2023年人教版高中数学第八章立体几何初步考点突破.pdf

名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第八章立体几何初步考点突破年人教版高中数学第八章立体几何初步考点突破 单选题 1、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（）A梯形 B平行四边形 C可能是梯形也可能是平行四边形 D矩形 答案：B 解析：利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.因为平面/平面,且平面 平面=,平面 平面=,根据面面平行的性质可知/,同理可证明/.所以四边形为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.2、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A若 ,，则 B若 ,，则 C若 ,，则 D若 ,，则 答案：B 分析：在正方体中取直线和平面可排除 ACD，由线面垂直的性质可得 B 正确.在正方体 中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然 A 不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除 C；记底面ABCD为，BF为m，平面ABFE为，可排除 D；由线面垂直的性质可知 B 正确.故选：B 3、如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：平面；平面；平面；平面；平面.其中不正确的是（）ABCD 答案：D 解析：根据平面的表示方法判断 中不为对角线，故错误；中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.4、在正方体 1111中P为11的中点，则直线与1所成的角为（）A2B3C4D6 答案：D 分析：平移直线1至1，将直线与1所成的角转化为与1所成的角，解三角形即可.如图，连接1,1,，因为1 1，所以1或其补角为直线与1所成的角，因为1平面1111，所以1 1，又1 11，1 11=1，所以1平面1，所以1，设正方体棱长为 2，则1=22,1=1211=2，sin1=11=12，所以1=6.故选：D 5、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.6、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A132B223C152D233 答案：C 分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解 解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为=23(1312 12 1+1312 12 2)=152，故选：C.7、圆台的上、下底面的面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是（）A233B23C736D733 答案：D 分析：求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算.设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h.,由圆台的上、下底面的面积分别是，4，得2=,2=4,所以=1，=2，由圆台侧面积公式可得 (2+1)=6，所以=2，所以=22(2 1)2=3，所以该圆台的体积 =13(2+2+)=13 3 (4+1+2)=733.故选：D.8、如图.是圆的直径，是圆上一点(不同于，)，且=，则二面角 的平面角为（）ABCD 答案：C 解析：由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到 面，即 ，结合二面角定义可确定二面角 的平面角.是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，=，即 面，而 面，又面 面=，=，由二面角的定义：为二面角 的平面角.故选：C 9、下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是 1 和 2，则该圆台的体积是（）A7224B7324C7212D7312 答案：B 分析：先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则2=1，2=2，解得=12,=1，=2 1=1，=2()2=12(12)2=32，设上底面面积为=(12)2=4，下底面面积为=12=，则体积为13(+)=13(+4+2)32=7324.故选：B.10、如图，正方体 1111的棱长为 1，线段11上有两个动点E，F，且=22，则三棱锥 的体积为（）A112B14C212D不确定 答案：A 分析：根据题意可知11/平面而，在线段11上运动，则/平面，从而得出点到直线11的距离不变，求出 的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出 平面，得出点到平面的距离为=22，最后利用棱锥的体积公式求出三棱锥 的体积.解：由题可知，正方体 1111的棱长为 1，则11/平面，又，在线段11上运动，/平面，点到直线11的距离不变，由正方体的性质可知1平面1111，则1，而=22，1=1，故 的面积为1222 1=24，又由正方体可知，1，且 1=，平面11，则 平面，设与交于点，则 平面，点到平面的距离为=22，=132422=112.故选：A.11、已知直线a与平面,，能使/的充分条件是（）,/,/,/,ABCD 答案：D 解析：根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.对，若 ,，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故错误；对，若/,/，则/，平面的平行具有传递性，故正确；对，若/,/，平行于同一直线的两平面可以相交，故错误；对，,，垂直于同一直线的两平面平行，故正确.