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复数
复数基础知识
一、复数的基本概念
（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + bi为实数
虚数：当时的复数a + bi为虚数；
纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：的共轭记作；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为
（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；
二、复数的基本运算
设，
（1） 加法：；
（2） 减法：；
（3） 乘法： 特别。
（4）幂运算：

三、复数的化简
（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：
对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解

一、知识梳理
1、复数的有关概念
（1）复数的概念：形如的数叫做复数，其中分别是它的 。若 ，则为实数，若 ，则为虚数，若 ，则为纯虚数。
（2）复数相等： 。
（3）共轭复数：与共轭 。
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，轴叫做 ，轴叫做 。实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示 。
（5）复数的模：向量的模叫做复数的模，记作： ，即 。
一一对应
2、复数的几何意义
一一对应
（1）复数 复平面上的点。
（2）复数 复平面上的向量。
3、复数的运算
（1）复数的四则运算
设，，则
①加法： ；
②减法： ；
③乘法： = ；
④除法： = = （）。
（注：分母实数化）
（2）复数的运算定律：
； ；
； ；
= ； ；= 。
4、几个重要的结论
（1）；
（2）；
（3）若z为虚数，则。

复数最重要的一点就是：记住
例1：已知，求
（1） 当为何值时z为实数
（2） 当为何值时z为纯虚数
（3） 当为何值时z为虚数
（4） 当满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
例2：已知；，求当为何值时

例3：已知，求，；

变式：1是虚数单位,等于 ( )
A．i B．-i C．1 D．-1
变式2：已知是虚数单位， （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ．
变式3：已知是虚数单位，复数= （ ）
ABCD
变式4：已知i是虚数单位，复数（ ）
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
变式5：已知是虚数单位，则 （ ）
(A) (B)1 (C) (D)
变式6：已知=2+i,则复数z=（）
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
变式7：i是虚数单位，若，则乘积的值是
（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15
真题实战：
1．（2005）若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=（ ）
A．0 B．2 C． D．5
2．（2005）已知向量则x= .
3.（2007）若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=
A．-2 B． C. D．2
4．（2008）已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.（2009）下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是
A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5

6．（2011）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则
A．-i B．i C．-1 D．1
7.（2012）设i为虚数单位，则复数=（ ）
A.3 B.1 C.-5 D.-6
8．（2013）若，，则复数的模是
A．2 B．3 C．4 D．5

二、例题分析
类型一：复数的有关概念及复数的几何意义
【例1】当实数为何值时，
（1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。

类型二：复数相等
【例2】已知集合，集合同时满足，求整数的值。

【例3】已知为共轭复数，且，求。

练习：已知复数的共轭复数为，且满足，求。

类型三：复数的代数运算
【例4】计算：（1）； （2）； （3）；

（4）。

类型四：复数加减法的几何意义
【例5】如图，平行四边形，顶点分别表示，试求：
（1）、表示的复数；（2）对角线所表示的复数。

练习：若为复数，且，求的最大值。

类型五：复数综合
【例6】求同时满足下列两个条件的所有复数。
（1）；（2）的实部和虚部都是整数。

练习：已知虚数使得和都为实数，求。

三、巩固提高
1、的值是 （ ）
A i B -i C 1 D –1
2、当时，的值是 ( )
A 1 B -1 C i D –i
3、等于 ( )
A 0 B 1 C -1 D i
4、设、、、，若为实数，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
5、 （ ）
（A） （B） （C）1 （D）
6、 （ ）
A． B．－ C． D．－
7、对于 ，下列结论成立的是 ( )
A 是零 B 是纯虚数 C 是正实数 D 是负实数
8、已知，那么复数在复平面内对应的点位于 （ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
9、设非零复数满足，则代数式的值是（ ）
A B －1 C 1 D 0
10、若，则|z|的最大值是 ( )
A 3 B 7 C 9 D 5
11、复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到点B，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为 ( )
A －1 B 1 C i D－i
12、设复数：为实数，则 （ ）A．－2 B．－1 C．1 D．2
13、若复数z满足方程，则 .
14、设复数则复数的虚部等于 .
15、已知.求的值 .
16、已知复数，复数满足，则复数 。
17、知，求使的最小正整数 .
18、计算：

19、设，，试求满足的最小正整的值。

20、是否存在复数，使其满足，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由

21、设等比数列其中(，且)
（1）求的值；
（2）试求使 的最小自然数n
（3）对（2）中的自然数，求…的值。

22、已知，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；

23、已知复数当，求实数的取值范围。

24、在复数范围内解方程(i为虚数单位)

1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。4. 岁月是无情的，假如你丢给它的是一片空白，它还给你的也是一片空白。岁月是有情的，假如你奉献给她的是一些色彩，它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力，当有一天蓦然回首时，你的回忆里才会多一些色彩斑斓，少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。

参考.资料