机器人运动学熊有伦机器人技术基础.ppt

3.机器人运动学ENTERENTER3.1机器人正运机器人正运动学方程学方程3.2机器人逆运机器人逆运动学方程学方程本章主要内容运动学研究的问题：运动学研究的问题：手在空间的运动与各个关节的运动之间的关系。手在空间的运动与各个关节的运动之间的关系。3.1机器人正运动学方程定义：定义：描述机器人手部在空间相对于绝对坐标系或机描述机器人手部在空间相对于绝对坐标系或机座坐标系的位置及姿态的数学表达式座坐标系的位置及姿态的数学表达式运动学方程的模型：运动学方程的模型：M机器人手在空间的位姿机器人手在空间的位姿qi机器人各个关节变量机器人各个关节变量已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端相对于参考坐标系的位置和姿态端相对于参考坐标系的位置和姿态3.1机器人正运动学方程3.1 机器人正运动学方程连杆描述连杆连接的描述对连杆附加坐标系的规定操作臂运动学PUMA560运动学方程机器人的各连杆机器人的各连杆通过关节连接在一通过关节连接在一起，关节有移动副起，关节有移动副与转动副两种与转动副两种。关节关节关节关节和连杆的编号：和连杆的编号：和连杆的编号：和连杆的编号：机座机座机座机座 称称称称 杆件杆件杆件杆件0 0，机座与杆件机座与杆件机座与杆件机座与杆件1 1的关节编号的关节编号的关节编号的关节编号关节关节关节关节1,1,类推之类推之类推之类推之.关节编号31.1连杆描述描述一个连杆的两个参数描述一个连杆的两个参数:1.Linklength连杆长度连杆长度ai-1关节轴关节轴i-1和关节轴和关节轴i之间之间的公垂线的长度的公垂线的长度ai-1假设条件假设条件把连杆看作是一个刚体把连杆看作是一个刚体2.Linktwist连杆转角连杆转角i-1假设作一个平面假设作一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直,然后把然后把关节轴关节轴i-1和关节轴和关节轴i投影到该平面上投影到该平面上,在平面内轴在平面内轴i-1按照右手法则转按照右手法则转向轴向轴i,测量两轴角之间的夹角为测量两轴角之间的夹角为i-1.3.1.1连杆描述下图中的连杆长度和连杆转角？3.1.2连杆连接的描述描述连杆连接的两个参数描述连杆连接的两个参数:1)linkoffset连杆偏距连杆偏距di.相邻两个连杆之间有一个公相邻两个连杆之间有一个公共的共的关节关节,沿着两个相邻连杆沿着两个相邻连杆公共法线公共法线线的线的距离可以用一个参数描距离可以用一个参数描述为连杆偏距述为连杆偏距di.当当i为移动关节时为移动关节时,连杆偏距为连杆偏距为一变量一变量.（1）连杆中的中间连杆连杆中的中间连杆2)jointangle关节角关节角i.描述两个相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角描述两个相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角i.当当i为转动关节时为转动关节时,关节角为一变量关节角为一变量.3.1.2连杆连接的描述（2）连杆中的首尾连杆连杆中的首尾连杆对于对于运动链中的末端连杆运动链中的末端连杆,其参数习惯设为其参数习惯设为0,即即从从关节关节2到关节到关节n的连杆偏距的连杆偏距di和关节角和关节角i.是根据前面的规定进是根据前面的规定进行定义行定义.关节关节1(或或n)如果为转动关节如果为转动关节,则则1的零位可以任意选取的零位可以任意选取,规定规定d1=0.0，关节关节1(或或n)如果为移动关节如果为移动关节,则则d1的零位可以任意选取的零位可以任意选取,规定规定1=0.0;3.1.2连杆连接的描述（3）连杆参数连杆参数对于转动关节对于转动关节,i为关节变量为关节变量,其他三个参数固定不变其他三个参数固定不变;对于移动关节对于移动关节,di为关节变量为关节变量,其他三个其他三个参数参数固定不变固定不变;这种用连杆参数描述机构运动关系的这种用连杆参数描述机构运动关系的方法方法称为称为Denavit-Hartenberg法法,对于一个对于一个6关节机器人关节机器人,需要用需要用18个参数就可以完全描述个参数就可以完全描述这些固定的运动学参数这些固定的运动学参数,可用可用6组组(ai-1,i-1,di)表示表示，用，用6个关节变量个关节变量i描述运动学中的变化部分。