3、二次函数综合应用(学生版).doc

二次函数综合应用
【知识框架】

【入门测】
1、（2016 •福州一检）将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3
C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3
2、（2013 •福州一检）二次函数y=ax2+bx+c中，变量x与y部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则这条抛物线的对称轴是（　　）
A． 直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=2 D．直线x=﹣8
3、（2012•福州一检）已知二次函数y=x2﹣x+，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m﹣1、m+1时，对应的函数值为y1、y2，则y1、y2满足（　）
A．y1＞0，y2＞0 B．y1＜0，y2＞0 C．y1＜0，y2＜0 D．y1＞0，y2＜0
4、（2014 •福州一检）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点A（4a+2b+c，abc）在（　 　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5、（2014•福州一检）已知二次函数y=﹣x2﹣4x+3，则y的最大值是　 　；xy的最大值是　 　．

一、 二次函数与等腰三角形
【例1】如图已知二次函数y=-x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）探索：线段BM上是否存在点 N，使△NMC为等腰三角形；如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

y
O
B
x
C

A
M
N

【过关检测】
1、如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为底等腰三角形？如果存在，写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

2、如图，已知二次函数y＝－x 2＋x＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）求点A、C的坐标。
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

O
x
y
B
A
C
D

二、 二次函数与直角三角形
【例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【过关检测】
1、如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点D，使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标.

2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

三、 二次函数与45°特殊角的关系
【例1】二次函数图像经过点A（-3，0），B（-1，8），C（0，6），直线与轴交于点D，点P为二次函数图像上一动点，若45°，求点的坐标。

【过关检测】
1、如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线上一动点，点A的坐标为（4，2），若使，请求出点的坐标。

2、 如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．

【出门测】
1．（2016秋•孝昌县校级月考）如图：已知y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，A，B坐标分别是（﹣1，0）和（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式，并确定其对称轴；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得
△PDC是等腰三角形？若存在，求符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【课后习题】
1、（2016·四川凉山州）如图，已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

（3）点M也是直线上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

2、（2016·新疆）如图，抛物线的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

3、（2016·山东枣庄）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与轴的另一个交点为B.
⑴若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；⑶设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

4、（2016·湖北黄冈）如图，抛物线与轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点. 设点P的坐标为(, 0)，过点P作轴的垂线交抛物线于点Q.
(1)求点A，点B，点C的坐标；
(2)求直线BD的解析式；
(3)当点P在线段OB上运动时，直线交BD于点M，试探究为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

5、如图1，抛物线与轴交于A（1，0），B两点，与轴交于点C.对称轴为直线，交轴交于点D.
（1） 求抛物线的解析式
（2） 如图2，在轴的正半轴上有一点N，当时，求点N的坐标
（3） 如图3，在轴右侧的抛物线有一点P，当时，求点P的坐标

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