《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改).pdf

共 6 页第 页1复变函数与积分变换复变函数与积分变换期末试题（期末试题（A）答案及评分标准）答案及评分标准 复变函数与积分变换复变函数与积分变换期末试题（期末试题（A）一填空题（每小题一填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1的幅角是（）；2.的主值是（231iL2,1,0,23kk)1(iLn ）；3.，（0 ）；i432ln21211)(zzf)0()5(f4是 的（一级一级）极点；5 0z4sinzzz，（-1）；zzf1)(),(Rezfs二选择题（每小题二选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1解析函数的导函数为（B ）；),(),()(yxivyxuzf（A）；（B）；yxiuuzf)(yxiuuzf)(（C）；（D）.yxivuzf)(xyivuzf)(2C 是正向圆周，如果函数（D），则3z)(zf0d)(Czzf（A）；（B）；（C）；（D）.23z2)1(3zz2)2()1(3zz2)2(3z3如果级数在点收敛，则级数在（C ）1nnnzc2z（A）点条件收敛；（B）点绝对收敛；2ziz2（C）点绝对收敛；（D）点一定发散 iz1iz21共 6 页第 页2下列结论正确的是(B )（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；)(zf0z)(zf0z(B)如果在 C 所围成的区域内解析，)(zf则0)(Cdzzf（C）如果，则函数在 C 所围成的区域内一定解析；0)(Cdzzf)(zf（D）函数在区域内解析的充分必要条件是),(),()(yxivyxuzf、在该区域内均为调和函数),(yxu),(yxv5下列结论不正确的是（D ）(A)(B)的可去奇点；为z1sin的本性奇点；为zsin(C)(D);1sin1的孤立奇点为z.sin1的孤立奇点为z三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计分，共计 40 分）分）（1）设是解析函数，求)()(2222ydxycxibyaxyxzf.,dcba（2）计算其中 C 是正向圆周：；Czzzzed)1(22z（3）计算3342215d)2()1(zzzzz（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？3232)(sin)3()2)(1()(zzzzzzf，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；)1(1)(2zzzf（1），（2），（3）110 z10 z z1五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题共 6 页第 页3 1)0()0()(4)(5)(yyexyxyxyx六、（本题 6 分）求的傅立叶变换，并由此证明：)()(0 tetftedt 2022cos三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共分，共 40 分）分）（1）设是解析函数，求)()(2222ydxycxibyaxyxzf.,dcba解：因为解析，由 C-R 条件)(zf yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax，,2,2da,2,2dbca,1,1bc给出给出 C-RC-R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。（2）计算其中 C 是正向圆周：Czzzzed)1(2解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以zzezfz2)1()(1,021zz为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于 c 内21,zz21,cc21d)1(d)1(d)1(222CzCzCzzzzezzzezzzeizeizeizzzz2)1(2)(2021共 6 页第 页4无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）3342215d)2()1(zzzzz解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理)(zf3z -（5 分）),(Re2d)2()1(3342215zfsizzzzz -（8 分）1)1(Re22zzfsi234221521)1(2()11()1(1)1(zzzzzzf0,z)12()1(11)1(34222有唯一的孤立奇点zzzzzf1)12()1(11)1(0,1)1(Re34220202limlimzzzzzfzzfszz -（10 分）33422152d)2()1(zizzzz（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？2332)3()(sin)2)(1()(zzzzzzf，如果有极点，请指出它的级.解：，的奇点为L,3,2,1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf（1）。032103 zkkz sin,L（2）。)()(,zfzzfzz210 （3）的一级极点，为)(3zfz（4）的三级极点；，为)(4,3,2zfzL（5）。)(zf 备注：给出全部奇点给 5 分，其他酌情给分。共 6 页第 页5四、（本题 14 分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；)1(1)(2zzzf（1），（2），（3）110 z10 z z1解：（1）当110 z)11(1)1(1)1(1)(2zzzzzf而)1()1()11(10nnnzz01)1()1(nnnzn -6 分021)1()1()(nnnznzf（2）当10 z=)1(1)1(1)(22zzzzzf021nnzz -10 分02nnz（3）当 z1)11(1)1(1)(32zzzzzf -14 分03031)1(1)(nnnnzzzzf每步可以酌情给分。五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：1)0(1)0()(4)(5)(yyexyxyxyx解：对的Laplace 变换记做，依据Laplace 变换性质有)(xy)(sL共 6 页第 页6 （5 分）11)(4)1)(51)(2ssLssLssLs整理得 （7 分）)4(151)1(65)1(101 11)4(151)1(61)1(101 11)4)(1)(1(1)(ssssssssssssL （10 分）xxxeeexy415165101)(六、（6 分）求的傅立叶变换，并由此证明：)()(0 tetftedt 2022cos解：-3 分)()(0 dteeFtti)()(000 dteedteeFttitti)()()(000 dtedtetiti)()()(000 ieietiti -4 分)()(021122 iiF-5 分)()()(021 dFetfti)(022122 deti)()sin(cos0122 dtit)(sincos0222022 dtidt共 6 页第 页7，-6 分)(cos)(02022 dttf tedt 2022cos复变函数与积分变换复变函数与积分变换期末试题（期末试题（B)1填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）2 21的幅角是（的幅角是（）；）；2.2.