描述运动学中的变化部分。3.1.3连杆附加坐标系的规定为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要需要在每个连杆上定义一个固连坐标系在每个连杆上定义一个固连坐标系.（1）连杆中的中间连杆）连杆中的中间连杆规定规定:坐标系坐标系i-1i-1的的Z Z轴称为轴称为Z Zi-1i-1,与关与关节轴节轴i-1i-1重合重合;坐标系坐标系i-1i-1的原点位于公垂线的原点位于公垂线a ai-1i-1与关节轴与关节轴i-1i-1的交点处的交点处.X Xi-1i-1轴沿轴沿a ai-1i-1方向由关节方向由关节i-1i-1指向指向关节关节i i(若若:a:ai-1i-1=0,=0,则则X Xi-1i-1垂直于垂直于Z Zi-1i-1和和Z Zi i所在的平面所在的平面;Y Yi-1i-1轴由右手定则确定轴由右手定则确定 Y Yi-1i-1=Z=Zi-1 i-1 X Xi-1i-13.1.3连杆附加坐标系的规定坐标系坐标系0通常规定通常规定:Z0轴沿着关节轴轴沿着关节轴1的方向的方向,当坐标系当坐标系1的关节变量为的关节变量为0时时,设定设定参考坐标系参考坐标系0与与1重合重合.且且a0=0,0=0,当关节当关节1为转动关节为转动关节,d1=0;当关节当关节1为移动关节为移动关节,1=0.坐标系坐标系n通常规定通常规定:对于转动关节对于转动关节n,设定设定n=0.0,此时此时Xn和和Xn-1轴的方向相同轴的方向相同,选选取坐标系取坐标系n的原点位置的原点位置,使之满足使之满足dn=0;对于移动关节对于移动关节n,设定设定Xn轴的方向使之满足轴的方向使之满足n=0.0,当当dn=0时时,选取坐标系选取坐标系n的原点位于的原点位于Xn-1轴与关节轴轴与关节轴n的交点位置的交点位置.（2 2）连杆中的首尾连杆）连杆中的首尾连杆3.1.3连杆附加坐标系的规定（3）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳i-1通常规定通常规定,其余可正可负其余可正可负.按照上述规定的坐标系不是唯一的；按照上述规定的坐标系不是唯一的；Zi的指向有两种选择的指向有两种选择;如果关节轴相交如果关节轴相交,Xi轴的指向也有两种选择轴的指向也有两种选择.当相邻两轴平行时当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择坐标系原点可以任意选择.当关节为移动关节时当关节为移动关节时,坐标系的选取具有一定任意性坐标系的选取具有一定任意性.3.1.3连杆附加坐标系的规定确定关节轴，并画出轴的延长线。确定关节轴，并画出轴的延长线。找出关节轴找出关节轴i-1和和i的的公垂线或交点，作为坐标系公垂线或交点，作为坐标系i-1的的原点。原点。规定规定Zi-1的的指向是沿着第指向是沿着第i-1个个关节轴。关节轴。规定规定Xi-1轴轴得指向是沿着轴得指向是沿着轴i-1和和i的的公垂线的方向，如果关节轴公垂线的方向，如果关节轴i-1和和i相交相交，则则Xi-1轴轴垂直于关节轴垂直于关节轴i-1和和i所在所在的平面。的平面。Yi-1轴轴的方向由右手定则的方向由右手定则确定确定Yi-1=Zi-1Xi-1。当第一个关节变量为当第一个关节变量为0时，规定坐标系时，规定坐标系0和和1重合，对于坐标系重合，对于坐标系N，尽量选择坐标系使得连杆参数为，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.（4 4）建立连杆坐标系的步骤）建立连杆坐标系的步骤i-13.1.3连杆附加坐标系的规定【例题1】iai-1i-1dii100012L10023L20033.1.3连杆附加坐标系的规定【例题例题2 2】iai-1i-1dii100012090d20300L233.1.4操作臂运动学方程目的：求出相邻连杆间的坐标目的：求出相邻连杆间的坐标变换的形式，进一步求出连杆变换的形式，进一步求出连杆n相对于连杆相对于连杆0的位置和姿态。的位置和姿态。（1 1）推导过程：推导过程：1.