九年级三角形相似模型单元测试.doc

相似模型
模型1 A、8模型

已知：∠1=∠2
结论：△ADE∽△ABC

模型分析
如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出A型或8型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。
模型实例
例1．如图，在△ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O。
求证：。

例2．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE=DF，BF交DE于
点G，延长BF交CD的延长线于H，若。求的值。

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1． 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC
上的点，且DE∥AC，AE、CD相交
于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，
则S△BDE与S△CDEE的比是 。

2． 如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的
一点，AG与BD交于点E，与DC
交于点F，此图中的相似三角形共
有 对。

3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC
于点F。求证：点F是BC的中点。

4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：。

5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB-90°，D是边BC的中点，E在AB上，且 AE：BE=2：1。求证：CE⊥AD。

模型2 共边共角型

已知：∠1=∠2
结论：△ACD∽△ABC

模型分析
上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出
三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC，进而可以得到。
模型实例
例1．如图，D是△ABC边BC上的一点，AB=4，
AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15，
那么△ACD的面积为 。

例2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC-90°，AD⊥BC于D。
（1）图中有多少对相似三角形？写出来；
（2）求证：

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1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有 ；
①∠B=∠DAC；②∠BAC=∠ADC；
③；④。
2．已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120°。求证：
（1）；
（2）；
（3）。

3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点，过C作CD⊥AB于D，
，AD：DB=4：1。求CD的长。

4．如图①，Rt△ABC中，∠ACB-90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD
证明，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，
正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CE⊥BE，垂足为F，连接OF。
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长。

模型3 一线三角型

已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D。
结论：△ABC∽△CDE
模型分析
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形。
模型实例
例1．如图在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，
BP=1，CD=，则△ABC的边长为 。

例2．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得
△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个。

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1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点

（不与B、C点重合），∠ADE=45°。
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=，AE=，求关于的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。

2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），
∠ADE=∠B=，DE交AC于点E，且，下列结论。
①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD等于8或12.5；④0

3．如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B
落在CD边上 的P点外，折痕与边BC交于O，连接AP、OP、OA。
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长。

模型4 倒数型

条件：AF∥DE∥BC
结论：

模型分析
仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A
型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。
模型实例

例1．如图，AF∥BC，AC、BF相交于点E，过D作ED∥AF交AB于点D。
求证：。

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1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC
的边上。求证：。

2．正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB
于G，连接BF。求证：
（1）AF+BF=EF；
（2）。

模型5 与圆有关的简单相似

图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB；
图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△PAC∽△PDB；
图③中，通过作辅助线构造，易得△PAC∽△PCB。

模型实例
例1．如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于 D、C两点。
求证：。

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1．如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为r，OP=d。
求证：。

2．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E。
（1）求∠E的度数；
（2）点M是BE上一点，且满足，
连接CM，求证：CM是⊙O的切线。

模型6 相似与旋转

如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②，结论：△ABD∽△ACE。
模型分析
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的一种题型。

模型实例
例1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，点P在△ABC内，且，
PB=5，PC=2。求S△ABC。

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1．如图，△ABC和△CEF均为等腰三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF。
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长。

2．已知，在△ABC中，∠BAC=60°。
（1）如图①，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=6150°，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP。①依题意补全图1；②直接写出PB的长；
（2）如图②，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；
（3）如图③，若AB=2AC，点P在△ABC内，且，PB=5，
∠APC=120°，请直接写出PC的长。

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