解：波1是单色波，且Ex=Asinkz-ωt-πz=Acoskz-ωt-π，而Ey=Acoskz-ωt+πz，
显然，等相面和等幅面重合，所以是均匀波。又因为位相差δ=φy-φx=3π2 ，且x 和y 方向振动的振幅相等，所以是右旋圆偏振光。
对于波2，因为ϕyt -ϕxt≠常数，为自然光，而相速v=ω∇ϕ 只与空间部分有关，虽然ϕyt -ϕxt≠常数，但等相面和等幅面仍然重合，故为均匀波。
波1和波2是不相干波，因此由上述结果得合成波是非单色光，是部分偏振光，是均匀波。
光强度：波1 I1=Ex2+Ey2=A2；
波2