坐标系坐标系i-1相对于坐标系相对于坐标系i的变换是由连杆四个参数构成的变换是由连杆四个参数构成的函数，其中只有一个变量。的函数，其中只有一个变量。2.为求解为求解，对每个连杆建立坐标系，分解成，对每个连杆建立坐标系，分解成4个变换子问个变换子问题，每个子变换只包含一个连杆参数。题，每个子变换只包含一个连杆参数。3.定义三个中间坐标系定义三个中间坐标系RQP：坐标系坐标系R是由坐标系是由坐标系i1绕绕Xi-1轴轴偏转偏转i-1得到；得到；坐标系坐标系Q是由坐标系是由坐标系R沿着沿着Xi-1轴轴平移平移ai-1得到得到；坐标系坐标系P是由坐标系是由坐标系Q绕绕Zi轴轴旋转旋转i得到；得到；坐标系坐标系i是由坐标系是由坐标系P沿着沿着Zi轴轴平移平移di得到得到。RQP3.1.4操作臂运动学方程最后，得到相邻连杆的一般变换为：（相对于运动坐标系，算子右乘）3.定义三个中间坐标系定义三个中间坐标系RQP：坐标系坐标系R是由坐标系是由坐标系i-1绕绕Xi-1轴偏转轴偏转i-1得到；得到；坐标系坐标系Q是由坐标系是由坐标系R沿着沿着Xi-1轴平移轴平移ai-1得到；得到；坐标系坐标系P是由坐标系是由坐标系Q绕绕Zi轴旋转轴旋转i得到；得到；坐标系坐标系i是由坐标系是由坐标系P沿着沿着Zi轴平移轴平移di得到。得到。3.1.4操作臂运动学方程化简：化简：这里：这里：根据变换根据变换过程：过程：即：即：变换矩阵：变换矩阵：RQP3.1.4操作臂运动学方程（2）连续连杆变换定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学方程，坐标系方程，坐标系N相对于坐标系相对于坐标系0的变换矩阵为：的变换矩阵为：变换矩阵变换矩阵 是关于是关于n n个关节变量的函数，这些变量可以个关节变量的函数，这些变量可以通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆在基连杆在基坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。3.1.5PUMA560型机器人运动学方程型机器人运动学方程3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程型机器人运动学方程1.确定确定D-H坐标系坐标系2.确定各连杆确定各连杆D-H参数和关节变量参数和关节变量i-1=沿沿Xi-1轴轴,从从Zi-1到到Zi的距离；的距离；ai-1=绕绕Xi-1轴轴,从从Zi-1到到Zi的角度；的角度；di=沿沿Zi轴轴,从从Xi-1到到Xi的距离的距离;i=绕绕Zi轴轴,从从Xi-1旋转到旋转到Xi的角度的角度;ii-1ai-1dii10001(90)20-90d22(0)32003(-90)43-90d44(0)509005(0)60-9006(0)3.求出两杆间的位姿矩阵3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程型机器人运动学方程不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，关键是约定!3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程4.求末杆的位姿矩阵3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程型机器人运动学方程3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程3.1.5 PUMA 560型机器人运动学方程5.验证与图示情况一致。与图示情况一致。3.2 机器人逆运动学方程实质：已知实质：已知T6（即已知（即已知矢量矢量n、o、a和和p）求解求解，从而确定与末，从而确定与末端位置有关的所有关节端位置有关的所有关节的的位置位置-实际工程问实际工程问题题已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？机有几种不同形态可以满足同样的条件？