高数一 多元函数微分学复习课1.pdf

多元函数微分学复习课 JHh HH1一、内容提要 二、例题选解首页 上页 返回 下页 结束内容提要:偏导数/(x+Ax,y)/(x,y)Ax注：（1）人（/0，%）=也泮 axx=x0/为)=J%（%00二0）二4(x,%,Zo)dxx=x:偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时，只要把其它自变量看 作常数,然后按一元函数求导法求导即可.内容提要:二阶偏导数:定理如果两个二阶混合偏导数连续,则它们相等.内容提要:全微分函数z4x,y)在点(x,y)可微分：Az=zx(x,y)Ax+Zy(x,y)Ay+o(夕)(p=7(Ax)2+(Ay)2)计算公式:龙=修公+孚力.dx dy:重要关系首页 上页 返回 下页 结束内容提要。复合函数求导设2寸血,吟可微,%（%,乂）偏导数存在,则有dz dz du dz du”-=_ _L-.dx dux dx dun dx设Z=f 的）具有二阶连续偏导数,%（羽y）偏导数存在,则有凯（%,沙2）_ 池 du2-J U,U,J u,U-y -.CX 1 1 CX 1 2 CX 约定记号fl=fufl=fu2fn fuxux（i，2），fn A%（2），fii fu2u2，u2）内容提要:全微分形式不变性设V）具有连续偏导数,则有全微分 dz=Ldu+Ldv.du dv无论z是自变量m、u的函数或中间变量m、u的函数，它的全微 分形式是一样的.内容提要:隐函数求导公式 F(x,y)=0确定y=f(x)的导数公式dy=_ dx Fy F(x,y,z)=0确定z=f(x,y)的偏导数公式dz=Sz=Fy dx Fz dy Fz内容提要:曲线的切向量 光滑曲线x=%(/),y=y,z=z在/=%对应点处的切向量为 了=(/仇)，“0)，2%).曲面万(X,y,z)=0与曲面G(x,y,z)=0的交线的切向量为 亍=)x(G,qG).。曲面的法向量 曲面：F(x,y,z)=0在点/a。,%,z0)处的法向量为河=(玛，/，工)1河 曲面：z寸(%,)在点/(%,%,z0)处的法向量为 为=心力，-叫内容提要:极值点的必要条件具有偏导数的极值点必为驻点.:极值的充分条件设/阮y）具有二阶连续偏导数,a。,yj为成x,y）的驻点,令 几（%0,打）=4&（%0,%）=氏&（%0,北）=。，则（1）AC-0时,於0,%）为极值：当A0时为极大值,当A0时为极小值；（2）AC-0,%）可能为极值,也可能不是极值.内容提要:可微函数最值的求法将函数在有界闭区域。内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就 是最小值.如果函数的最值一定在。的内部取得,而函数在。内只有一 个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数在。上的最值.:拉格朗日乘数法函数y,z)在条件叭x,y,z)=0下的可能极值点为 拉格朗日函数L(xy,z,2)的驻点,其中L(x,y,z,2)=f(x,y,z)+(x,y,z).例题选解例 1 内)=(产+/1 产，求(0,1).解 fx(x,y)=(y+1)(，+ey-l)y ex+ey-l)x=(y+1)(+ey l)yex/(0,y)=ey2+y2 2力(0,y)=(/+，)；=(2y+l)/+y4(0,l)=3e2首页 上页 返回 下页 结束 知识点例2求函数z=(x+2y尸的偏导数.角翠 u=x+2y,v=xy,贝!z=/dz _ dz du dz dv dx du dx dv dx=vuvx-l+uvlnu-y=y(x+2y)孙 Tx+(x+2y)ln(+2y)dz _ dz du dz dv dy du dy dv dy=vuvl-2+uvlnu-x=x(x+2y)xyl2y+(x+2y)ln(x+2y)首页 上页 返回 下页 结束 知识点a2z例3 设 z=f(2x+3y,x2y 求.oxoy解 iB u=2x+3y,v=x2y=f；+f=2f；+2xyf；ex ex exd2Z c 明 co c-=2 丛+2 对+2xyexey cy=2EC 泉+C f+2贰+2双加 J+t J cy cy cy cy=23C+x24；1+2 犹2 孙3 加=6C+(2x2+6xy)C+2 忒+2x3)厂(z2+l)2_ 2x(z2+1)2-8x2y2z4+1)3首页 上页 返回 下页 结束 知识点分2伊J4 z3+3z=3盯2+1，求dz和.