综上：正确，故选：D.12、如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点D是线段的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度等于的长度，则异面直线与所成角的余弦值是（）A24B64C104D144 答案：A 分析：过点A作 于点O，过点A作 于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则有（或其补角）就是异面直线与所成的角，设圆锥的底面半径为 2，解三角形可求得答案.解：过点A作 于点O，过点A作 于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则/，且=12，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角，设圆锥的底面半径为 2，则=1，=2，=23，所以=3，在Rt 中，=1，=2，所以=2+2=5，在Rt 中，=5，=3，所以=2+2=22，在Rt 中，=3，=2，=2+2=7，所以在 中，满足2+2=2，所以=90，所以cos=122=24，故选：A.双空题 13、如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积为_（单位：cm3），表面积为_（单位：cm2）.答案：83 6+22+25 分析：利用三视图还原几何体，再利用体积面积公式计算即可.该几何体是底面为正方形的四棱锥，其体积为13 2 2 2=83，表面积为2 2+12 2 2+2 12 2 5+12 2 22+(5)2 12=6+22+25.所以答案是：83；6+22+25 14、球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海航空卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A，B，C是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，BC，CA，由这三条劣弧组成的图形称为球面ABC.已知地球半径为R，北极为点N，PQ是地球表面上的两点.若P，Q在赤道上，且经度分别为东经 40和东经 100，则球面NPQ的面积为_.若=263，则球面 的面积_.答案：23 2 分析：利用所在的经度求出球面三角形面积，再利用已知可得三角形为等边三角形，进而可以求解 解：在赤道上，且经度分别为40和100，上半球面面积为12 4 2=22，球面 面积为60360 22=23，当=263时，为等边三角形，根据题意构造一个正四面体 ，如图所示：其中心为，是高的靠近的四等分点，则cos=cos=13，由余弦定理可得：cos=2+222=22222=13，解得=263，正好为题目所给的长度，所以球面的面积为=14 42=2，所以答案是：23；2 15、用符号语言表示以下各语句：（1）点A，B在直线a上：_；（2）直线a在平面上：_ 答案：，分析：（1）根据点和直线的位置关系可得答案；（2）根据直线和平面的位置关系可得答案.由点和直线的位置关系可得 ，；由直线和平面的位置关系可得 .所以答案是：，；.16、如图，长方体 1111 （1）直线1平面=_；（2）直线 平面11=_ 答案：#分析：根据几何特征，即可判断直线与平面的位置关系，即可得解.根据长方体可知，直线1平面=，直线 平面11=.所以答案是：，.17、九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑在如图所示的鳖臑 中，平面，=90，=4，=2，为的中点，为 内的动点(含边界)，且 当在上时，=_，点的轨迹的长度为_ 答案：2 255#255 分析：取的中点，可得 ，根据已知条件可证明面 面，再由面面垂直的性质定理可得 ，可得=12=2；过点作 ，垂足为，可证明 面，得到点的轨迹，进而可得轨迹的长度.取的中点，连接，则/，因为=90，所以 ，因为 平面，面，所以面 面，因为面 面=，面，所以 面，因为 面，所以 ，=12=2，过点作 ，垂足为，则 面，即点在线段上运动时，所以点的轨迹为线段，则=sin=2=2 222+42=255，所以答案是：2；255.解答题 18、查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为7032，钝角为10928）的原因 答案：理由见解析.分析：蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积一定的情况下，为了节约空间，蜜蜂建造蜂房时，首先希望蜂房既对称而又有规律，而正多边形正好符合这一要求，我们知道并非任意的正多边形都能铺满平面的，那么能铺满整个平面的正多边形又有哪些呢？谁最佳呢？这也就是我们要回答问题：为什么蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为7032，钝角为10928）？因为蜜蜂建造蜂房时需要使用材料（蜂腊）最少，在空间(体积)一定的情况下，这种形状容积最大.用正六边形才能蜂腊的用料最小.菱形的大小不影响蜂房的容积，只影响蜂房的表面积，但会影响到制造蜂房所用的材料；蜂房的底能够无间隙地粘合在一起.数学模型 I：能铺满平面的正多边形有哪些？在周长一定的情况下，哪种面积最大？数学模型 I 的求解：由于正边形的每一个内角都等于(2)180，要将平面铺满，则有：(2)180=360，解得=2+42,+，故=3,4,5时，符合要求.当周长一定时，正三角形的面积为S3=3362；正四边形的面积为S4=1162；正六边形的面积为S6=3242.此时有：S3S4 0)因为=1，所以(0,0)，(1,0)，(0,2)，(1,)从而=0102001=(2)=22=1 所以=22，即=2下同方法一.方法三【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系 ，设|=，所以(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(,0,0)，(,1,0)所以(2,1,0)，=(,1,1)，=(2,1,0)所以 =(2)+1 1+0 (1)=22+1=0 所以=2，即|=2下同方法一.方法四：空间向量法 由 ，得 =0 所以(+)=0 即 +=0 又 底面，在平面内，因此 ，所以 =0 所以 +=0，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，得12|2+|2=0，即12|2+1=0 所以|=2，即=2下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.