3.2机器人逆运动学可解性多解性求解方法PUMA560 逆解过程3.2.1可解性解解的存在问题取决于操作臂的工作空间（的存在问题取决于操作臂的工作空间（Workspace）工作空间：操作臂末端执行器所能到达的工作空间：操作臂末端执行器所能到达的范围范围（反解存在（反解存在的区域）的区域）所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有个链中共有个6自由度或小于自由度或小于6个自由度时是可解的。其通解个自由度时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。要使机器人有解析解，到的，其计算量比求解析解大得多。要使机器人有解析解，设计时就要使机器人的结构尽量简单，而且尽量满足连续设计时就要使机器人的结构尽量简单，而且尽量满足连续三个旋转关节的旋转轴交会于三个旋转关节的旋转轴交会于一点，或连续三个关节轴互一点，或连续三个关节轴互相平行的充分条件。（相平行的充分条件。（Pieper准则）准则）3.2.2多解性对于给定的位置与姿态，它具有多组解。造成机器人运动学逆解具有多解是由于解反三角函数方程产生的。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应，为此必须做出判断，以选择合适的解。通常采用剔除多余解的方法：为此必须做出判断，以选择合适的解。通常(1)根据关节运动空间来选择合适的解。(2)选择一个最接近的解。(3)根据避障要求选择合适的解。(4)逐级剔除多余解。3.2.3 求解方法操作臂全部求解方法分为：封闭解操作臂全部求解方法分为：封闭解和数值解法。数值解法是利用迭代和数值解法。数值解法是利用迭代性质求解，速度慢。封闭解是我们性质求解，速度慢。封闭解是我们主要的求解方法。主要的求解方法。封闭解分为代数解和几何解封闭解分为代数解和几何解（1）代数解）代数解3.2.3 求解方法通过比较，我们得出四个方程：通过比较，我们得出四个方程：求得：求得：3.2.3 求解方法几何方法中，首先将操作臂的空间几何参数分解成为平几何方法中，首先将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度（2）几何解）几何解3.2.4PUMA560机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程问题：已知问题：已知求：各转角求：各转角再利用三角代换再利用三角代换:和和 ，其中其中3.2.4 PUMA560 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程首先求首先求1，将，将等式等式两端左两端左乘乘，得，得上式两端的元素上式两端的元素（2，4）对应相等，得：）对应相等，得：把它们代入代换前的式子得：把它们代入代换前的式子得：再求再求3。再令矩阵方程两端的元素（。再令矩阵方程两端的元素（1,4）和）和（3,4）分别对应）分别对应相等得：相等得：3.2.4 PUMA560 机器人逆运动学方程机器人逆运动学方程两边平方相加得：两边平方相加得：合并同类项并整理得：合并同类项并整理得：令令，再利用三角代换可得：，再利用三角代换可得：式中正，负号对应着式中正，负号对应着3的两种可能解。的两种可能解。3.2 机器人逆运动学然后求然后求2：将展开并整理得：将展开并整理得：同样再利用三角代换容易求得同样再利用三角代换容易求得2的四种可能解：的四种可能解：其中其中其他关节变量过程类似，略。其他关节变量过程类似，略。3.2 机器人逆运动学机械手的末端位姿由机械手的末端位姿由n个关节变量所决定，这个关节变量所决定，这n个关节变个关节变量统称为量统称为n维关节矢量维关节矢量，所有关节矢量，所有关节矢量构成的空间称为关节构成的空间称为关节空间。空间。末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用操作末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间或作业定向空间来表示。空间或作业定向空间来表示。各各驱动器的位置统称为驱动矢驱动器的位置统称为驱动矢量量 。所有驱动矢量构成的空。所有驱动矢量构成的空间称为驱动空间。间称为驱动空间。3.2.5关节空间和操作空间