解2方程两边求微分得3z2Jz+3dz=3y2dx+6xydyy2 2xydz-dx H-dyz2+l z2+ldz _ 2xydy z2+152z _ 2x(z2+1)-2孙(2z.Zy)产=(z2+l)2_ 2x(2+1)2-Sx2y2z4+1)3首页 上页 返回 下页 结束 知识点例5在曲线x=t,广2,z=/3上求一点,使此点处的切线平行 于平面3x-3y+z=0,并写出切线的方程.解 设切点为亿,户),则切向量了=(12,3r)由题设T1n=(3,-3,1),于是T-n=O3-6t+3t2=0解得T.所求切点为(1,1,1),所求切线方程为x-1 y-1 21首页 上页 返回 下页 结束 知识点例6求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=O在点(-2,1,1)处的切线 及法平面方程.解=X2+y2+z2-6,G=x+y+z,则切向量 fi j k-4 2 2=(0,6,-6)1 1 1所求切线方程为x+2 y 1 z 1法平面方程为6(y-1)-6(z-1)=0,即 y-z=0.首页 上页 返回 下页 结束 知识点 i j kT=FX Fy FzGx Gy GzX y z(-2,1,1)例7求椭球面N+2y2+z2=l上平行于平面X-y+2z=0的 切平面方程.解设所求切点为(区4法向量n=(2x,4y,2z)|(abc)=(2a,4b,2c)已知平面法向量=(1,-1,2).由题设力/4,得2a 4b 2cn a=-2b,c=4b代入椭球面方程,求得b=叵.切平面方程为 22(x+2Z?)-(y-Z?)+2(z+4Z?)=0即 X y+2z+llb=0代入方的值，得Xy+2z士牛=0首页 上页 返回 下页 结束 知识点例8求函数式兀y)=xlnx+(1-x)y2的极值.解令=lnx+l-y2=ofy=2(l-x)y=Q1得驻点(LDJL-1),(二0)e1A=%=_，3=/冲=_2C=fyy=2(1-%)在点(1,1)处，AC 32=4 0,/(l,1)不是极值；在点(1,1)处，AC 吕2=40,且点=e0,e1 1所以/(10)=为极小值.e e首页M上页.返回M下页.结束知识点例9求表面积为而体积为最大的长方体的体积.解1设长方体的三棱长为%,y,z,则2xy+2yz+2xz=a2 xy(a2-2xy)/八、V=xyz=-(x,y 0)2(%+y)dV _ y2(a2-2x2-4xy)dV _ x2(a2-2y2-4xy)Sx 2(%+y)2 dy 2(x+y)2令修u得唯一驻点VyU,6因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就在这个可能的极值点处取得.此时V二加“336首页 上页 返回 下页 结束 知识点例9求表面积为。2而体积为最大的长方体的体积.解2设长方体的三棱长为X,y,z,则问题就是求函数 在条件2a丁+塔+=下的最大值.作拉格朗日函数 F(x,y,z)=xyz+2(2xy+2yz+2xz-a2),Fx(x,y,z)=yz+22(y+z)=0解方程组 4ayZ)=z+2x+z)=“Fz(x,y,z)=xy+22(y+x)=0,2xy+2yz+2xz=a2得X=y=Z=M，这是唯一可能的极值点.6因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就在 这个可能的极值点处取得.此时丫=亚336首页 上页 返回 下页 结束 知识点2 2 2例10在第一卦限内作椭球面二+二+J=1的切平面,a b2 c1使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小.求这切平面的切点，并求此最小体积.解设切点坐标为（乂 z）,则法向量力=2x 2y 2z记m切平面方程为 M(X-x)+M(y-y)+与(Z-z)=0 a b c由+=+W=i,得切平面方程为母+4+毛=1/b2 c2 a2 b2 c2该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为V=-2b2c26xyz问题转化为求函数/(x,y,2)=町2在以下条件下的极值:2 2 2-5+H y=1,(X 0,0,Z 0)(1)a b c首页上页 返回F页 结束 知识点作拉格朗日函数T _ ux2,y2,z2L-xyz+2(+77+-y-1)a b c22x4=衣+=02 a 22y解方程组Ly=xz+=oLz=xy+x2 y2 T+7TI a bb2 24z=1=0c22 Z+C阳 b c付工=k,y=T，z=F这是唯一可能的极值点，在此点体积v取最小值.所求切点为(-=),，3 V3 73所求四面体的最小体积为V=abc.2问题转化为求函数/(x,y,2)=町2在以下条件下的极值:2 2 2X V Z 4/r 八 八、y h7+v=L(x 0,y 0,z 0)abc(1)首页上页 返回F页 结束 知识点