2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版).doc

高二（上）数学期末试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）
1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知向量，，若与平行，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6
3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（　　）
A．16 B．32 C．64 D．256
4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（　　）
A．x=± B．y= C．x= D．y=
5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每 一点（　　）
A．横坐标向左平动个单位长度 B．横坐标向右平移个单位长度
C．横坐标向左平移个单位长度 D．横坐标向右平移个单位长度
7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）
A． B． C． D．
8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（　　）
A．12 B． C． D．
10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于　　．
14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=　　．
15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为　　．
（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；
（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；
（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；
（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题 （¬p）∧q为真命题．
16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=　　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）
（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；
（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？
（3）试估计样本数据的中位数．

19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；
（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；
（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．

高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）
1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．
【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1
，解得x=2．
选B．

2．已知向量，，若与平行，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解： =（﹣3，3+2m），
∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．
故选：D．

3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（　　）
A．16 B．32 C．64 D．256
【考点】等比数列的性质．
【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．
【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，
所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，
解得：a10=4，
则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．
故选C

4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（　　）
A．x=± B．y= C．x= D．y=
【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．
【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点
∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，
∴=2
双曲线的渐近线方程为y=±=±x
故选D

5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．
【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．
【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，
画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，
不妨令PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，
故△PAB 和△PAD都是直角三角形．
又矩形中 CB⊥AB，CD⊥AD．
这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，
CD垂直于平面PAD内的两条相交直线 PA、AD，
由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．
故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．
故选A．

6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（　　）
A．横坐标向左平动个单位长度
B．横坐标向右平移个单位长度
C．横坐标向左平移个单位长度
D．横坐标向右平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，
可得函数y=3cos2x的图象，
故选：B．

7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）

A． B． C． D．
【考点】循环结构．
【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，
执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．
【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，
判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；
判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；
判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；
判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；
判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；
判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．
故选A．

8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．
【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，
∴出现正面次数多余反面次数的概率：
p==．
故选：D．

9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（　　）
A．12 B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．
【解答】解：由题意，设P（y，y），
∵PF1⊥PF2，
∴（﹣y，﹣y）•（y，﹣y）=0，
∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，
∴△PF1F2的面积为=2．
故选D．

10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，
则线段AB的中点（，），
则x1+x2=，y1+y2=，
由A，B在椭圆上，
+=1， +=1，
两式相减，得+=0，
=﹣×=﹣，
∴=2，即a2=2b2，
椭圆的离心率e===，
故选D．

11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可
【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，
可知（﹣1，0）在圆外 要使得弦长|AB|≥2，设过圆心垂直于AB的直线 垂足为D，由半径是，
可得出圆心到AB的距离是1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，
当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°，斜率为，所以使得弦长的概率为：
P==，
故选：C．

12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），则
∵|AF1|=2|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=2（x+c，y）
∴B（﹣2c，﹣b2），
代入椭圆方程可得：4c2+b2=1，
∵1=b2+c2，
∴b2=，
∴x2+=1．
故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于　4　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．
【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，
∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4
故答案为：4．

14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=　﹣3　．
【考点】函数的值．
【分析】推导出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），
∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）
∵f（1）=3，
f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．
故答案为：﹣3．

15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为　①②④　．
（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；
（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；
（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；
（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题 （¬p）∧q为真命题．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；
（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，；
（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；
（4），判断命题p、命题q的真假即可
【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；
对于（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，为真命题；
对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；
对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB⇒2RsinA＞2RsinB⇒a＞b⇒A＞B，故命题q为真命题
那么命题 （¬p）∧q为真命题，正确．
故答案为：①②④

16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=　　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），
过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，
∵PF的斜率为，∴可得P（4，4．
∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=
∴cos∠MNQ=
∴=
故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设出等差数列的公差，由3a2，S3，a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）求出等差数列的前n项和，代入，利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d（d＞0），则a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，
∵3a2，S3，a5成等比数列，∴，
即（3+3d）2=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）由（1）得：，
∴=，
∴=．

18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）
（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；
（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？
（3）试估计样本数据的中位数．

【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；
（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，
（3）根据求中位数的方法即可．
【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，
∴样本的容量n=，
月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，
月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，
月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，
∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，
∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．
（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，
∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．
（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，
∴样本数据的中位数为： =1500+250=1750（元）．

19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，
设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=，A1D=，DE=，A1E=3
故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，
又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，
在△A1DC中，DF==，EF==，
所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．

20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；
（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）由f（）=1，求得A=，根据S△ABC =，求得 c=4，再利用余弦定理求得a= 的值．
【解答】解：（1）函数=cos2ωx+sinωxcosωx﹣
=cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx+），
其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，
故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）在△ABC中，∵f（）=sin（A+）=1，
∴A=，又 b=1，S△ABC=bc•sinA=•1•c•=，
∴c=4，∴a===．

21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；
（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．
（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，
∴，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），
则=（﹣）•（）=x2+y2﹣3，
∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），
解得﹣，
∵点P在第一象限，∴x＞0，
∴0＜x＜，
∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．
（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，
A、B、O三点共线，不符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
由△=（16k）2﹣48（14k2）＞0，解得，
，，
∵∠AOB=90°，∴=0，
∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，
解得k2=4，满足k2＞，
解得k=2或k=﹣2，
∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．

22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．
【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，
则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．
设其方程为，
可知a=2，c=1，∴，
所以点Q的轨迹Γ的方程为；
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．
设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，
由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），
故kTS+kTR=0即②，
由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，
故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，
即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，
将①代入③，即有：④，
要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．

2017年2月24日
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