的主值是的主值是21i)(iLn（）；）；3.3.=（），），a在复平面内处处解析在复平面内处处解析4 4)2(2)(2222yxyaxiyxyxzf是是 的（的（）极点；）极点；5 5 ，0z3sinzzz zzf1)(（）；）；),(Rezfs 二选择题（每小题二选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1解析函数的导函数为（）；),(),()(yxivyxuzf（A）；（B）；xyivuzf)(yxiuuzf)(（C）；（D）.yxivuzf)(yxiuuzf)(2C 是正向圆周，如果函数（），则2z)(zf0d)(Czzf（A）；（B）；（C）；（D）.13z13zz2)1(3zz2)1(3z3如果级数在点收敛，则级数在1nnnzciz2共 6 页第 页8（A）点条件收敛；（B）点绝对收敛；2ziz2（C）点绝对收敛；（D）点一定发散 iz1iz21下列结论正确的是()（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；)(zf0z)(zf0z(B)如果,其中 C 复平面内正向封闭曲线,则在 C 所围0)(Cdzzf)(zf成的区域内一定解析；（C）函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以)(zf0z展开成为的幂级数，而且展开式是唯一的；0zz（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、),(),()(yxivyxuzf),(yxu在该区域内均为调和函数),(yxv5下列结论不正确的是（）（A）、是复平面上的多值函数；是无界函数；lnzcosz)B(、是复平面上的有界函数；（D）、是周期函数zsin)C(、ze三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 8 分，共计分，共计 50 分）分）（1）设是解析函数，且，求)(),()(ygxiyxuzf 200 )(f)(),(),(zfyxuyg（2）计算其中 C 是正向圆周；Czizzzd)(1(222z（3）计算，其中 C 是正向圆周；Czzezzd)1(122z（4）利用留数计算其中 C 是正向圆周；Czzzd)2)(1(123z（5）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如33221)(sin)()(zzzzzf 果有极点，请指出它的级.得分共 6 页第 页9四、（本题 12 分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；)1(1)(2zzzf（1），（2），（3）110 z10 z z1五五（本题（本题 10 分）用分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题变换求解常微分方程定解问题 1)0()0()(4)(5)(yyexyxyxyx六、（本题 8 分）求的傅立叶变换，并由此证明：)()(0 tetftedt 2022cos复变函数与积分变换复变函数与积分变换期末试题简答及评分标准（期末试题简答及评分标准（B）一填空题（每小题一填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1的幅角是（的幅角是（）；）；2.2.的主值是的主值是21 iL,2,10,24kk)1(iLn（）；）；3.3.，（0 0 ）；）；4 442ln21i211)(zzf)0()7(f ，（0 0 ）；5 5 ，3sin)(zzzzf0),(Rezfs21)(zzf（0 0 ）；）；),(Rezfs二选择题（每小题二选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分）1-5 A A C C C三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计分，共计 40 分）分）（1）求使是解析函数，dcba,)()(2222ydxycxibyaxyxzf共 6 页第 页10 解：因为解析，由 C-R 条件)(zf yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax，,2,2da,2,2dbca,1,1bc给出给出 C-RC-R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。（2）其中 C 是正向圆周；Czzzd)1(122z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以zzzf2)1(1)(1,021zz为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于 c 内21,zz21,cc21d)1(1d)1(1d)1(1222CCCzzzzzzzzz0)1(12)1(2021zzzizi（3）计算，其中 C 是正向圆周；Czzzezd)1(132z解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理)(zf2z -（5 分）122),(Re2(z)diczfsizfz z1 )1111)(!31!2111(11)1(323221213LLzzzzzzzzezzezzz共 6 页第 页11)1111)(!41!31!21(3222LLzzzzzzz)!31!2111(1c38izfz238(z)d2（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果332)(sin)2)(1()(zzzzf有极点，请指出它的级.，的奇点为L,3,2,1,0,)(kkzzf。032103 zkkz sin,L 的可去奇点，是的二级极点，为)(2)(,1zfzzfz的三级极点；，为)(4,3,2,0zfzL。)(zf 给出全部奇点给 5 分。其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；)1(1)(2zzzf（1），（2），（3）110 z10 z z1（1），（2），（3）110 z10 z z1解：（1）当110 z)1(1(1)1(1)1(1)(2zzzzzf而)1()1(1(10nnzz01)1(nnzn -6 分02)1()(nnznzf（2）当10 z共 6 页第 页12=)1(1)(2zzzf02)1(1nnnzz -10 分02)1(nnz（3）当 z1)11(1)1(1)(32zzzzzf -14 分03031)1()1(1)(nnnnnzzzzf五五（本题（本题 10 分）用分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题变换求解常微分方程定解问题 1)0(,0)0()(3)(2)(yyexyxyxyx解：对的Laplace 变换记做，依据Laplace 变换性质有)(xy)(sL （5 分）11)(3)(21)(2ssLssLsLs整理得 （7 分）)4)(1)(1(2)(sssssL （10 分）xxxeeexy3818341)(六、（本题 6 分）求的傅立叶变换，并由此证明：1101)(tttf111042cossin0tttdt解：)()(dttfeFti得分共 6 页第 页13 -2 分dteFti11)(-4 分 sin2 11iitieeiie-5 分 )(21)(dFetfti sin1deti )sin(cossin1dtit sinsin cossin20dtidt=-6 分)(2cossin0tfdt111042ttt